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ECG1 · Maths appliquées · semaine 22

Convexité et représentations graphiques

Définition des fonctions convexes et concaves, points d'inflexion et caractérisation des fonctions de classe C2 par le signe de la dérivée seconde. Une fonction convexe de classe C2 dont la dérivée s'annule admet un minimum en ce point. Représentation graphique d'une fonction convexe et étude graphique récapitulative, les résultats sont admis.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Convexe signifie que la courbe est sous ses cordes, concave signifie qu'elle est au-dessus, et ff concave équivaut à −f-f convexe.
  2. Pour ff de classe C2C^2 sur un intervalle, sont équivalentes :
    • ff est convexe ;
    • f′f' est croissante ;
    • f′′f'' est positive ou nulle ;
    • la courbe est au-dessus des tangentes.
  3. Un point d'inflexion est un changement de convexité, donc une annulation de f′′f'' avec changement de signe, jamais une annulation seule.
  4. Si ff est convexe sur un intervalle ouvert et si f′f' s'annule en un point, ff y admet un minimum. Version concave pour un maximum.
  5. Pour tracer une courbe :
    • ff donne la position ;
    • f′f' donne les variations ;
    • f′′f'' donne la courbure ;
    • les limites donnent les asymptotes.
Pourquoi ce chapitre

PropriétéConvexité et optimisation

Hypothèses

  • ff est convexe et de classe C2C^2 sur un intervalle ouvert II ;
  • f′f' s'annule en un point de II.

Alors ff admet un minimum en ce point. La convexité transforme une condition locale en conclusion globale.

AttentionDérivée nulle

Pour une fonction quelconque, une dérivée nulle ne garantit rien.

RemarqueOptimisation économique

La convexité intervient dans l'optimisation économique :

  • les fonctions de coût sont typiquement convexes ;
  • les fonctions d'utilité et de production sont typiquement concaves ;
  • ces hypothèses de modélisation traduisent des rendements marginaux croissants ou décroissants.

RemarqueLecture graphique

Le chapitre fournit aussi la lecture graphique d'une courbe :

  • les variations viennent de f′f' ;
  • la forme vient de f′′f'' ;
  • les points d'inflexion sont les endroits où la courbure change.

C'est la synthèse des notions de l'année sur les fonctions.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Étude de convexité 5

Exercice 1. Convexité de fonctions usuelles ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Étudier la convexité de la fonction f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x sur ]0,+∞[]0, +\infty[ et de la fonction g(x)=e−x2g(x) = e^{-x^2} sur R\R.

En déduire le minimum de ff et les points d'inflexion de gg.

Voir l'indice

Technique signe de la dérivée seconde, puis théorème du minimum.

Voir le corrigé offert
  1. f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1 et f′′(x)=1/x>0f''(x) = 1/x > 0 sur ]0,+∞[]0, +\infty[. Donc ff est convexe sur cet intervalle ouvert.
  2. f′f' s'annule en x=1/ex = 1/e. Minimum global en 1/e1/e, égal à −1/e-1/e.
  3. g′(x)=−2xe−x2g'(x) = -2x e^{-x^2} et g′′(x)=(4x2−2)e−x2g''(x) = (4x^2 - 2) e^{-x^2}, du signe de 4x2−24x^2 - 2.
  4. g′′g'' s'annule en −1/2-1/\sqrt{2} et 1/21/\sqrt{2} en changeant de signe à chaque fois. gg est convexe sur ]−∞,−1/2]]-\infty, -1/\sqrt{2}], concave sur [−1/2,1/2][-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}], convexe sur [1/2,+∞[[1/\sqrt{2}, +\infty[. Deux points d'inflexion, d'ordonnée e−1/2e^{-1/2}.

piège : Écrire « gg est convexe » sans intervalle. La réponse est une liste d'intervalles.

Exercice 8. Coût en S ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soit C(q)=q3−6q2+15q+10C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q + 10 pour q≥0q \geq 0.

Montrer que CC est croissante, étudier sa convexité et interpréter.

Voir le début du corrigé
  1. C′(q)=3q2−12q+15=3((q−2)2+1)>0C'(q) = 3q^2 - 12q + 15 = 3((q - 2)^2 + 1) > 0, donc CC est strictement croissante.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 3. Polynôme de degré 4 et tangente d'inflexion ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit f(x)=x4−4x3.f(x) = x^4 - 4x^3.

Dresser les variations, étudier la convexité, donner les points d'inflexion et les tangentes en ces points.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 4. Convexité selon un paramètre ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit aa réel et f(x)=x4+ax3+6x2.f(x) = x^4 + a x^3 + 6x^2.

Pour quelles valeurs de aa la fonction ff est-elle convexe sur R\R ?

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 7. Étude complète de ln(x)/x ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Étudier f(x)=ln⁡(x)xf(x) = \frac{\ln(x)}{x} sur ]0,+∞[]0, +\infty[ : limites, variations, convexité, inflexion, allure.

En déduire que ln⁡x≤xe\ln x \leq \frac{x}{e}.

Voir le début du corrigé
  1. En 00 à droite, ln⁡x\ln x tend vers −∞-\infty et 1/x1/x vers +∞+\infty, donc ff tend vers −∞-\infty : asymptote verticale x=0x = 0. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Propriétés des fonctions convexes 3

Exercice 2. Trois inégalités par les tangentes ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Montrer que pour tout x>0x > 0, x≤x+12,\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}, puis ln⁡x≤x−1.\ln x \leq x - 1.

En déduire que pour tout entier n≥1n \geq 1, (1+1n)n≤e.\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq e.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 9. Inégalité arithmético-géométrique pondérée ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soient x,y>0x, y > 0 et tt dans [0,1][0, 1].

Montrer que xty1−t≤tx+(1−t)y.x^t y^{1-t} \leq t x + (1 - t) y.

Cas t=1/2t = 1/2 ?

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 10. Convexe et majorée implique constante ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit ff convexe de classe C2C^2 sur R\R, majorée par un réel MM.

Montrer que ff est constante.

Voir le début du corrigé
  1. Fixons aa. Pour tout xx réel, f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a)f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a).

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Optimisation économique 2

Exercice 5. Coût moyen minimal ★

Application du cours · 10 min · Niveau écrit Ecricome

Une entreprise a un coût total C(q)=q2+16C(q) = q^2 + 16 pour q>0q > 0.

Le coût moyen est CM(q)=C(q)q.\mathrm{CM}(q) = \frac{C(q)}{q}.

Déterminer la quantité qui minimise le coût moyen et comparer avec le coût marginal.

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Exercice 6. Profit avec production concave ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit Ecricome

Une firme produit L\sqrt{L} unités avec LL unités de travail, L>0L > 0.

Elle vend au prix p>0p > 0 et paie le salaire w>0w > 0.

Maximiser le profit π(L)=pL−wL.\pi(L) = p\sqrt{L} - wL.

Voir le début du corrigé
  1. π'(L) = p/(2√L) − w et π''(L) = −p/(4L3/2) < 0. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG première année, mathématiques appliquées, enseignement du second semestre, partie II « Calcul différentiel et intégral », paragraphe 1 sous-partie c « Convexité » et paragraphe 2 « Représentations de graphes des fonctions d'une variable sur un intervalle ».