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ECG2 · Maths appliquées · semaine 18

Calcul différentiel pour les fonctions de deux variables

Dérivées partielles d'ordre 1, fonctions de classe C1 et gradient en un point. Dérivées partielles d'ordre 2, fonctions de classe C2 et théorème de Schwarz. Matrice hessienne d'une fonction de deux variables en un point.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Une dérivée partielle se calcule en figeant l'autre variable. Toutes les règles de dérivation à une variable s'appliquent.
  2. La bonne notion de régularité est la classe C1C^1, définie par l'existence et la continuité des deux dérivées partielles, et elle entraîne la continuité.
  3. Le gradient est le vecteur colonne des deux dérivées partielles d'ordre 1, il décrit la variation de ff au premier ordre.
  4. Sous l'hypothèse de classe C2C^2, le théorème de Schwarz donne l'égalité des deux dérivées croisées, donc la symétrie de la matrice hessienne.
  5. La matrice hessienne, symétrique donc diagonalisable, prépare tout le chapitre des extrema par le signe de ses valeurs propres.
Pourquoi ce chapitre

En économie, une grandeur dépend presque toujours de plusieurs leviers à la fois.

  • Une production dépend du capital et du travail.
  • Un profit dépend d'un prix et d'une quantité.
  • Un coût dépend de deux quantités commandées.

Dériver par rapport à une seule variable ne suffit plus. Ce chapitre met en place la dérivée partielle, puis le gradient et la matrice hessienne.

Le gradient donne les points candidats, la hessienne tranche leur nature. Le lien avec la réduction des matrices est direct, puisqu'on aura besoin des valeurs propres de la hessienne.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Dérivées partielles 3

Exercice 1. Dérivées partielles d'ordre 1 ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Justifier la classe C1C^1 sur R2\mathbb{R}^2 puis calculer ∂1f\partial_1 f et ∂2f\partial_2 f pour f(x,y)=ln⁡(1+x2+y2)f(x, y) = \ln(1 + x^2 + y^2), puis pour g(x,y)=x−y1+x2+y2g(x, y) = \dfrac{x - y}{1 + x^2 + y^2}.

Voir l'indice

Technique règles d'une variable en figeant l'autre.

Voir le corrigé offert
  1. f est C1 par composition, comme en section 4.
  2. ∂1 f = 2x/(1 + x² + y²) et ∂2 f = 2y/(1 + x² + y²).
  3. g est un quotient de polynômes dont le dénominateur est au moins égal à 1. Elle est C1 sur R2.
  4. Avec D = 1 + x² + y², ∂1 g = (D − 2x(x − y))/D² = (1 − x² + y² + 2xy)/D².
  5. ∂2 g = (−D − 2y(x − y))/D² = (−1 − x² + y² − 2xy)/D².

piège : Oublier le signe moins de −y en dérivant en y.

Exercice 3. Vérifier Schwarz ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit f(x,y)=x2ey+yln⁡(1+x2).f(x, y) = x^2 e^y + y \ln(1 + x^2). Calculer les quatre dérivées partielles d'ordre 2 et écrire la hessienne.

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  1. f est C2 sur R2 par opérations sur des fonctions C2.

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Exercice 6. Fonctions radiales ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

Soit gg de classe C2C^2 sur R\mathbb{R} et f(x,y)=g(x2+y2)f(x, y) = g(x^2 + y^2). Montrer que ff est C2C^2 sur R2\mathbb{R}^2, que x ∂2f−y ∂1f=0x \, \partial_2 f - y \, \partial_1 f = 0, et calculer la hessienne.

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  1. f est la composée de u = x² + y², polynomiale, par g, C2 sur R. …

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Points critiques et hessienne 4

Exercice 8. Une hessienne de trace nulle ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

Soit f(x,y)=excos⁡yf(x, y) = e^x \cos y. Montrer que ∂1,12f+∂2,22f=0\partial^2_{1,1} f + \partial^2_{2,2} f = 0 sur R2\mathbb{R}^2, que le gradient ne s'annule jamais, et que la hessienne a partout deux valeurs propres de signes opposés.

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  1. f est un produit de fonctions C2, donc C2 sur R2.

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Exercice 2. Points critiques et hessienne ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit f(x,y)=x3+y3−3xy.f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Trouver les points où le gradient est nul, puis étudier le signe des valeurs propres de la hessienne en ces points.

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  1. f est polynomiale, donc C2 sur R2.

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Exercice 4. Une famille de hessiennes à paramètre ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Pour aa réel, soit f(x,y)=x2+axy+y2.f(x, y) = x^2 + axy + y^2. Écrire sa hessienne et discuter le signe de ses valeurs propres selon aa.

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  1. f est polynomiale, donc C2. Sa hessienne est constante, de lignes (2, a) et (a, 2).

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Exercice 7. Cobb-Douglas et rendements d'échelle ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit EDHEC ou emlyon

Soient AA, aa, bb strictement positifs et f(K,L)=A KaLbf(K, L) = A\,K^a L^b sur l'ouvert UU des couples strictement positifs.

Montrer que K ∂1f+L ∂2f=(a+b) f.K\,\partial_1 f + L\,\partial_2 f = (a + b)\,f. Étudier le signe des valeurs propres de la hessienne selon a+ba + b.

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  1. Sur U, f = A exp(a ln K + b ln L) est C2 par composition.

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Recherche de fonctions 2

Exercice 5. Retrouver une fonction à partir de son gradient ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Trouver les fonctions ff de classe C1C^1 sur R2\mathbb{R}^2 telles que ∂1f=2xy+3\partial_1 f = 2xy + 3 et ∂2f=x2+2y\partial_2 f = x^2 + 2y. Montrer ensuite qu'aucune ff de classe C2C^2 ne vérifie ∂1f=y\partial_1 f = y et ∂2f=−x\partial_2 f = -x.

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  1. On pose g(x, y) = f(x, y) − x²y − 3x. …

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Exercice 9. Dérivée croisée nulle ★★★

Approfondissement · 40 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

Soit ff de classe C2C^2 sur R2\mathbb{R}^2 telle que ∂1,22f=0\partial^2_{1,2} f = 0 sur R2\mathbb{R}^2. Montrer qu'il existe φ\varphi et ψ\psi de classe C2C^2 sur R\mathbb{R} telles que f(x,y)=φ(x)+ψ(y)f(x, y) = \varphi(x) + \psi(y).

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  1. ∂2 f a une dérivée partielle en x nulle, donc ∂2 f(x, y) = ∂2 f(0, y), que l'on note h(y).

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Approximation au premier ordre 1

Exercice 10. Estimation marginale ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

Soit f(K,L)=KLf(K, L) = \sqrt{KL} sur l'ouvert des couples strictement positifs.

Au point (100,400)(100, 400), estimer au premier ordre l'effet d'une hausse de 2 unités de capital et d'une baisse de 4 unités de travail.

Comparer à la valeur exacte.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de la voie EC, mathématiques appliquées de seconde année, enseignement du quatrième semestre, partie I « Fonctions numériques de deux variables réelles », paragraphe « Calcul différentiel pour les fonctions définies sur R2\R^2 ». La continuité sur R2\R^2 a été vue au chapitre précédent. La recherche d'extrema fait l'objet du chapitre suivant. Le programme précise que tous les résultats concernant les fonctions réelles de deux variables réelles sont admis.