Probabilité conditionnelle et indépendance

Exercice 1. Les deux enfants ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

On modélise une famille de deux enfants par $$\Omega = \{GG, GF, FG, FF\},$$ muni de l'équiprobabilité, où la première lettre désigne l'aîné.

Calculer la probabilité d'avoir deux garçons sachant qu'il y a au moins un garçon, puis sachant que l'aîné est un garçon.

Exercice 3. Les trois portes ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Une voiture est placée au hasard derrière l'une de trois portes.

Le joueur choisit la porte 1.

L'animateur, qui sait où est la voiture, ouvre une autre porte sans voiture.

Quand il a le choix, il tire au sort entre les deux portes possibles.

L'animateur ouvre la porte 3.

Le joueur a-t-il intérêt à changer pour la porte 2 ?

Exercice 2. Le deuxième tirage et le conditionnement par le futur ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Une urne contient $b$ boules blanches et $r$ boules rouges, avec $b \geq 1$ et $r \geq 1$.

On tire deux boules sans remise.

Calculer $P(B_2)$, puis $P_{B_2}(B_1)$.

Exercice 5. Urnes numérotées et Bayes ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

On dispose de $n + 1$ urnes $U_0, \dots, U_n$, avec $n \geq 1$.

L'urne $U_k$ contient $k$ boules blanches et $n - k$ noires.

On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule, qui est blanche.

Calculer la probabilité d'avoir choisi $U_k$.

Exercice 9. Urne de Pólya ★★★

Approfondissement · 35 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

Une urne contient $b$ boules blanches et $r$ rouges, avec $b \geq 1$ et $r \geq 1$.

À chaque tirage, on remet la boule et on ajoute $c$ boules de sa couleur, avec $c \geq 1$.

Montrer que pour tout $n \geq 1$, la probabilité que la $n$-ième boule soit blanche vaut $$\frac{b}{b + r}.$$

Exercice 4. Fiabilité d'un montage ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Un système comporte un composant $C_1$ monté en série avec un bloc formé de $C_2$ et $C_3$ en parallèle.

Les composants fonctionnent de façon mutuellement indépendante, avec les probabilités $p_1$, $p_2$ et $p_3$.

Calculer la probabilité que le système fonctionne.

Exercice 8. Indépendance sur un univers de cardinal premier ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit emlyon

Soit $$\Omega = \{1, \dots, n\}$$ muni de l'équiprobabilité, avec $n$ premier.

Montrer que si $A$ et $B$ sont indépendants, alors l'un des deux vaut $\emptyset$ ou $\Omega$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 7. Premier succès et seuil ★

Application du cours · 10 min · Niveau écrit Ecricome

On répète des épreuves mutuellement indépendantes, chacune réussie avec probabilité $p$ dans $]0, 1[$.

Calculer la probabilité que le premier succès ait lieu à l'épreuve $k$, puis la probabilité d'au moins un succès en $n$ épreuves.

Pour $p = 0{,}1$, trouver le plus petit $n$ qui rend cette probabilité au moins égale à $0{,}99$.

Exercice 6. Chaîne à deux états ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC

Un client est fidèle ou non chaque mois. On note $E_n$ « fidèle au mois $n$ » et $p_n = P(E_n)$. On suppose $P_{E_n}(E_{n+1}) = a$ et $P_{\overline{E_n}}(E_{n+1}) = b$, avec $a$ et $b$ dans $[0, 1]$, et on exclut le cas $a = 1$, $b = 0$. Exprimer $p_n$, puis étudier sa limite.