Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance

Exercice 1. Moyenne empirique ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle · Propriétés des estimateurs

Soient $X_1, \dots, X_n$ indépendantes de même loi, d'espérance $m$ et de variance $\sigma^2 > 0$.

Calculer $E(\overline{X}_n)$ et $V(\overline{X}_n)$.

Montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, $$P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon)$$ tend vers $0$.

Exercice 2. Maximum de vraisemblance pour Bernoulli ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle · Maximum de vraisemblance

On observe $x_1, \dots, x_n$ dans $\{0, 1\}$, de somme $k$, issus de la loi $B(1, p)$ avec $p$ dans $[0, 1]$.

Déterminer la valeur de $p$ qui maximise la probabilité d'observer cette suite.

Exercice 3. Maximum de vraisemblance pour Poisson ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle · Maximum de vraisemblance

Un standard reçoit, sur cinq minutes successives, 2, 0, 3, 1 et 4 appels.

On modélise le nombre d'appels par minute par une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$.

Donner l'estimation du maximum de vraisemblance de $\lambda$, puis une estimation de la probabilité d'une minute sans appel.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 4. Taille d'un sondage ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle · Intervalles de confiance

On veut estimer une proportion $p$ avec une demi-largeur au plus 0,02, au niveau 95 pour cent.

Quelle taille suffit par Bienaymé-Tchebychev ?

Par l'approximation normale avec $p(1 - p) \leq \frac{1}{4}$ ?

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 5. Loi normale d'écart-type connu ★

Application du cours · 10 min · Niveau écrit Ecricome · Intervalles de confiance

Une machine remplit des paquets dont la masse, en grammes, suit la loi $N(m, 2^2)$.

Sur $25$ paquets, la moyenne observée est $501{,}3~\mathrm{g}$.

Donner un intervalle de confiance de $m$ à $95$ pour cent, puis à $99$ pour cent.

Commenter.

Exercice 6. Variable bornée et Bienaymé-Tchebychev ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Ecricome · Intervalles de confiance

Soit $X$ à valeurs dans $[a, b]$, d'espérance $m$.

Montrer que pour tout réel $c$, $$E((X - c)^2) = V(X) + (m - c)^2.$$ En déduire $$V(X) \leq \frac{(b - a)^2}{4}.$$ Application : 400 copies notées sur 20, tirées au hasard, ont une moyenne de 11,5.

Donner un intervalle de confiance de la note moyenne à 95 pour cent.

Exercice 7. Meilleure combinaison linéaire ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon · Propriétés des estimateurs

On cherche des estimateurs de $m$ de la forme $$T = a_1 X_1 + \dots + a_n X_n.$$

Montrer que $E(T) = m$ pour toute valeur de $m$ si et seulement si $\sum a_i = 1$.

Parmi ces estimateurs, lequel est de variance minimale ?

Exercice 8. Variance empirique ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon · Propriétés des estimateurs

Sous les hypothèses de l'exercice 1, montrer que $$\sum (X_i - \overline{X}_n)^2 = \sum X_i^2 - n\overline{X}_n^2.$$

En déduire $E(S_n^2)$, puis un estimateur de $\sigma^2$ d'espérance exactement $\sigma^2$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 9. Loi uniforme sur [0, θ] ★★

Classiques de khôlle et concours · 40 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC · Propriétés des estimateurs

Les $X_i$ suivent la loi uniforme sur $[0, \theta]$, avec $\theta > 0$. On pose $U_n = 2\overline{X}_n$ et $M_n = \max(X_1, \ldots, X_n)$. Calculer l'espérance et la variance de $U_n$. Déterminer la loi de $M_n$, puis $E(M_n)$ et $V(M_n)$. Proposer un multiple de $M_n$ d'espérance $\theta$ et comparer sa variance à celle de $U_n$.

Exercice 10. Sondage et intervalle asymptotique ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC · Intervalles de confiance

Pour des $X_i$ de loi $B(1, p)$, montrer que $$S_n^2 = F_n(1 - F_n).$$

On admet le résultat asymptotique du programme.

Sur $1\,000$ sondés, $520$ sont favorables.

Donner l'intervalle asymptotique à $95$ pour cent et le comparer à celui de Bienaymé-Tchebychev.

Peut-on affirmer qu'il existe une majorité ?

Exercice HP. Estimer le carré d’une probabilité de succès ★★★

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en ECG2

Soit $p\in[0,1]$ un paramètre inconnu. On observe trois variables aléatoires indépendantes $X_1,X_2,X_3$, de même loi de Bernoulli de paramètre $p$. On pose $S=X_1+X_2+X_3$ et $T=X_1X_2$. On souhaite estimer $p^2$.

1. Montrer que $T$ est sans biais pour $p^2$ et calculer sa variance.
2. Pour $0<p<1$, calculer la loi conditionnelle de $(X_1,X_2,X_3)$ sachant $S=s$, pour chaque $s\in\{0,1,2,3\}$. Expliquer comment choisir une même famille de lois conditionnelles pour tous les paramètres $p\in[0,1]$.
3. Construire $U=\mathbb E(T\mid S)$ sous la forme d’une fonction de $S$ indépendante de $p$. Vérifier directement son absence de biais.
4. Calculer $\operatorname{Var}_p(U)$, puis $\operatorname{Var}_p(T)-\operatorname{Var}_p(U)$. Pour quels paramètres l’amélioration est-elle stricte ?

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.