Équations différentielles linéaires à coefficients constants

Exercice 1. Structure et condition initiale ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Démontrer que les solutions de $$y' + 3y = 6$$ sont de la forme $2 + C e^{-3t}$, puis déterminer celle qui vérifie $y(0) = 0$.

Exercice 2. Second membre polynomial ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Résoudre $$y' - y = t^2$$ en cherchant une solution particulière polynomiale de degré 2.

Exercice 4. Superposition et condition initiale ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Résoudre $$y' - 2y = 3 - e^{t}$$ avec $y(0) = \frac{1}{2}$.

Exercice 3. Capital avec dépréciation ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Un stock de capital vérifie $$K' = I - \delta K,$$ avec un investissement $I > 0$ et un taux de dépréciation $\delta > 0$.

On note $$K(0) = K_0.$$

Exprimer $K(t)$, étudier sa limite, puis calculer le temps nécessaire pour que l'écart à l'équilibre soit divisé par $2$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 9. Logistique par changement de variable, d'après un écrit BCE ★★

Classiques de khôlle et concours · 40 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soient $r > 0$ et $K > 0$.

On admet que $y$ est une solution strictement positive sur $[0, +\infty[$ de $$y' = r y \left(1 - \frac{y}{K}\right),$$ avec $y(0) = y_0 > 0$.

On pose $$z = \frac{1}{y}.$$

Montrer que $$z' + rz = \frac{r}{K},$$ en déduire $y$, puis sa limite.

Exercice 5. Trajectoires convergentes au second ordre ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit Ecricome

On considère $$y'' - y' - 6y = -12.$$ (a) Donner toutes les solutions. (b) Trouver celle qui vérifie $y(0) = 3$ et $y'(0) = -2$. (c) Caractériser les conditions initiales qui donnent une trajectoire convergente.

Exercice 6. Racine double et monotonie ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Résoudre $$y'' + 4y' + 4y = 8$$ avec $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$.

Montrer que la solution croît vers $2$ sur $[0, +\infty[$.

Exercice 7. Forme guidée en cas de racine ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Résoudre $$y'' - 3y' + 2y = e^{t}$$ en cherchant une solution particulière de la forme $\alpha t e^{t}$.

Expliquer pourquoi la forme $\gamma e^{t}$ échoue.

Exercice 10. Limite et équilibre, preuve complète au premier ordre ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soient $a$ et $b$ réels.

Montrer que si une solution de $$y' + ay = b$$ converge en plus l'infini, alors sa limite est un équilibre.

On traitera le cas $a = 0$.

Exercice 8. Du discret au continu ★★★

Approfondissement · 40 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soient $a > 0$, $b$ réel, $T > 0$ et $y_0$ réel.

On note $y$ la solution de $$y' = b - ay$$ avec $y(0) = y_0$.

Pour $n$ entier assez grand, on pose $$h = \frac{T}{n}, \qquad u_0 = y_0$$ et $$u_{k+1} = u_k + h(b - a u_k).$$

Montrer que $u_n$ tend vers $y(T)$ quand $n$ tend vers l'infini.