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ECG1 · Maths appliquées · semaine 10

Compléments sur les fonctions usuelles

Fonctions polynômes, degré, racines, factorisation et trinôme du second degré, sans construction des polynômes formels. Fonction racine carrée, inverse, puissances, valeur absolue et partie entière avec leurs représentations graphiques. Rappel des propriétés du logarithme et de l'exponentielle et positions relatives de leurs courbes.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Un polynôme de degré au plus nn ayant plus de nn racines distinctes est nul. Un réel aa est racine de PP si et seulement si P(x)=(x−a)Q(x)P(x)=(x-a)Q(x) pour un polynôme QQ.
  2. Un trinôme est du signe de son coefficient dominant à l'extérieur de ses racines, du signe opposé strictement entre elles, et nul aux racines. Il n'a pas de racine réelle quand le discriminant est négatif.
  3. Toute fonction puissance se définit par xα=exp⁡(αln⁡x)x^\alpha=\exp(\alpha\ln x) sur les réels strictement positifs, ce qui donne toutes les règles de calcul.
  4. ∣x−a∣\abs{x-a} est la distance de xx à aa, et la partie entière de xx vérifie l'encadrement x−1<⌊x⌋⩽xx-1<\lfloor x\rfloor\leqslant x.
  5. Le logarithme et l'exponentielle sont réciproques, avec ln⁡x⩽x−1\ln x\leqslant x-1 pour x>0x>0 et ex⩾x+1\e^x\geqslant x+1 pour tout réel xx.
Pourquoi ce chapitre

RemarqueOutils de l'analyse

Toutes les fonctions étudiées dans l'année sont construites à partir de cette liste :

  • polynômes ;
  • racine carrée ;
  • inverse ;
  • puissances ;
  • valeur absolue ;
  • partie entière ;
  • logarithme ;
  • exponentielle.

Le programme limite explicitement le champ des fonctions étudiées à ces fonctions usuelles et à celles qui s'en déduisent simplement.

À retenir

Connaître par cœur les domaines de définition, les variations, les limites aux bornes et l'allure des courbes permet de traiter la plupart des questions de limite et de signe sans calcul.

ExempleModèles économiques

En économie, ces fonctions servent de modèles de référence :

  • la fonction puissance pour les rendements d'échelle ;
  • le logarithme pour une utilité à rendement décroissant ;
  • l'exponentielle pour une croissance à taux constant en temps continu.

RemarqueInégalités

Le programme insiste aussi sur la pratique des inégalités. Il s'agit de savoir manipuler :

  • un signe ;
  • une valeur absolue ;
  • un encadrement.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Trinômes du second degré 2

Exercice 1. Trinôme de signe constant ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Déterminer les réels mm tels que x2+mx+1>0x^2 + mx + 1 > 0 pour tout réel xx.

Voir l'indice

Technique signe d'un trinôme selon le discriminant.

Voir le corrigé offert
  1. Le coefficient dominant vaut 11, il est positif.
  2. Si Δ=m2−4<0\Delta = m^2 - 4 < 0, le trinôme est strictement positif sur RR.
  3. Si Δ=0\Delta = 0, il s'annule en un point, et l'inégalité stricte échoue.
  4. Si Δ>0\Delta > 0, il est négatif entre ses racines.
  5. Conclusion, m2<4m^2 < 4, soit −2<m<2-2 < m < 2.

piège : Inclure m=2m = 2 et m=−2m = -2, en oubliant que le trinôme s'annule alors.

Exercice 2. Signes des racines sans les calculer ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Pour quels réels mm le trinôme x2−2mx+m+2x^2 - 2mx + m + 2 a-t-il deux racines distinctes strictement positives ?

Voir le début du corrigé
  1. Δ=4m2−4(m+2)=4(m−2)(m+1)\Delta=4m^2-4(m+2)=4(m-2)(m+1). …

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Polynômes et racines 2

Exercice 3. Factorisation et signe d'un polynôme de degré 3 ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Soit P(x)=x3−2x2−5x+6.P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6. Factoriser PP et donner son signe.

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  1. P(1)=1−2−5+6=0P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0, donc x−1x - 1 divise PP.

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Exercice 4. Unicité par comptage des racines ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Montrer qu'il existe un unique polynôme PP de degré au plus 2 tel que P(0)=1,P(1)=3,P(2)=7,P(0) = 1, \qquad P(1) = 3, \qquad P(2) = 7, puis le déterminer.

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  1. Unicité. Si PP et QQ conviennent, P−QP - Q est dans R2[x]R_2[x] et s'annule en 00, 11 et 22. …

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Valeurs absolues et partie entière 2

Exercice 5. Valeurs absolues ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Résoudre ∣x−1∣=∣2x+1∣|x - 1| = |2x + 1|, puis ∣x−1∣<∣2x+1∣|x - 1| < |2x + 1|.

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  1. Deux réels ont même valeur absolue si et seulement si ils sont égaux ou opposés.

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Exercice 6. Partie entière et encadrement ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

(a) Calculer ⌊x⌋+⌊−x⌋\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor selon xx.

(b) Soit xx réel. Montrer que ⌊nx⌋n\frac{\lfloor nx \rfloor}{n} tend vers xx.

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  1. Si xx est entier, la somme vaut x−x=0x - x = 0.

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Logarithme et exponentielle 1

Exercice 7. Les deux inégalités du logarithme ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

(a) Montrer que pour tout x > 0, 1 − 1/x ≤ ln x ≤ x − 1. (b) En déduire que pour n ≥ 1, e puissance n/(n + 1) ≤ (1 + 1/n)ⁿ ≤ e, puis la limite de (1 + 1/n)ⁿ.

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  1. La majoration est celle du cours.

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Fonctions puissances 3

Exercice 8. Une fonction u puissance v ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Étudier f(x) = x puissance 1/x sur ]0, +∞[. Donner ses limites et ses variations.

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  1. f(x) = exp(g(x)) avec g(x) = ln x / x, défini car x > 0. …

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Exercice 9. Comparer e puissance π et π puissance e ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Sans calculatrice, déterminer lequel des deux nombres e puissance π et π puissance e est le plus grand.

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  1. Les deux nombres sont strictement positifs, et le logarithme est strictement croissant. …

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Exercice 10. Sous-additivité d'une puissance ★★★

Approfondissement · 40 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit α dans ]0, 1[. Montrer que pour tous réels x ≥ 0 et y ≥ 0, (x + y)ᵅ ≤ xᵅ + yᵅ, avec la convention 0ᵅ = 0. Interpréter pour une fonction de production.

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  1. Si x + y = 0, alors x = y = 0 et l'inégalité s'écrit 0 ≤ 0. …

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Fiche rédigée à partir du programme officiel d'ECG, mathématiques appliquées de première année, premier semestre, partie V « Fonctions réelles d'une variable réelle », section 1 « Compléments sur les fonctions usuelles ».