Statique des fluides

Exercice 1. Tube en U à deux liquides ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Un tube en U contient de l'eau, de masse volumique $1000~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$.

On verse dans la branche droite $10{,}0~\mathrm{cm}$ d'huile, de masse volumique $900~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$, non miscible.

Déterminer la dénivellation entre les deux surfaces libres.

Exercice 2. Vanne immergée ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Une vanne rectangulaire verticale, de largeur $1{,}0~\mathrm{m}$ et de hauteur $0{,}50~\mathrm{m}$, ferme un canal.

Son bord supérieur est à $2{,}0~\mathrm{m}$ sous la surface.

L'autre face est à l'air libre.

Calculer la force exercée par l'eau.

Exercice 3. Poumons et plongée ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

À la surface, $P_0 = 1{,}0~\mathrm{bar}$, un apnéiste a $6{,}0~\mathrm{L}$ d'air dans les poumons.

Eau de mer à $1025~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$.

Volume pulmonaire à $30~\mathrm{m}$ ?

Un plongeur en scaphandre remplit ses poumons à $6{,}0~\mathrm{L}$ à $30~\mathrm{m}$ et remonte sans expirer.

Que se passe-t-il ?

Exercice 5. Atmosphère isotherme ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit type Agro-Véto

Établir $P(z)$ pour l'atmosphère isotherme à $290~\mathrm{K}$, air de masse molaire $29~\mathrm{g\cdot mol^{-1}}$.

Calculer $H$, la pression au sommet de l'Everest, $8849~\mathrm{m}$, puis la masse totale de l'atmosphère, avec un rayon terrestre de $6{,}37\cdot 10^{6}~\mathrm{m}$.

Exercice 6. Montgolfière ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit type Agro-Véto

Une montgolfière ouverte en bas a un volume de $2500~\mathrm{m^3}$.

Air extérieur à $15~^\circ\mathrm{C}$ sous $1{,}013\cdot 10^{5}~\mathrm{Pa}$.

L'enveloppe, la nacelle et les passagers ont une masse de $500~\mathrm{kg}$, de volume négligeable.

Température intérieure minimale pour décoller ?

Exercice 4. Glaçon et iceberg ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Un glaçon flotte dans un verre d'eau. Le niveau monte-t-il quand il fond ? Même question pour un iceberg d'eau douce dans l'eau de mer.

Exercice 7. Calcul direct et effet ventouse ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Un cylindre d'axe vertical, de section $0{,}10~\mathrm{m^2}$ et de hauteur $0{,}20~\mathrm{m}$, est immergé dans l'eau, sa base à $5{,}0~\mathrm{m}$ de profondeur.

Retrouver la poussée par calcul direct.

Le cylindre repose ensuite sur un fond lisse avec un joint étanche, sans eau dessous.

Force exercée par l'eau ?

Exercice 8. Oscillations d'un flotteur ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit type Agro-Véto

Un cylindre vertical de hauteur $a$ et de masse volumique $\rho_c < \rho_e$ flotte dans l'eau.

Profondeur d'immersion $h_e$ à l'équilibre ?

On l'enfonce de $z_0$ puis on le lâche.

Période des oscillations en négligeant les frottements et l'eau entraînée.

Exercice 9. Stabilité d'un océan stratifié ★★★

Approfondissement · 40 min · Écrit type ENS, plus exigeant

Une couche d'eau a une masse volumique $$\rho(z) = \rho_0 \cdot \left(1 - \frac{z}{\ell}\right),$$ $z$ vers le haut.

On déplace une particule de l'altitude $0$ à l'altitude $\zeta$, en supposant qu'elle garde la masse volumique $\rho_0$, sans échange de chaleur ni de sel.

Écrire son équation du mouvement.

Discuter selon le signe de $\ell$.

Application : $\Delta\rho/\rho = 10^{-3}$ sur $100~\mathrm{m}$.

Exercice 10. Convection dans une casserole ★★★

Approfondissement · 45 min · Écrit type ENS, plus exigeant

De l'eau est chauffée par le bas, avec un écart de $1~\mathrm{K}$ entre le fond et le haut.

Coefficient de dilatation $\alpha = 2\cdot 10^{-4}~\mathrm{K^{-1}}$, donc $$\frac{\Delta\rho}{\rho} = \alpha\cdot\Delta T.$$ $$\nu = 10^{-6}~\mathrm{m^2\cdot s^{-1}},$$ $$D_{th} = 1{,}4\cdot 10^{-7}~\mathrm{m^2\cdot s^{-1}}.$$ Comparer les temps caractéristiques pour une couche de $1~\mathrm{cm}$, puis de $1~\mathrm{mm}$.

Conclure.

Exercice classique. Oscillations d'une parcelle dans une cuve stratifiée en sel ★★★

Classique du chapitre

Une cuve verticale contient de l'eau salée au repos dont la masse volumique ne dépend que de l'altitude $z$ (axe ascendant) : $$\begin{gathered}\rho(z)=\rho_0\,(1-\alpha z),\\ \rho_0=1000\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}},\\ \alpha=0{,}020\ \mathrm{m^{-1}},\\ 0\le z\le 0{,}30\ \mathrm{m}.\end{gathered}$$ On prend $g=9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$. On étudie une petite parcelle de volume $V$, située en $z_0=0{,}15\ \mathrm{m}$, qui conserve son volume et sa masse volumique et reste à la pression ambiante ; on néglige viscosité, diffusion et masse ajoutée.

1. Justifier que la stratification est stable.
2. En supposant le résultat de cours $N^2=-(g/\rho(z_0))\,\rho'(z_0)$ établi, calculer $N^2$ puis $N$ et la période $T$. Comparer avec la valeur simplifiée $g\alpha$ et conclure sur l'approximation de Boussinesq (erreur relative maximale sur la cuve).
3. La parcelle est écartée de $\zeta_0=1{,}0\ \mathrm{cm}$ vers le haut puis lâchée sans vitesse. Donner $\zeta(t)$ et la vitesse maximale (en $\mathrm{mm\cdot s^{-1}}$).
4. On inverse la stratification : $\rho(z)=\rho_0(1+\alpha z)$ (fluide lourd en haut : profil instable pris ici comme profil donné). Écrire l'équation de la parcelle avec Boussinesq ($N^2\simeq-g\alpha$) et calculer le temps au bout duquel un écart initial est multiplié par $10$ (conditions initiales identiques : écart $\zeta_0$, vitesse nulle).