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ECG1 · Maths appliquées · semaine 11

Limite et continuité d’une fonction en un point

Limite et continuité en un point, unicité de la limite, limites à gauche et à droite, extension aux limites infinies. Opérations algébriques, compatibilité avec l'ordre, encadrement, limite d'une composée et image d'une suite convergente. Études asymptotiques de l'exponentielle et du logarithme et croissances comparées, les équivalents ne sont traités qu'en seconde année.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. La définition du programme unifie limite et continuité. Si le point est dans le domaine, la seule limite possible est la valeur de la fonction en ce point.
  2. Une fonction est continue en un point intérieur si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et valent toutes deux la valeur de la fonction.
  3. Les opérations algébriques règlent tout sauf quatre formes indéterminées, qu'il faut lever par transformation.
  4. Le théorème d'encadrement donne existence et valeur, le théorème de composition permet le changement de variable.
  5. L'exponentielle l'emporte sur la puissance, qui l'emporte sur le logarithme en +∞+\infty, et la puissance l'emporte sur le logarithme en 00.
Pourquoi ce chapitre

La notion de limite permet de décrire :

  • le comportement d'une fonction au voisinage d'un point où elle n'est pas définie ;
  • son comportement asymptotique quand la variable devient très grande.

En économie, ces deux questions correspondent à des lectures concrètes :

  • le coût moyen quand la production devient très faible ;
  • le rendement quand elle devient très grande ;
  • le comportement d'un modèle à l'horizon lointain.

La continuité en un point traduit l'idée d'absence de saut. Le programme l'introduit comme un cas particulier de la limite. Cette présentation unifiée évite d'apprendre deux définitions.

Le chapitre fournit les outils de calcul :

  • les opérations algébriques ;
  • l'encadrement ;
  • la composition ;
  • les résultats de croissances comparées.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Limite par définition 1

Exercice 1. Utiliser la définition ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Montrer avec la définition du programme que x↦x2x \mapsto x^2 tend vers 44 en 22.

Voir l'indice

Technique majorer ∣f(x)−l∣|f(x) - l| par une constante fois ∣x−x0∣|x - x_0| sur un voisinage borné.

Voir le corrigé offert
  1. On a ∣x2−4∣=∣x−2∣×∣x+2∣|x^2 - 4| = |x - 2| \times |x + 2|.
  2. Si ∣x−2∣≤1|x - 2| \leq 1, alors x∈[1,3]x \in [1, 3], donc ∣x+2∣≤5|x + 2| \leq 5 et ∣x2−4∣≤5∣x−2∣|x^2 - 4| \leq 5|x - 2|.
  3. Soit ε>0\varepsilon > 0 et α=min⁡(1,ε/5)\alpha = \min(1, \varepsilon/5). Si ∣x−2∣≤α|x - 2| \leq \alpha, alors ∣x2−4∣≤5α≤ε|x^2 - 4| \leq 5\alpha \leq \varepsilon.

piège : Prendre α=ε/∣x+2∣\alpha = \varepsilon/|x + 2|. α\alpha dépend de ε\varepsilon seulement, jamais de xx.

Calcul de limites 1

Exercice 2. Les formes indéterminées ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Calculer (a) la limite en 11 de x2−3x+2x−1\frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1},

(b) les limites de x2+x−x\sqrt{x^2 + x} - x en +∞+\infty et en −∞-\infty,

(c) la limite en +∞+\infty de x−ln⁡xx - \ln x,

(d) la limite en +∞+\infty de (ln⁡x)2x\frac{(\ln x)^2}{x}.

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  1. (a) Forme 0/00/0. Pour x≠1x \neq 1, le quotient vaut x−2x - 2 car x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2). …

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Prolongement par continuité 1

Exercice 3. Prolongement de xˣ ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit la fonction f(x)=xxf(x) = x^x pour x>0x > 0.

Montrer que ff est prolongeable par continuité en 00 et trouver sa limite en +∞+\infty.

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  1. Pour x>0x > 0, f(x)=exp⁡(xln⁡x)f(x) = \exp(x \ln x).

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Fonctions à partie entière 1

Exercice 4. Continuité avec partie entière ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Étudier la continuité sur R\R de f(x)=⌊x⌋+(x−⌊x⌋)2.f(x) = \lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x \rfloor)^2.

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  1. Si x0x_0 n'est pas entier, avec n=⌊x0⌋n = \lfloor x_0 \rfloor, f(x)=n+(x−n)2f(x) = n + (x - n)^2 sur ]n,n+1[]n, n + 1[, polynôme. …

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Prolongement par continuité 1

Exercice 5. Encadrement des deux côtés ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Montrer que f(x)=x⌊1x⌋,f(x) = x \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor, définie pour x≠0x \neq 0, est prolongeable par continuité en 00.

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  1. Pour x≠0x \neq 0, 1/x−1<⌊1/x⌋≤1/x1/x - 1 < \lfloor 1/x \rfloor \leq 1/x.

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Fonctions à partie entière 1

Exercice 6. Une fonction bornée sans limite ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

Soit la fonction g(x)=1x−⌊1x⌋g(x) = \frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor pour x>0x > 0.

Montrer que 0≤g<10 \leq g < 1, puis que gg n'a pas de limite en 00.

Voir le début du corrigé
  1. L'encadrement ⌊y⌋≤y<⌊y⌋+1\lfloor y\rfloor\leq y<\lfloor y\rfloor+1 avec y=1/xy = 1/x donne 0≤g(x)<10 \leq g(x) < 1.

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Calcul de limites 1

Exercice 7. Croissances comparées mixtes ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Calculer

(a) la limite en +∞+\infty de x2+exx ex+ln⁡x,\frac{x^2 + e^x}{x\,e^x + \ln x}, (b) la limite en 0+0^+ de x (ln⁡x)2\sqrt{x}\,(\ln x)^2,

(c) la limite en −∞-\infty de x3exx^3 e^x.

Voir le début du corrigé
  1. (a) Le numérateur vaut ex(1+x2e−x)e^x(1 + x^2 e^{-x}), le dénominateur xex(1+((ln⁡x)/x)e−x)x e^x(1 + ((\ln x)/x) e^{-x}). …

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Suites et fonctions 1

Exercice 8. Des fonctions aux suites ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

(a) Montrer que n1/nn^{1/n} tend vers 11.

(b) Soit u0>0u_0 > 0 et un+1=un e−un.u_{n+1} = u_n\, e^{-u_n}. Montrer que (un)(u_n) converge et trouver sa limite.

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  1. (a) x ↦ xˣ tend vers 1 en 0⁺ (exercice 3), et 1/n tend vers 0 dans ]0, +∞[. …

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Prolongement par continuité 1

Exercice 9. Puissance variable aux deux bornes ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit f(x)=(ln⁡x)1/xf(x) = (\ln x)^{1/x} sur ]1,+∞[]1, +\infty[.

Étudier les limites en 1+1^+ et en +∞+\infty.

ff est-elle prolongeable par continuité en 11 ?

Voir le début du corrigé
  1. Pour x>1x > 1, ln⁡x>0\ln x > 0, donc f(x)=exp⁡(ln⁡(ln⁡x)/x)f(x) = \exp(\ln(\ln x)/x).

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Continuité globale 1

Exercice 10. Équation fonctionnelle ★★★

Approfondissement · 45 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit ff de R\R dans R\R, continue en 00, telle que f(x+y)=f(x)+f(y)f(x + y) = f(x) + f(y) pour tous réels xx et yy.

Montrer que ff est continue sur R\R, puis que f(x)=xf(1)f(x) = x f(1) pour tout réel xx.

Voir le début du corrigé
  1. Avec x=y=0x = y = 0, f(0)=2f(0)f(0) = 2f(0), donc f(0)=0f(0) = 0.

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Fiche rédigée à partir du programme officiel d'ECG, mathématiques appliquées de première année, premier semestre, partie V « Fonctions réelles d'une variable réelle », section 2 « Limite et continuité d'une fonction en un point ». Le programme précise qu'aucune démonstration de ce chapitre n'est exigible, et que les notions d'équivalence et de négligeabilité ne seront abordées qu'en deuxième année. Les fonctions considérées sont définies sur un intervalle de R\R.