Compléments sur les variables aléatoires réelles quelconques

Exercice 1. Calculs directs ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

$X \sim \mathcal{E}(2)$ et $Y \sim \mathcal{U}([0, 1])$ sont indépendantes. Calculer $E(3X - 2Y + 1)$, $V(3X - 2Y + 1)$, $E(XY)$, $E(X e^{Y})$ et $E(X^2 Y)$.

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Technique linéarité, additivité et produit, en citant l'indépendance là où elle sert.

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1. On a $$E(X) = 1/2, \quad V(X) = 1/4, \quad E(Y) = 1/2, \quad V(Y) = 1/12.$$
2. Par linéarité, $$E(3X - 2Y + 1) = 3/2 - 1 + 1 = 3/2.$$
3. $3X$ et $-2Y$ sont indépendantes, fonctions de $X$ et de $Y$. Donc $$V = 9 \times 1/4 + 4 \times 1/12 = 9/4 + 1/3 = 31/12.$$
4. Par indépendance, $E(XY) = 1/4$.
5. $X$ et $e^y$ sont indépendantes. Le transfert donne $E(e^y) = \int_0^1 e^t\,dt = e - 1$, donc $E(X e^y) = (e - 1)/2$.
6. $X^2$ et $Y$ sont indépendantes. $E(X^2) = V(X) + E(X)^2 = 1/2$, donc $E(X^2Y) = 1/4$.

piège : Écrire $V(3X - 2Y) = 3V(X) - 2V(Y)$. Les coefficients sortent au carré et les variances s'ajoutent toujours.

Exercice 2. Coalitions et blocs qui se chevauchent ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

$X_1, X_2, X_3, X_4$ sont indépendantes de loi $\mathcal{U}[0, 1]$.

Calculer $$E((X_1 + X_2)(X_3 - X_4)^2).$$ Montrer ensuite que $X_1 + X_2$ et $X_2 + X_3$ ne sont pas indépendantes.

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1. $X_1 + X_2$ est une fonction de $(X_1, X_2)$, et $(X_3 - X_4)^2$ une fonction de $(X_3, X_4)$. …

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Exercice 3. Décorrélées mais dépendantes, version à densité ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

$X \sim \mathcal{N}(0, 1)$ et $Y = X^2$.

Montrer que $E(XY) = E(X)E(Y)$ et que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

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Exercice 4. Linéarité sans indépendance ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

On range au hasard $n$ lettres dans $n$ enveloppes adressées, une lettre par enveloppe, tous les rangements étant équiprobables.

$S_n$ désigne le nombre de lettres dans la bonne enveloppe.

Calculer $E(S_n)$.

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1. On note $A_i$ l'indicatrice de l'événement « la lettre $i$ est dans la bonne enveloppe ». …

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Exercice 5. Une variable mixte ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

$X \sim \mathcal{E}(1)$ et $B \sim \mathcal{B}(p)$ sont indépendantes, avec $0 < p < 1$.

On pose $$Z = BX + 2(1 - B).$$ Calculer $E(Z)$ et $V(Z)$.

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1. $Z$ vaut $X$ si $B = 1$ et $2$ si $B = 0$. Elle n'est ni discrète ni à densité, mais les propriétés opératoires s'appliquent.

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Exercice 6. Somme de normales indépendantes ★

Application du cours · 10 min · Niveau écrit EDHEC

$X \sim \mathcal{N}(1, 4)$ et $Y \sim \mathcal{N}(-2, 9)$ sont indépendantes.

Déterminer la loi de $W = 2X - Y$ et calculer $P(W > 9)$.

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Exercice 7. Encadrement par croissance ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit EDHEC

$X \sim \mathcal{E}(1)$.

Justifier l'existence de $E\left(\frac{1}{1 + X}\right)$ et montrer que $$\frac{1}{2} \leq E\left(\frac{1}{1 + X}\right) \leq 1.$$

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1. La fonction $g : t \mapsto 1/(1 + t)$ est continue sur $[0, +\infty[$, à valeurs dans $]0, 1]$. …

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Exercice 8. Taille d'échantillon ★

Application du cours · 10 min · Niveau écrit EDHEC

$X_1, \ldots, X_n$ sont indépendantes de loi $\mathcal{E}(\lambda)$.

Calculer l'espérance et l'écart-type de $M_n$.

Pour quelles valeurs de $n$ l'écart-type de $M_n$ est-il inférieur ou égal à $5\,\%$ de son espérance ?

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1. Chaque $X_i$ a pour espérance $1/\lambda$ et pour variance $1/\lambda^2$.

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Exercice 9. Minimum et maximum d'exponentielles ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

$X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ et $Y \sim \mathcal{E}(\mu)$ sont indépendantes.

On pose $U = \min(X, Y)$ et $V = \max(X, Y)$.

Déterminer la loi de $U$, puis $E(V)$.

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1. Pour $t < 0$, $P(U > t) = 1$, car $X$ et $Y$ sont positives presque sûrement.

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Exercice 10. Deux estimateurs sans biais ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit HEC

$X_1, \ldots, X_n$ sont indépendantes de loi $\mathcal{E}(\lambda)$.

On pose $$T_n = n \times \min(X_1, \ldots, X_n).$$ Montrer que $T_n$ et $M_n$ ont la même espérance, et comparer leurs variances.

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1. Comme à l'exercice 9, en utilisant l'indépendance mutuelle, $P(\min > t) = e^{-n\lambda t}$ pour $t \geq 0$. …

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