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ECG2 · Maths appliquées · semaine 19

Extrema d’une fonction de deux variables

Extremum local et extremum global sur une partie de R2, une fonction continue sur une partie fermée bornée atteint ses bornes. Condition nécessaire du premier ordre et point critique. Condition suffisante du second ordre et point col, la nature topologique des ensembles est toujours indiquée.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Les candidats sont les points critiques, là où le gradient s'annule, et ce n'est qu'une condition nécessaire, valable sur un ouvert.
  2. Les valeurs propres de la hessienne tranchent la nature d'un point critique :
    • deux strictement positives donnent un minimum local ;
    • deux strictement négatives donnent un maximum local ;
    • deux non nulles de signes opposés donnent un point col.
  3. Si une valeur propre est nulle, le critère ne conclut pas et il faut étudier le signe de la différence directement.
  4. La méthode du second ordre ne donne jamais que du local, un caractère global se démontre par majoration ou minoration directe.
  5. Sur un fermé borné, une fonction continue atteint ses bornes, et il faut alors examiner aussi le bord du domaine.
Pourquoi ce chapitre

C'est le chapitre d'aboutissement des fonctions de deux variables. Les questions suivantes se ramènent à la même méthode en deux temps :

  • maximiser un profit à deux variables ;
  • minimiser un coût ;
  • ajuster une droite de régression par les moindres carrés.

MéthodeRecherche d'un extremum

  1. On cherche d'abord les points où le gradient s'annule.
  2. On regarde ensuite les valeurs propres de la matrice hessienne en chacun de ces points pour trancher.

Le chapitre relie trois parties du programme :

  • le calcul différentiel ;
  • la réduction des matrices ;
  • les statistiques bivariées.

Il faut savoir rédiger sans confondre condition nécessaire et condition suffisante.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Les exercices se suivent : garde leur ordre. Difficulté et durée indicatives.

Exercice 1. Minimum global d'un polynôme du second degré ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle · Points critiques et nature

Soit la fonction définie sur R2\R^2 par f(x,y)=x2+xy+y2−3x.f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x. Déterminer les extrema locaux de ff, puis montrer que l'extremum trouvé est global.

Voir l'indice

Technique méthode complète puis translation au point critique.

Voir le corrigé offert
  1. f est polynomiale, donc de classe C2 sur l'ouvert R². 2. Le système 2x + y − 3 = 0 et x + 2y = 0 donne x = −2y, puis −3y = 3. On obtient y = −1 et x = 2. 3. La hessienne est constante, de lignes (2, 1) et (1, 2). Son déterminant vaut 3 et sa trace vaut 4, donc f a un minimum local en (2, −1), de valeur −3. 4. On pose x = 2 + h et y = −1 + k. Le développement donne f = −3 + h² + hk + k², car les termes du premier ordre s'annulent. 5. Or h² + hk + k² = (h + k/2)² + 3k²/4 ≥ 0. Le minimum est donc global.

piège : Conclure « global » dès l'étape 3. La hessienne ne donne que du local.

Exercice 2. Discussion selon un paramètre ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle · Points critiques et nature

Soit aa un réel et f(x,y)=x2+axy+y2.f(x, y) = x^2 + axy + y^2. Étudier la nature de l'origine selon aa.

Voir le début du corrigé
  1. L'origine est critique pour tout aa.

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Exercice 3. Quatre points critiques ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle · Points critiques et nature

Soit la fonction définie sur R2\R^2 par f(x,y)=xy(1−x−y).f(x, y) = xy(1 - x - y). Déterminer ses points critiques et leur nature.

Voir le début du corrigé
  1. On a ∂1f=y(1−2x−y)\partial_1 f = y(1 - 2x - y) et ∂2f=x(1−x−2y)\partial_2 f = x(1 - x - 2y).

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Exercice 4. Bornes atteintes sur un triangle ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome · Extrema sur un fermé borné

On reprend la fonction ff de l'exercice 3 sur le triangle plein T={x≥0,y≥0,x+y≤1},T = \{x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 1\}, dont on admet qu'il est fermé et borné.

Déterminer le maximum et le minimum de ff sur TT.

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  1. ff est continue sur TT, fermé et borné, donc elle y atteint son maximum et son minimum.

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Exercice 5. Extrema sur un disque fermé ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome · Extrema sur un fermé borné

Soit f(x,y)=x2+2y2−xf(x, y) = x^2 + 2y^2 - x sur le disque fermé DD de centre OO et de rayon 11, dont on admet qu'il est fermé et borné.

Déterminer le maximum et le minimum de ff sur DD.

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  1. ff est continue sur DD, fermé et borné, donc les extrema existent.

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Exercice 6. Droite des moindres carrés ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon · Moindres carrés

On se donne nn points (xi,yi)(x_i, y_i), avec des xix_i non tous égaux, et on pose S(a,b)=∑(yi−axi−b)2.S(a, b) = \sum (y_i - a x_i - b)^2. Montrer que SS admet un unique point critique (a0,b0)(a_0, b_0), que c'est un minimum local, puis un minimum global.

Voir le début du corrigé
  1. S est polynomiale, donc de classe C2 sur R². …

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Exercice 7. Sur le quart de plan ouvert ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC · Minimum sur un ouvert

Soit f(x,y)=xy+1x+1yf(x, y) = xy + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} sur O=]0,+∞[2,O = ]0, +\infty[^2, que l'on admet ouvert.

Trouver les extrema locaux, puis montrer que le minimum est global.

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  1. f est de classe C2 sur O, par opérations sur des fonctions usuelles. …

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Exercice 8. Un cas douteux et un minimum global ★★★

Approfondissement · 40 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC · Points critiques et nature

Soit la fonction définie sur R2\R^2 par f(x,y)=x4+y4−2(x−y)2.f(x, y) = x^4 + y^4 - 2(x - y)^2. Trouver les points critiques, leur nature, et montrer que ff admet un minimum global.

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  1. On a ∂1 f = 4x³ − 4(x − y) et ∂2 f = 4y³ + 4(x − y). …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de la voie EC, mathématiques appliquées de seconde année, enseignement du quatrième semestre, partie I « Fonctions numériques de deux variables réelles », paragraphe « Extrema d'une fonction de deux variables réelles ». Elle suppose connu le chapitre de calcul différentiel, gradient et matrice hessienne. Tous les résultats de ce chapitre sont admis.