Aller au contenu
Sup et Spé
Télécharger l'application

Accueil › ECG › Maths appliquées

ECG1 · Maths appliquées · semaine 20

L’espace Rn, sous-espaces vectoriels et applications linéaires

Définition de Rn, lois interne et externe, combinaisons linéaires et base canonique. Sous-espaces vectoriels, sous-espace engendré, familles génératrices, bases, dimension, familles libres et rang d'une famille de vecteurs. Applications linéaires de Rn dans Rm, noyau, image, rang d'une matrice et théorème du rang, sans exposé théorique abstrait.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Rn\R^n est muni d'une addition et d'une multiplication par un réel, et de sa base canonique, dans laquelle tout vecteur a des coordonnées uniques.
  2. Un sous-espace vectoriel est un Vect⁡\Vect, il contient le vecteur nul et il est stable par combinaison linéaire. Les solutions d'un système homogène en forment un.
  3. Une base est une famille libre et génératrice, toutes les bases d'un même sous-espace ont le même nombre de vecteurs, ce nombre est la dimension.
  4. Une matrice MM définit l'application X↦MXX\mapsto MX, dont le noyau est l'ensemble des solutions de MX=0MX=0 et l'image est engendrée par les colonnes de MM.
  5. Théorème du rang : dimension du noyau plus rang égale le nombre de colonnes.
Pourquoi ce chapitre

Le premier semestre a installé le calcul matriciel et la résolution des systèmes linéaires. Ce chapitre donne le vocabulaire géométrique qui permet d'interpréter ces calculs.

Un système homogène n'a plus seulement des solutions, il a un ensemble de solutions qui est un sous-espace vectoriel, dont on sait donner la dimension et une base. Une matrice définit une application linéaire dont on étudie le noyau et l'image.

Le théorème du rang relie ces objets par une égalité de dimensions qui décide de l'existence et de l'unicité des solutions.

En économie et en gestion, ce langage sert dès qu'on manipule des vecteurs de biens, de prix, de rendements ou de coordonnées factorielles. En deuxième année, la réduction des matrices reposera sur ces notions.

Fin de l'aperçu gratuit

Encore 11 parties de cours et 9 corrigés.

Essayer 7 jours gratuitement Sans engagement · cours, exercices et fiches complets

Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Sous-espaces de R³ 1

Exercice 1. Reconnaître un sous-espace ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Parmi A={x+y+z=0},A = \{x + y + z = 0\}, B={x+y+z=1},B = \{x + y + z = 1\}, C={x=y=z},C = \{x = y = z\}, D={x2=y2},D = \{x^2 = y^2\}, lesquels sont des sous-espaces de R3\R^3 ?

Voir l'indice

Technique écrire comme un Vect, ou exhiber un contre-exemple.

Voir le corrigé offert
  1. Pour AA, z=−x−yz=-x-y, donc (x,y,z)=x(1,0,−1)+y(0,1,−1)(x,y,z)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1) et A=Vect((1,0,−1),(0,1,−1))A=Vect((1,0,-1),(0,1,-1)).
  2. BB ne contient pas (0,0,0)(0,0,0), ce n'est pas un sous-espace.
  3. C={(x,x,x)}=Vect((1,1,1))C=\{(x,x,x)\}=Vect((1,1,1)).
  4. DD contient (1,1,0)(1,1,0) et (1,−1,0)(1,-1,0), mais pas leur somme (2,0,0)(2,0,0), car 4≠04\neq0. Ce n'est pas un sous-espace.

piège : Conclure pour DD à partir de « 00 est dans DD ». Une seule stabilité qui échoue suffit à conclure non.

Noyau et image 3

Exercice 4. Système avec second membre ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Résoudre x+y+z=3,x−y=0.\begin{aligned} x + y + z &= 3, \\ x - y &= 0. \end{aligned}

L'ensemble SS des solutions est-il un sous-espace ?

Décrire SS à l'aide d'un noyau.

Voir le début du corrigé
  1. (0,0,0)(0,0,0) n'est pas solution, SS n'est pas un sous-espace.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 2. Base d'un noyau à quatre inconnues ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Donner une base et la dimension de l'ensemble des (x,y,z,t)(x, y, z, t) tels que x+y+z+t=0etx−y+2z=0.x + y + z + t = 0 \quad\text{et}\quad x - y + 2z = 0.

Voir le début du corrigé
  1. En ajoutant les équations, 2x+3z+t=02x+3z+t=0, donc x=(−3z−t)/2x=(-3z-t)/2. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 5. Noyau, image et rang d'une matrice 3 × 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Soit M de lignes (1, 2, 0, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 2). Déterminer Ker(M), Im(M), leurs dimensions, et vérifier le théorème du rang.

Voir le début du corrigé
  1. L3=L1+L2L_3=L_1+L_2, le système se réduit à x+2y+t=0x+2y+t=0 et y+z+t=0y+z+t=0.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Rang selon un paramètre 2

Exercice 3. Famille dépendant d'un paramètre ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit aa réel, u1=(1,1,1),u2=(1,2,3),u3=(1,3,a).\begin{aligned} u_1 &= (1, 1, 1), \\ u_2 &= (1, 2, 3), \\ u_3 &= (1, 3, a). \end{aligned} Pour quelles valeurs de aa la famille est-elle une base de R3\R^3 ?

Voir le début du corrigé
  1. Les lignes de cette matrice sont (1,1,1)(1,1,1), (1,2,3)(1,2,3), (1,3,a)(1,3,a).

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 6. Rang selon un paramètre ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit Ecricome ou EDHEC

Soit a réel et Mₐ de lignes (1, 1, a), (1, a, 1), (a, 1, 1). Déterminer le rang de Mₐ selon a, puis le noyau dans les cas non inversibles.

Voir le début du corrigé
  1. L2−L1L_2-L_1 donne (0,a−1,1−a)(0,a-1,1-a), et L3−aL1L_3-aL_1 donne (0,1−a,1−a2)(0,1-a,1-a^2).

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Composition d'applications 1

Exercice 7. Composition ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome ou EDHEC

Soit AA de lignes (1,0,1)(1, 0, 1), (0,1,−1)(0, 1, -1) et BB de lignes (1,0)(1, 0), (0,1)(0, 1), (1,1)(1, 1).

On note f:X↦AXf : X \mapsto AX de R3\R^3 dans R2\R^2, et g:Y↦BYg : Y \mapsto BY de R2\R^2 dans R3\R^3.

Étudier f∘gf \circ g et g∘fg \circ f.

Voir le début du corrigé
  1. f∘gf\circ g est associée à ABAB, de taille 2×22\times2, de lignes (2,1)(2,1), (−1,0)(-1,0).

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Sous-espaces propres 1

Exercice 8. Sous-espaces du type AX = λX ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome ou EDHEC

Soit AA de lignes (2,1,1)(2, 1, 1), (1,2,1)(1, 2, 1), (1,1,2)(1, 1, 2) et II l'identité d'ordre 33.

Déterminer E1={X:AX=X}E_1 = \{X : AX = X\} et E4={X:AX=4X}.E_4 = \{X : AX = 4X\}. Montrer que la réunion de leurs bases est une base de R3\R^3.

Voir le début du corrigé
  1. A−IA-I a toutes ses lignes égales à (1,1,1)(1,1,1). …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Matrices de rang 1 et carré nul 2

Exercice 9. Matrice de rang 1 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soient XX et YY deux vecteurs non nuls de R3\R^3 et la matrice carrée d'ordre 3 définie par M=X tY.M = X\,{}^tY.

Déterminer Im⁡(M)\operatorname{Im}(M), le rang de MM et la dimension de son noyau.

Voir le début du corrigé
  1. Pour ZZ dans R3R^3, MZ=X(tYZ)MZ=X({}^{t}YZ), avec tYZ{}^{t}YZ réel. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 10. Matrice de carré nul ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit AA carrée d'ordre 33, non nulle, telle que A2=0A^2 = 0.

Montrer que Im⁡(A)\operatorname{Im}(A) est inclus dans Ker⁡(A)\operatorname{Ker}(A), puis que rg⁡(A)=1\operatorname{rg}(A) = 1.

Donner un exemple.

Voir le début du corrigé
  1. Si Y=AXY=AX, alors AY=A2X=0AY=A^2X=0, donc YY est dans Ker(A)Ker(A).

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG première année, mathématiques appliquées, enseignement du second semestre, partie I « L'espace Rn\R^n, sous-espaces vectoriels et applications linéaires », paragraphes a, b et c.