Convergences et approximations

Exercice 1. Trois majorations comparées ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

$X$ suit la loi exponentielle de paramètre 1.

Majorer $P([X \geq 3])$ par Markov, par Markov appliquée à $X^2$, puis par Bienaymé-Tchebychev.

Comparer à la valeur exacte.

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Technique choisir le bon moment et passer à une inclusion d'événements.

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1. On a $E(X) = 1$, $V(X) = 1$, donc $E(X^2) = V(X) + E(X)^2 = 2$. La valeur exacte est $P([X \geq 3]) = e^{-3} \approx 0,05$.
2. Markov donne une majoration par $1/3 \approx 0,33$.
3. $X$ est positive, donc $[X \geq 3] = [X^2 \geq 9]$. On obtient une majoration par $2/9 \approx 0,22$.
4. $[X \geq 3] = [X - 1 \geq 2]$ est inclus dans $[|X - 1| \geq 2]$. Bienaymé-Tchebychev donne une majoration par $1/4$.
5. Les trois bornes sont valides, mais toutes sont grossières par rapport à la valeur exacte.

piège : Écrire directement $P([X \geq 3]) \leq V(X)/9$, sans centrer et sans passer par l'inclusion dans l'événement bilatéral.

Exercice 3. Approximation normale d'une binomiale ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Chaque article d'un lot de 900 est défectueux avec probabilité $0{,}1$, indépendamment des autres.

On admet que l'approximation normale est justifiée.

Donner une valeur approchée de $$P([80 \leq S \leq 100]),$$ où $S$ est le nombre d'articles défectueux.

On donne $\Phi(1{,}11) \approx 0{,}867$.

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1. $S$ suit la loi binomiale de paramètres $900$ et $0,1$. …

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Exercice 2. Taille d'un sondage, garantie contre approximation ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

On estime une proportion $p$ inconnue par la fréquence $F_n$ de $n$ tirages indépendants.

On veut $$P([|F_n - p| < 0{,}01]) \geq 0{,}95.$$ Trouver $n$ suffisant par Bienaymé-Tchebychev, puis $n$ approximatif par le théorème limite central, en utilisant $$\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975.$$

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Exercice 7. Surréservation, d'après un classique d'écrit BCE ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC

Un avion a 300 places.

Chaque passager ayant réservé se présente avec probabilité $0{,}9$, indépendamment des autres.

On vend $n$ billets.

On admet l'approximation normale et on donne $\Phi(1{,}645) \approx 0{,}95$.

Trouver le plus grand $n$ tel que la probabilité d'avoir plus de 300 passagers présents soit au plus $0{,}05$.

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Exercice 8. Une limite de série par le théorème limite central ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

On rappelle qu'une somme de $n$ variables indépendantes de loi $P(1)$ suit la loi $P(n)$.

Montrer que $e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!}$ tend vers $1/2$.

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1. Soient Xi indépendantes de loi P(1). …

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Exercice 4. Loi faible avec des variances différentes ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Soient des variables $X_i$ indépendantes, de même espérance $m$, admettant des variances $\sigma_i^2$ toutes majorées par un réel $M$. Montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, $P\left(\left|\overline{X}_n - m\right| \geq \varepsilon\right)$ tend vers $0$.

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1. Par linéarité, E(Xbarre_n) = m.

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Exercice 5. Méthode de Monte-Carlo ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome

Soit $g$ continue de $[0, 1]$ dans $[0, 1]$, et $I$ l'intégrale de $g$ sur $[0, 1]$. Soient $U_1, \ldots, U_n$ indépendantes de loi uniforme sur $[0, 1]$, et $Y_i = g(U_i)$. Montrer que $\overline{Y}_n$ approche $I$. Trouver $n$ tel que $P\left(\left|\overline{Y}_n - I\right| \geq 0{,}05\right) \leq 0{,}1$.

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1. Les Yi sont indépendantes par le lemme des coalitions, et de même loi.

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Exercice 6. Le minimum de variables uniformes ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit EDHEC

Soient $U_1, \ldots, U_n$ indépendantes de loi uniforme sur $[0, 1]$, $M_n$ leur minimum, et $Z_n = n M_n$. Montrer que $Z_n$ converge en loi vers une variable de loi exponentielle de paramètre $1$.

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1. Pour $t$ dans $[0, 1]$, on a $[M_n > t]$ égal à l'intersection des $[U_i > t]$. …

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Exercice 9. De la loi géométrique à la loi exponentielle ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit ESSEC ou HEC

Soit $\lambda > 0$ et, pour $n > \lambda$, $X_n$ de loi géométrique de paramètre $\lambda/n$.

Montrer que $X_n/n$ converge en loi vers une variable de loi $\mathcal{E}(\lambda)$.

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1. Pour $k$ entier naturel, $P([X_n > k]) = (1 - \lambda/n)^k$.

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