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ECG2 · Maths appliquées · semaine 10

Intégration généralisée à un intervalle quelconque

Convergence des intégrales sur un intervalle non borné, linéarité, positivité et relation de Chasles. Intégrales de Riemann et intégrales de l'exponentielle décroissante, critère de majoration et règles de comparaison pour les fonctions positives. Convergence absolue et extension aux intégrales sur la droite réelle, en vue des variables aléatoires à densité.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Une intégrale généralisée est une limite d'intégrales sur des segments. Sur R\R entier, les deux moitiés doivent converger séparément.
  2. Les intégrales de référence sont :
    • celle de 1/tα1/t^\alpha, convergente en +∞+\infty si et seulement si α>1\alpha>1 ;
    • celle de e−αt\e^{-\alpha t}, convergente sur [0,+∞[[0,+\infty[ si et seulement si α>0\alpha>0, de valeur 1/α1/\alpha.
  3. Pour une fonction positive, la convergence équivaut à la majoration des intégrales partielles.
  4. Les règles de comparaison valent pour des fonctions positives, exactement comme pour les séries :
    • majoration ;
    • négligeabilité ;
    • équivalence.
  5. La convergence absolue implique la convergence. C'est elle qui permet de définir l'espérance d'une variable aléatoire à densité.
Pourquoi ce chapitre

L'intégrale vue en première année porte sur un segment, c'est-à-dire un intervalle fermé borné.

  • La loi exponentielle vit sur l'intervalle des réels positifs.
  • La loi normale vit sur R\R tout entier.

Pour définir leur espérance et leur variance, il faut donner un sens à une intégrale sur un intervalle non borné.

Les intégrales généralisées sont introduites comme outil pour l'étude des variables aléatoires à densité. Tout ce qui est développé ici sera réutilisé au quatrième semestre.

La démarche imite celle des séries.

  • Une série est une limite de sommes partielles.
  • Une intégrale généralisée est une limite d'intégrales sur des segments.
  • Les critères de comparaison pour les fonctions positives sont les mêmes que ceux des séries à termes positifs.
  • Les intégrales de référence jouent le rôle des séries de référence.

Deuxième usage : la comparaison entre une série et une intégrale permet de démontrer la convergence des séries de Riemann, admise dans le chapitre sur les séries.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Calcul d'intégrale impropre 4

Exercice 1. Décomposition en éléments simples ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Justifier la convergence et calculer l'intégrale de dt(t+1)(t+2)\frac{dt}{(t + 1)(t + 2)} sur [0,+∞[[0, +\infty[.

Voir l'indice

Technique décomposer, primitiver sur [0, x], regrouper les logarithmes avant la limite.

Voir le corrigé offert
  1. Pour t≥0t \geq 0, on vérifie que 1/((t+1)(t+2))=1/(t+1)−1/(t+2).1/((t+1)(t+2))=1/(t+1)-1/(t+2).
  2. Sur [0,x][0, x], l'intégrale vaut ln⁡(x+1)−ln⁡(x+2)+ln⁡2\ln(x + 1) - \ln(x + 2) + \ln 2, soit ln⁡((x+1)/(x+2))+ln⁡2\ln((x + 1)/(x + 2)) + \ln 2.
  3. Le quotient tend vers 11, donc le logarithme tend vers 00.
  4. L'intégrale converge et vaut ln⁡2\ln 2.

piège : Écrire l'intégrale comme différence des intégrales de 1/(t+1)1/(t + 1) et de 1/(t+2)1/(t + 2). Ces deux intégrales divergent, la linéarité ne s'applique pas.

Exercice 2. Moments de la loi exponentielle ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Pour nn entier naturel, montrer que InI_n, intégrale de tne−tt^n e^{-t} sur [0,+∞[[0, +\infty[, converge et vaut n!n!.

Voir le début du corrigé
  1. Convergence. On a tne−t=o(1/t2)t^n e^{-t} = o(1/t^2) en +∞+\infty, car tn+2e−tt^{n+2} e^{-t} tend vers 00. …

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Exercice 4. Loi de Laplace ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

Soit f(t)=c e−∣t∣f(t) = c\,e^{-|t|} sur R\R.

Déterminer cc pour que l'intégrale de ff sur R\R vaille 1.

Montrer ensuite que l'intégrale de tf(t)t f(t) sur R\R converge absolument et calculer sa valeur.

Voir le début du corrigé
  1. L'intégrale de e−∣t∣e^{-|t|} sur RR vaut 22, d'après la technique vue plus haut. …

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Exercice 9. Intégrale de Gauss et moments ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC

Montrer que l'intégrale JJ de e−t2/2e^{-t^2/2} sur R\R converge.

Montrer que l'intégrale de t2e−t2/2t^2 e^{-t^2/2} sur R\R converge et vaut JJ.

En admettant J=2πJ = \sqrt{2\pi}, en déduire que la loi normale centrée réduite a une variance égale à 11.

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Nature d'une intégrale 2

Exercice 6. Intégrale à paramètre ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Pour α>0\alpha > 0, étudier la nature de l'intégrale de dt1+tα\frac{dt}{1 + t^{\alpha}} sur [0,+∞[[0, +\infty[.

Voir le début du corrigé
  1. Pour α>0\alpha > 0, la fonction est continue et positive sur [0,+∞[[0, +\infty[. …

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Exercice 3. Quatre natures ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Déterminer la nature des intégrales suivantes. a) t2+1t4+t+1\frac{t^2 + 1}{t^4 + t + 1} sur [1,+∞[[1, +\infty[. b) tt+1\frac{\sqrt{t}}{t + 1} sur [1,+∞[[1, +\infty[. c) t2e−tt^2 e^{-\sqrt{t}} sur [0,+∞[[0, +\infty[. d) 1ln⁡t\frac{1}{\ln t} sur [2,+∞[[2, +\infty[.

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  1. a) La fonction est positive et équivalente à 1/t21/t^2. …

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Nature d'une série 1

Exercice 5. Série harmonique et séries de Riemann ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit EDHEC

Soit Hn=1+12+⋯+1n.H_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}. Montrer que ln⁡(n+1)≤Hn≤1+ln⁡n\ln(n + 1) \leq H_n \leq 1 + \ln n et en déduire un équivalent de HnH_n.

Retrouver ensuite la nature de la série des 1nα\frac{1}{n^{\alpha}}.

Voir le début du corrigé
  1. Pour k≥1k \geq 1 et tt dans [k,k+1][k, k + 1], on a 1/(k+1)≤1/t≤1/k1/(k + 1) \leq 1/t \leq 1/k. …

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Suite d'intégrales 1

Exercice 7. Une suite d'intégrales ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Pour n≥1n \geq 1, soit unu_n l'intégrale de e−nt1+t\frac{e^{-nt}}{1 + t} sur [0,+∞[[0, +\infty[.

Montrer que unu_n existe, que 0≤un≤1n0 \leq u_n \leq \frac{1}{n}, puis que un∼1nu_n \sim \frac{1}{n}.

Voir le début du corrigé
  1. Pour t≥0t \geq 0, on a 0≤e−nt/(1+t)≤e−nt0 \leq e^{-nt}/(1 + t) \leq e^{-nt}, et l'intégrale de e−nte^{-nt} converge et vaut 1/n1/n. …

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Fonction définie par une intégrale 1

Exercice 8. Une fonction définie par une intégrale ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

Pour x>0x > 0, soit F(x)F(x) l'intégrale de e−tt\dfrac{e^{-t}}{t} sur [x,+∞[[x, +\infty[. Montrer que FF est bien définie et dérivable, calculer F′F', puis montrer que F(x)∼e−xxF(x) \sim \dfrac{e^{-x}}{x} en +∞+\infty.

Voir le début du corrigé
  1. Pour x>0x > 0 fixé et t≥xt \geq x, on a 0≤e−t/t≤e−t/x0 \leq e^{-t}/t \leq e^{-t}/x. …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques appliquées de deuxième année, voie EC, enseignement du troisième semestre, partie « Compléments d'analyse », paragraphe « Intégration généralisée à un intervalle quelconque ». Les contenus exigibles portent sur les intervalles de la forme [a,+∞[[a,+\infty[, ]−∞,b]]-\infty,b] et ]−∞,+∞[]-\infty,+\infty[. Le programme indique que les résultats de ce paragraphe peuvent être admis.