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ECG1 · Maths appliquées · semaine 25

Intégration sur un segment

Aire sous la courbe, primitive d'une fonction continue sur un intervalle et intégrale sur un segment avec la relation de Chasles. Linéarité, positivité, cas d'une fonction continue positive d'intégrale nulle et majoration par l'intégrale de la valeur absolue. Calcul de primitives, intégration par parties et changement de variables, sans excès de technicité.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. L'intégrale de aa à bb de ff est F(b)−F(a)F(b)-F(a) pour n'importe quelle primitive FF de ff, et toute fonction continue sur un intervalle en admet une.
  2. Chasles, linéarité, positivité et croissance sont les propriétés de base, avec l'hypothèse a⩽ba \leqslant b pour les deux dernières.
  3. Une fonction continue positive d'intégrale nulle sur un segment non réduit à un point est identiquement nulle.
  4. La majoration de la valeur absolue de l'intégrale par l'intégrale de la valeur absolue est l'outil de majoration standard.
  5. Trois techniques de calcul : reconnaissance à vue avec le modèle u′uαu'u^\alpha, intégration par parties pour les produits, changement de variable de classe C1\mathcal C^1 strictement monotone en n'oubliant pas les bornes.
Pourquoi ce chapitre

L'intégrale répond à la question inverse de la dérivée. Si on connaît la vitesse de variation d'une grandeur, l'intégrale reconstitue la grandeur elle-même.

En économie, c'est le passage :

  • du coût marginal au coût total ;
  • du flux au stock ;
  • du taux instantané au cumul.

L'intégrale est aussi une aire, ce qui donne le surplus du consommateur ou du producteur comme aire entre une courbe et une droite de prix.

Ce chapitre installe trois savoir-faire : reconnaître une primitive, intégrer par parties, changer de variable.

Ces outils serviront pour les études de suites définies par une intégrale, puis en deuxième année pour les intégrales généralisées et les variables aléatoires à densité.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Calcul d'intégrales 3

Exercice 1. Quatre calculs à vue ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Calculer (a) ∫012x+1x2+x+1 dx\int_0^1 \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\,dx, (b) ∫1e(ln⁡x)2x dx\int_1^e \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx, (c) ∫01x ex2 dx\int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx, (d) ∫031x+1 dx\int_0^3 \frac{1}{\sqrt{x + 1}}\,dx.

Voir l'indice

Technique identifier uu et le schéma u′/uu'/u, u′uαu' u^\alpha ou u′euu' e^u.

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  1. (a) u=x2+x+1u = x^2 + x + 1 est strictement positive, donc on a u′/uu'/u, et le résultat est ln⁡3−ln⁡1=ln⁡3\ln 3 - \ln 1 = \ln 3.
  2. (b) u=ln⁡xu = \ln x, on reconnaît u′u2u' u^2, de primitive (ln⁡x)3/3(\ln x)^3/3, donc le résultat est 1/31/3.
  3. (c) u=x2u = x^2, on reconnaît (1/2)u′eu(1/2) u' e^u, donc le résultat est (e−1)/2(e - 1)/2.
  4. (d) 1/x+1=2×u′/(2u)1/\sqrt{x + 1} = 2 \times u'/(2\sqrt{u}) avec u=x+1u = x + 1, de primitive 2x+12\sqrt{x + 1}, donc le résultat est 4−2=24 - 2 = 2.

piège : Oublier le facteur 1/21/2 quand u′u' n'apparaît qu'à une constante près.

Exercice 2. Double intégration par parties ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Calculer ∫01t2e−t dt\int_0^1 t^2 e^{-t}\,dt.

Voir le début du corrigé
  1. Avec v = t² et u' = e−t, u = −e−t, on obtient [−t² e−t] de 0 à 1 + 2 ∫ de 0 à 1 de t e−t dt = −1/e + 2J. …

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Exercice 3. Changement de variable indiqué ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

À l'aide du changement x=u2x = u^2, calculer ∫01dx1+x\int_0^1 \frac{dx}{1 + \sqrt{x}}.

Voir le début du corrigé
  1. φ(u) = u² est C¹ et strictement croissante sur [0, 1], et elle envoie 0 sur 0 et 1 sur 1. …

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Existence d'un point fixe 1

Exercice 4. Un point fixe par l'intégrale ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit ff continue sur [0,1][0, 1] avec ∫01f(t) dt=12\int_0^1 f(t)\,dt = \frac{1}{2}. Montrer qu'il existe cc dans [0,1][0, 1] tel que f(c)=cf(c) = c.

Voir le début du corrigé
  1. Soit g(t) = f(t) − t, continue sur [0, 1], avec ∫ de 0 à 1 de g = 1/2 − 1/2 = 0. …

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Suites d'intégrales 4

Exercice 5. Suite d'intégrales et relation de récurrence ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Pour n∈Nn \in \mathbb{N}, soit In=∫01tnet dtI_n = \int_0^1 t^n e^t\,dt. Montrer que la suite est positive, décroissante, de limite nulle. Établir In+1=e−(n+1)InI_{n+1} = e - (n + 1)I_n et en déduire un équivalent de InI_n.

Voir le début du corrigé
  1. L'intégrande est positive et 0 ≤ 1, donc Iₙ ≥ 0. …

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Exercice 7. Une formule explicite par récurrence ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Pour n∈Nn \in \mathbb{N}, soit In=∫01(1−t2)n dtI_n = \int_0^1 (1 - t^2)^n\,dt. Montrer que (2n+1)In=2nIn−1(2n + 1)I_n = 2n I_{n-1} pour n≥1n \geq 1, puis que In=4n(n!)2(2n+1)!I_n = \frac{4^n (n!)^2}{(2n + 1)!}.

Voir le début du corrigé
  1. Par parties, Iₙ = [t(1 − t²)ⁿ] de 0 à 1 + 2n ∫ de 0 à 1 de t² (1 − t²)n−1 dt, et le crochet est nul. …

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Exercice 8. Somme alternée et ln 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Montrer que ∑k=1n(−1)k−1k\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} tend vers ln⁡2\ln 2 quand nn tend vers +∞+\infty.

Voir le début du corrigé
  1. Pour t dans [0, 1], la somme géométrique donne Σ de k = 0 à n − 1 de (−t)ᵏ = (1 − (−t)ⁿ)/(1 + t). …

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Exercice 9. Équivalent d'une suite d'intégrales ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Avec Rn=∫01tn1+t dtR_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1 + t}\,dt, montrer que nRnnR_n tend vers 12\frac{1}{2}.

Voir le début du corrigé
  1. On primitive tⁿ en tn+1/(n + 1) et on dérive 1/(1 + t). …

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Fonction définie par une intégrale 1

Exercice 6. Fonction définie par une intégrale ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Pour x>0x > 0, soit G(x)=∫x2xe−tt dtG(x) = \int_x^{2x} \frac{e^{-t}}{t}\,dt. Étudier les variations de GG et ses limites en 00 et en +∞+\infty.

Voir le début du corrigé
  1. h(t) = e−t/t est continue sur l'intervalle ]0, +∞[, qui contient x et 2x. …

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Inégalités intégrales 1

Exercice 10. Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soient a<ba < b et ff, gg continues sur [a,b][a, b]. Montrer que (∫abfg)2≤(∫abf2)(∫abg2)\left(\int_a^b fg\right)^2 \leq \left(\int_a^b f^2\right)\left(\int_a^b g^2\right), toutes les intégrales étant prises de aa à bb. En déduire (∫01f)2≤∫01f2\left(\int_0^1 f\right)^2 \leq \int_0^1 f^2.

Voir le début du corrigé
  1. Pour tout réel λ\lambda, P(λ)=∫(f+λg)2≥0P(\lambda) = \int (f + \lambda g)^2 \geq 0 par positivité.

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