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ECG1 · Maths appliquées · semaine 17

Probabilité sur un univers fini

Définition d'une probabilité sur l'ensemble des parties de l'univers et premières propriétés. Probabilité d'une réunion de deux événements. Le cadre reste celui d'un univers fini, sans difficulté théorique sur l'ensemble des événements.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Une probabilité sur un univers fini est une application de P(Ω)\mathcal{P}(\Omega) dans [0,1][0,1], additive sur les événements incompatibles et valant 11 sur l'univers.
  2. Elle est entièrement déterminée par les probabilités des résultats, qui sont positives et de somme 11.
  3. La probabilité du contraire vaut 11 moins celle de l'événement, et la probabilité croît avec l'inclusion.
  4. La probabilité d'une réunion retranche l'intersection comptée deux fois, et pour trois événements les signes alternent.
  5. Sous hypothèse d'équiprobabilité, la probabilité est le quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles, ce qui ramène tout au dénombrement.
Pourquoi ce chapitre

Le chapitre précédent a fourni les objets, univers et événements. Celui-ci leur attribue un nombre, la probabilité, qui mesure la chance de réalisation. C'est le passage du qualitatif au quantitatif.

Deux conditions suffisent :

  • l'additivité sur deux événements incompatibles ;
  • la probabilité 11 pour l'événement certain.

Toutes les autres propriétés en découlent, et cela apprend à manipuler les événements.

La formule de la probabilité d'une réunion corrige le double comptage de l'intersection. C'est la formule qu'on retrouve en analyse de données, dès qu'on croise deux critères sur une même population.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Construction d'une loi 2

Exercice 1. Poids non uniformes ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Soit n≥1n \geq 1.

On cherche une probabilité sur {1,…,n}\{1, \ldots, n\} telle que P({k})P(\{k\}) soit proportionnel à kk.

Déterminer la constante.

Pour n=6n = 6, calculer la probabilité d'un nombre pair.

Voir l'indice

Technique des poids positifs de somme 1.

Voir le corrigé offert
  1. On pose P({k})=ckP(\{k\}) = ck avec c>0c > 0.
  2. ∑ck=c×n(n+1)/2=1\sum ck = c \times n(n + 1)/2 = 1 donne c=2/(n(n+1))c = 2/(n(n + 1)).
  3. Ces poids sont positifs et de somme 11, ils définissent une probabilité.
  4. Pour n=6n = 6, c=1/21c = 1/21 et P(pair)=(2+4+6)/21=4/7P(\text{pair}) = (2 + 4 + 6)/21 = 4/7.

piège : Ne pas justifier que l'objet construit est une probabilité.

Exercice 3. Le maximum de deux dés ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

On lance deux dés équilibrés.

Pour kk de 1 à 6, calculer la probabilité que le plus grand résultat vaille kk.

Voir le début du corrigé
  1. Ω={1,…,6}2\Omega = \{1, \ldots, 6\}^2, de cardinal 3636, équiprobable.

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Formules de réunion 3

Exercice 2. Autour de la formule de la réunion ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

P(A)=0,5,P(B)=0,4etP(A∪B)=0,7.\begin{aligned} P(A) &= 0{,}5, \\ P(B) &= 0{,}4 \quad \text{et} \\ P(A \cup B) &= 0{,}7. \end{aligned} Calculer P(A∩B)P(A \cap B), la probabilité qu'exactement un des deux se réalise, puis qu'aucun ne se réalise.

Si l'on ne connaissait que P(A)P(A) et P(B)P(B), quelles valeurs pourrait prendre P(A∩B)P(A \cap B) ?

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 6. Réunion de trois événements ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

On choisit uniformément un entier entre 1 et 100.

Calculer la probabilité qu'il soit divisible par 2, par 3 ou par 5, puis qu'il ne soit divisible par aucun des trois.

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  1. On compte 5050 multiples de 22, 3333 de 33 et 2020 de 55.

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Exercice 8. Inégalités de Boole et de Bonferroni ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

(a) Montrer que P(A1∪⋯∪An)≤∑P(Ai)P(A_1 \cup \dots \cup A_n) \leq \sum P(A_i). (b) En déduire que P(A1∩⋯∩An)≥1−∑P(Ai‾)P(A_1 \cap \dots \cap A_n) \geq 1 - \sum P(\overline{A_i}). (c) Cinq machines tombent chacune en panne dans la journée avec une probabilité d'au plus 0,020{,}02. Minorer la probabilité qu'aucune ne tombe en panne, sans autre hypothèse.

Voir le début du corrigé
  1. Pour n = 1, il y a égalité. Si c'est vrai au rang n, avec B la réunion des n premiers, P(B ∪ Aₙ₊₁) ≤ P(B) + P(Aₙ₊₁) ≤ Σ de i = 1 à n + 1 de P(Aᵢ). …

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Au moins une réalisation 3

Exercice 4. Le chevalier de Méré ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Comparer la probabilité d'au moins un 6 en quatre lancers d'un dé équilibré et celle d'au moins un double six en vingt-quatre lancers de deux dés équilibrés.

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  1. Ω={1,…,6}4\Omega = \{1, \ldots, 6\}^4, de cardinal 12961296, équiprobable. …

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Exercice 10. Les anniversaires ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Les anniversaires de nn personnes (2≤n≤3652 \leq n \leq 365) sont modélisés par une liste de nn jours parmi 365, toutes les listes étant équiprobables.

Exprimer la probabilité pnp_n qu'au moins deux personnes partagent un anniversaire.

Montrer que (pn)(p_n) est croissante.

Voir le début du corrigé
  1. Ω={1,…,365}n\Omega = \{1, \ldots, 365\}^n, de cardinal 365n365^n.

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Exercice 9. Le problème des rencontres ★★★

Approfondissement · 40 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

On place au hasard 3 lettres dans 3 enveloppes adressées, une par enveloppe, toutes les répartitions étant équiprobables.

Calculer la probabilité qu'au moins une lettre soit bien placée.

Même question avec 4 lettres, sans formule à quatre termes.

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  1. Ω\Omega compte 3!=63! = 6 permutations. Ai=A_i = « la lettre ii est bien placée ».

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Tirages aléatoires 2

Exercice 5. Tirage ordonné ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

Une urne contient 5 jetons rouges et 7 bleus, tous distincts.

On tire successivement trois jetons sans remise.

Calculer la probabilité d'exactement deux rouges, puis celle que le troisième jeton soit rouge.

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  1. Ω\Omega compte 12×11×10=132012 \times 11 \times 10 = 1320 listes équiprobables.

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Exercice 7. Une main de cartes ★

Application du cours · 10 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

On tire simultanément 5 cartes d'un jeu de 32 contenant 4 as. Calculer la probabilité d'exactement deux as, puis d'au moins un as.

Voir le début du corrigé
  1. Ω compte (5 parmi 32) = 201 376 mains équiprobables. …

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Fiche rédigée à partir du programme officiel d'ECG, mathématiques appliquées de première année, premier semestre, partie VI « Probabilités et statistiques », section 4 « Probabilité ». Le cadre est celui d'un univers fini, sans difficulté théorique sur l'ensemble des événements. La probabilité conditionnelle et l'indépendance font l'objet des sections suivantes du programme et ne sont pas traitées ici.