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ECG1 · Maths appliquées · semaine 26

Étude élémentaire des séries

Série de terme général un, sommes partielles, convergence et combinaison linéaire de séries convergentes. Séries à termes positifs, convergence absolue et implication de la convergence. Séries géométriques et leurs dérivées, série exponentielle et calcul de leurs sommes, en vue des variables aléatoires discrètes.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Une série est la suite de ses sommes partielles. Elle converge quand cette suite a une limite finie, et la somme n'existe qu'après preuve de la convergence.

  2. Le terme général d'une série convergente tend vers 00, mais la réciproque est fausse.

  3. Une série à termes positifs converge ou tend vers +∞+\infty, et convergence absolue entraîne convergence.

  4. Formules géométriques pour ∣q∣<1\abs{q}<1 :

    ∑n=0+∞qn=11−q.\sum_{n=0}^{+\infty}q^n =\frac{1}{1-q}.

    ∑n=1+∞nqn−1=1(1−q)2.\sum_{n=1}^{+\infty}nq^{n-1} =\frac{1}{(1-q)^2}.

    ∑n=2+∞n(n−1)qn−2=2(1−q)3.\begin{aligned} &\sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1)q^{n-2}\\ &=\frac{2}{(1-q)^3}. \end{aligned}

  5. La série exponentielle converge pour tout réel xx et sa somme vaut ex\e^x, avec les décalages d'indice qui en découlent.

Pourquoi ce chapitre

Une série est une somme qui ne s'arrête pas. La question n'est plus de calculer, mais de savoir si le total a un sens.

C'est le problème posé par une variable aléatoire qui prend une infinité de valeurs : son espérance est une somme infinie, et il faut décider si elle existe avant de la calculer. Le chapitre prépare les lois géométrique et de Poisson du chapitre suivant.

Il installe :

  • le vocabulaire, somme partielle et convergence ;
  • la propriété de linéarité ;
  • la notion de convergence absolue ;
  • un catalogue de sommes à connaître par cœur : les séries géométriques, leurs deux séries dérivées et la série exponentielle.

Ces quatre formules suffisent à calculer toutes les espérances et variances du programme de première année.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Nature d'une série 1

Exercice 1. Nature de quatre séries ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Déterminer la nature de

  • (a) ∑nn+1\sum \frac{n}{n + 1},
  • (b) ∑(−1)n\sum (-1)^n,
  • (c) ∑n≥1(12n+1n)\sum_{n \geq 1} \left(\frac{1}{2^n} + \frac{1}{n}\right),
  • (d) ∑n≥1(1n−1n+1)\sum_{n \geq 1} \left(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}\right).
Voir l'indice

Technique réflexe grossier, puis linéarité, puis télescopage.

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  1. (a) Le terme général tend vers 11, divergence grossière.
  2. (b) ∣(−1)n∣=1|(-1)^n| = 1, le terme ne tend pas vers 00, divergence grossière.
  3. (c) ∑1/2n\sum 1/2^n converge, ∑1/n\sum 1/n diverge (résultat admis), leur somme diverge.
  4. (d) La somme partielle de 11 à NN vaut 1−1/N+11 - 1/\sqrt{N + 1}, qui tend vers 11. La série converge et sa somme vaut 11.

piège : Conclure à la convergence de (d) parce que le terme général tend vers 00. Ce n'est qu'une condition nécessaire.

Calcul de somme 4

Exercice 2. Géométriques décalées ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Justifier la convergence et calculer A=∑n≥23n4n+1A = \sum_{n \geq 2} \frac{3^n}{4^{n+1}} et B=∑n≥0(−1)n3n.B = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{3^n}.

Voir le début du corrigé
  1. 3n/4n+1=(1/4)(3/4)n3^n/4^{n+1} = (1/4)(3/4)^n, raison 3/43/4 avec ∣3/4∣<1|3/4| < 1, la série converge.

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Exercice 3. Télescopage à pas deux ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Montrer que ∑n≥11n(n+2)\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n(n + 2)} converge et calculer sa somme.

Voir le début du corrigé
  1. 1/(n(n+2))=(1/2)(1/n−1/(n+2))1/(n(n + 2)) = (1/2)(1/n - 1/(n + 2)), à vérifier en réduisant au même dénominateur.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 4. La somme de n²/2ⁿ ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Montrer que ∑n≥0n22n\sum_{n \geq 0} \frac{n^2}{2^n} converge et la calculer.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 5. Exponentielle et polynôme ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Montrer que ∑n≥0(n+1)2n!\sum_{n \geq 0} \frac{(n + 1)^2}{n!} converge et calculer sa somme.

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Nature d'une série 2

Exercice 6. Convergence absolue ★

Application du cours · 10 min · Niveau écrit Ecricome

Montrer que ∑n≥1(−1)nn2n\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n n}{2^n} converge et calculer sa somme.

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  1. La valeur absolue du terme vaut n(1/2)nn(1/2)^n. …

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Exercice 7. Divergence de la série harmonique ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Montrer que pour tout x>−1x > -1, ln⁡(1+x)≤x\ln(1 + x) \leq x. En déduire que Hn=∑k=1n1kH_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} vérifie Hn≥ln⁡(n+1)H_n \geq \ln(n + 1), puis que ∑1n\sum \frac{1}{n} diverge.

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  1. On pose g(x)=x−ln⁡(1+x)g(x) = x - \ln(1 + x) sur ]−1,+∞[]-1, +\infty[. …

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Séries de lois usuelles 1

Exercice 8. Les sommes de la loi géométrique ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soit pp dans ]0,1[]0, 1[ et q=1−pq = 1 - p.

Montrer que les séries ∑pqn−1,\sum p q^{n-1}, ∑npqn−1(n≥1)\sum n p q^{n-1} \quad (n \geq 1) et ∑n(n−1)pqn−1(n≥2)\sum n(n - 1) p q^{n-1} \quad (n \geq 2) convergent et calculer leurs sommes S0S_0, S1S_1, S2S_2.

En déduire S2+S1−S12S_2 + S_1 - S_1^2.

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  1. 0<q<10 < q < 1, les trois séries sont des multiples des séries du cours, elles convergent.

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Lien suite-série 1

Exercice 9. Étudier une suite par sa série de différences ★★★

Approfondissement · 30 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Pour n≥1n \geq 1, on pose un=Hn−ln⁡n.u_n = H_n - \ln n. Montrer que (un)(u_n) est décroissante et minorée par 00.

En déduire que Hnln⁡n\frac{H_n}{\ln n} tend vers 11.

Voir le début du corrigé
  1. un+1−un=1/(n+1)−ln⁡((n+1)/n)u_{n+1} - u_n = 1/(n + 1) - \ln((n + 1)/n).

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Séries de lois usuelles 1

Exercice 10. Parité d'une loi de Poisson ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit λ>0\lambda > 0 et pn=e−λλnn!p_n = e^{-\lambda} \frac{\lambda^n}{n!} pour n≥0n \geq 0.

Vérifier que ∑pn=1,\sum p_n = 1, que ∑npn=λ,\sum n p_n = \lambda, puis calculer la somme des pnp_n pour nn pair.

Voir le début du corrigé
  1. Σ pₙ = e⁻λ eλ = 1. 2. Σ n pₙ = e⁻λ Σ pour n ≥ 1 de λⁿ/(n − 1)! = e⁻λ λ eλ = λ. …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG première année, mathématiques appliquées, enseignement du second semestre, partie III « Étude élémentaire des séries », paragraphes « Séries numériques à termes réels » et « Séries numériques usuelles ».