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ECG1 · Maths appliquées · semaine 21

Dérivation et dérivées successives

Dérivée en un point, tangente au graphe, dérivées à gauche et à droite, fonction dérivée et opérations sur les dérivées. Inégalité des accroissements finis, caractérisation des fonctions constantes et monotones par le signe de la dérivée et extremum local. Dérivées successives et fonctions de classe C1, C2 et C infini.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. f′(a)f'(a) est la limite du taux d'accroissement en aa, elle donne la pente de la tangente et l'approximation affine locale.
  2. Les opérations sur les dérivées sont les outils de calcul, sans excès de technicité :
    • somme ;
    • produit ;
    • quotient ;
    • composée.
  3. Si ∣f′∣⩽k|f'|\leqslant k sur un intervalle, alors ∣f(b)−f(a)∣⩽k∣b−a∣|f(b)-f(a)|\leqslant k|b-a|. Pour une suite un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) restant dans cet intervalle et un point fixe ll de cet intervalle, cette inégalité donne la convergence vers ll quand 0⩽k<10\leqslant k<1.
  4. Sur un intervalle, le signe de f′f' donne les variations, et un extremum local apparaît là où f′f' s'annule en changeant de signe.
  5. Les classes C1\mathcal C^1, C2\mathcal C^2 et C∞\mathcal C^\infty décrivent la régularité. Elles sont stables par :
    • somme ;
    • produit ;
    • quotient là où le dénominateur ne s'annule pas ;
    • composition lorsque les domaines sont compatibles.
Pourquoi ce chapitre

La dérivée est l'outil de base de l'analyse appliquée. Elle mesure une vitesse de variation, ce qui en économie s'appelle une grandeur marginale :

  • coût marginal ;
  • recette marginale ;
  • productivité marginale.

Le signe de la dérivée donne le sens de variation, donc les tableaux de variation, donc les optimums.

L'approximation affine locale justifie les raisonnements « pour une petite variation de la quantité produite ». L'inégalité des accroissements finis fournit un outil pour contrôler l'écart entre deux valeurs d'une fonction, et sert à l'étude des suites récurrentes du type un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n).

Enfin les dérivées successives préparent la convexité et l'étude graphique complète. Ce chapitre est le passage obligé avant les équations différentielles et l'intégration.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour ECG1.

Classiques et HP réservés

Prolongements et démonstrations de Maths appliquées.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Dérivabilité en un point 2

Exercice 1. Dérivabilité en un point au bord ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

On pose f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x pour x>0x > 0 et f(0)=0.f(0) = 0. La fonction ff est-elle continue en 00 ? Est-elle dérivable en 00 ?

Voir l'indice

Technique croissances comparées pour la continuité, taux d'accroissement pour la dérivabilité.

Voir le corrigé offert
  1. Par croissances comparées, xln⁡xx \ln x tend vers 00 quand xx tend vers 00 par valeurs positives, donc ff est continue à droite en 00.
  2. Le taux vaut (f(h)−f(0))/h=ln⁡h(f(h) - f(0))/h = \ln h pour h>0h > 0.
  3. Ce taux tend vers −∞-\infty, donc ff n'est pas dérivable en 00. La courbe a une tangente verticale en l'origine.

piège : Calculer f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1 puis « évaluer en 00 ». Cette formule ne vaut que sur l'ouvert ]0,+∞[]0, +\infty[.

Exercice 2. Raccord avec paramètres ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

On pose f(x)=expour x≤0f(x) = e^x \quad \text{pour } x \leq 0 et f(x)=ax2+bx+cpour x>0.f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{pour } x > 0. Trouver aa, bb, cc pour que ff soit C1C^1 sur R\R, puis pour qu'elle soit deux fois dérivable en 00.

Voir le début du corrigé
  1. Continuité en 00 : la limite à droite est cc et f(0)=1f(0) = 1, donc c=1c = 1.

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Limites par taux d'accroissement 1

Exercice 3. Limites par taux d'accroissement ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Calculer les limites en 00 de ln⁡(1+3x)x,\frac{\ln(1 + 3x)}{x}, de 1+x−1x\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} et de ex−1ln⁡(1+x).\frac{e^x - 1}{\ln(1 + x)}.

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Étude de fonction et inégalités 2

Exercice 4. Encadrement du logarithme ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Montrer que pour tout x≥0x \geq 0, x−x22≤ln⁡(1+x)≤x.x - \frac{x^2}{2} \leq \ln(1 + x) \leq x.

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Exercice 5. Comparer eᵖⁱ et πᵉ ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Étudier f(x)=ln⁡(x)xf(x) = \frac{\ln(x)}{x} sur ]0,+∞[]0, +\infty[. En déduire lequel des deux nombres eπe^{\pi} et πe\pi^{e} est le plus grand.

Voir le début du corrigé
  1. f′(x)=(1−ln⁡x)/x2f'(x) = (1 - \ln x)/x^2, positive sur ]0,e]]0, e] et négative sur [e,+∞[[e, +\infty[.

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Suites récurrentes 3

Exercice 6. Une suite contractante ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit Ecricome

Soit u0≥0u_0 \geq 0 et la suite définie par un+1=2+un.u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}. Montrer que la suite converge vers 22 avec une majoration explicite de l'erreur.

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Exercice 7. Point fixe de x ↦ e⁻ˣ et vitesse de convergence ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

u0=1u_0 = 1 et un+1=e−unu_{n+1} = e^{-u_n}. Montrer que la suite converge et trouver un rang à partir duquel l'erreur est inférieure à 10−310^{-3}.

Voir le début du corrigé
  1. Soit f(x)=e−xf(x) = e^{-x} et I=[1/e,1]I = [1/e, 1]. …

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Exercice 10. Accélérer une convergence en resserrant l'intervalle ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

On pose f(x)=x+2x2f(x) = \frac{x + \frac{2}{x}}{2} et un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) avec u0∈[1,2]u_0 \in [1, 2].

Montrer que unu_n tend vers 2\sqrt{2}, puis améliorer la majoration de l'erreur.

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Coût moyen 1

Exercice 8. Coût moyen et coût marginal ★

Application du cours · 10 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

Soit CC une fonction de coût dérivable sur ]0,+∞[]0, +\infty[ et CM(q)=C(q)qCM(q) = \frac{C(q)}{q} le coût moyen.

Montrer que CM′(q)=0CM'(q) = 0 si et seulement si C′(q)=CM(q)C'(q) = CM(q).

Traiter le cas C(q)=q2+100.C(q) = q^2 + 100.

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Dérivées successives 1

Exercice 9. Dérivée n-ième d'un produit simple ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

Soit f(x)=x ex.f(x) = x\,e^x. Montrer que ff est C∞C^\infty sur R\R et que pour tout entier nn, f(n)(x)=(x+n)ex.f^{(n)}(x) = (x + n)e^x. En déduire le minimum de f(n)f^{(n)}.

Voir le début du corrigé
  1. ff est un produit de fonctions C∞C^\infty, donc elle est C∞C^\infty.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG première année, mathématiques appliquées, enseignement du second semestre, partie II « Calcul différentiel et intégral », paragraphe 1, sous-parties a « Dérivation » et b « Dérivées successives ».