Aller au contenu
Sup et Spé
Télécharger l'application

Accueil › BCPST › Physique-chimie

BCPST1 · Physique-chimie · semaine 28

Principes de la thermodynamique appliqués aux machines thermiques

Premier principe et inégalité de Clausius admise, appliqués aux machines thermiques fonctionnant en cycle. Moteurs, réfrigérateurs et pompes à chaleur, sens des échanges énergétiques, rendements et efficacités. Premier principe adapté à l'écoulement d'un fluide en régime stationnaire et exploitation du diagramme (P, h) d'un fluide réel.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Pour une machine ditherme cyclique, tout découle de W+Qc+Qf=0W+Q_c+Q_f=0 et de Qc/Tc+Qf/Tf⩽0Q_c/T_c+Q_f/T_f\leqslant0, l'égalité correspondant au cas réversible.
  2. Un moteur a un rendement borné par 1−Tf/Tc1-T_f/T_c, borne qui ne dépend que des deux températures.
  3. Un récepteur thermique reçoit du travail pour faire remonter de la chaleur du froid vers le chaud. Pour les performances réelles citées, les efficacités dépassent 11 ; pour les mêmes échanges, elles diffèrent de 11 entre réfrigérateur et pompe à chaleur.
  4. En écoulement stationnaire, le bilan s'écrit Δ(h+c2/2+gz)=wu+q\Delta(h+c^2/2+gz)=w_u+q, et se réduit le plus souvent à Δh=wu+q\Delta h=w_u+q. L'enthalpie apparaît parce que le fluide amont et le fluide aval exercent un travail de pression.
  5. Le diagramme (P,h)(P,h) d'un fluide réel permet, sous les hypothèses précisées pour chaque organe, de lire directement les transferts d'un cycle comme des écarts d'enthalpie massique, sans modèle de fluide.
Pourquoi ce chapitre

Le premier principe, vu au premier semestre, dit que l'énergie se conserve. Il ne dit pas dans quel sens les transferts se font spontanément, ni pourquoi on ne peut pas fabriquer un moteur qui prendrait de la chaleur à l'océan pour avancer. C'est le rôle du second principe, introduit ici sous la forme admise de l'inégalité de Clausius.

La combinaison des deux fournit une limite théorique au rendement de tout moteur, qui ne dépend que de deux températures.

Le chapitre décrit :

  • les moteurs ;
  • les réfrigérateurs ;
  • les pompes à chaleur ;
  • les climatiseurs ;
  • les centrales électriques.

Il fournit aussi les outils de l'étude des machines réelles :

  • le premier principe en écoulement ;
  • le diagramme (P,h)(P,h) ;
  • l'occasion de comprendre pourquoi la fonction enthalpie apparaît naturellement.

Fin de l'aperçu gratuit

Encore 10 parties de cours et 9 corrigés.

Essayer 7 jours gratuitement Sans engagement · cours, exercices et fiches complets

Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Sens des échanges 1

Exercice 1. Sens des échanges d'un moteur ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Une machine cyclique ditherme fournit du travail. Montrer qu'elle reçoit nécessairement de la chaleur de la source chaude et qu'elle en cède à la source froide.

Voir l'indice

Technique raisonnement par l'absurde sur les signes, avec les deux principes.

Voir le corrigé offert
  1. On a W < 0, donc Qc + Qf = −W > 0.
  2. Supposons Qc ≤ 0. Alors Qf > −Qc ≥ 0.
  3. Comme −Qc ≥ 0 et 1/Tf > 1/Tc, on obtient Qf/Tf > −Qc/Tf ≥ −Qc/Tc. Donc Qc/Tc + Qf/Tf > 0, ce qui contredit Clausius. Ainsi Qc > 0.
  4. Clausius donne alors Qf ≤ −Qc·Tf/Tc < 0.

piège : Affirmer le sens des échanges comme une évidence. Le colleur attend la démonstration.

Bilan énergétique d'une installation 2

Exercice 2. Centrale et rivière ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Une centrale fournit 900 MW900~\mathrm{MW} électriques avec un rendement de 0,330{,}33.

La vapeur est vers 560 K560~\mathrm{K} et la rivière vers 300 K300~\mathrm{K}.

Calculer la puissance thermique consommée, la puissance rejetée, la borne de Carnot, puis le débit d'eau de rivière nécessaire si son échauffement est limité à 5 K5~\mathrm{K}.

On donne c=4,18 kJ⋅kg−1⋅K−1.c = 4{,}18~\mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}.

Voir le début du corrigé
  1. Puissance consommée : Pc = 900/0,33 = 2,73 GW.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 8. Cogénération ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Une installation brûle un combustible libérant 100 MW100~\mathrm{MW}.

Elle produit 35 MW35~\mathrm{MW} électriques et 50 MW50~\mathrm{MW} de chaleur utile pour un réseau urbain.

Pour produire séparément les mêmes services, il faudrait une centrale de rendement 0,400{,}40 et une chaudière de rendement 0,900{,}90.

Calculer l'économie d'énergie primaire.

Voir le début du corrigé
  1. Taux d'utilisation de l'installation : 85/100 = 0,85.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Machines frigorifiques et pompes à chaleur 3

Exercice 3. Réfrigérateur ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

L'intérieur d'un réfrigérateur est à 4 ∘C4~\mathrm{^\circ C}, la cuisine à 20 ∘C20~\mathrm{^\circ C}.

Le compresseur consomme 100 W100~\mathrm{W} et l'efficacité réelle vaut 3,03{,}0.

Calculer l'efficacité maximale, la puissance extraite et la puissance rejetée.

Que se passe-t-il si l'on laisse la porte ouverte ?

Voir le début du corrigé
  1. Efficacité maximale : emax = 277/16 = 17. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 4. Pompe à chaleur ou radiateur ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Un logement à 20 ∘C20~\mathrm{^\circ C} demande 5,0 kW5{,}0~\mathrm{kW} de chauffage.

La pompe à chaleur puise dans l'air extérieur à 0 ∘C0~\mathrm{^\circ C} et atteint 25 %25~\% de l'efficacité maximale.

Comparer sa consommation à celle de radiateurs électriques, puis reprendre le calcul pour un extérieur à −10 ∘C-10~\mathrm{^\circ C}.

Voir le début du corrigé
  1. À 0 °C, emax = 293/20 = 14,7 et e = 3,7. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 9. Chauffage par pompe à chaleur et écart de température ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type oral Centrale

Les pertes d'une maison valent G⋅(Ti−Te)G\cdot(T_i - T_e), avec G=200 W⋅K−1G = 200~\mathrm{W\cdot K^{-1}} et Ti=293 KT_i = 293~\mathrm{K}.

La pompe à chaleur a une efficacité égale à 40 %40~\% de la borne.

Exprimer la puissance électrique en fonction de ΔT=Ti−Te\Delta T = T_i - T_e, puis comparer Te=273 KT_e = 273~\mathrm{K} et Te=263 KT_e = 263~\mathrm{K}.

Voir le début du corrigé
  1. En régime stationnaire, la chaleur cédée au logement compense les pertes : −Qc par seconde vaut G·ΔT.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Bilan en écoulement 2

Exercice 5. Turbine à vapeur ★

Application du cours · 15 min · Type écrit Agro-Véto

De la vapeur traverse une turbine calorifugée avec un débit de 10 kg⋅s−110~\mathrm{kg\cdot s^{-1}}.

À l'entrée, h=3300 kJ⋅kg−1h = 3300~\mathrm{kJ\cdot kg^{-1}} et c=50 m⋅s−1c = 50~\mathrm{m\cdot s^{-1}}.

À la sortie, h=2500 kJ⋅kg−1h = 2500~\mathrm{kJ\cdot kg^{-1}} et c=200 m⋅s−1c = 200~\mathrm{m\cdot s^{-1}}.

L'axe est horizontal.

Calculer la puissance fournie, puis l'erreur commise si l'on néglige l'énergie cinétique.

Voir le début du corrigé
  1. Pas de dénivelé et q = 0, donc wu = Δh + Δ(c²/2).

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 6. Tuyère ★

Application du cours · 10 min · Type écrit G2E

De l'air, gaz parfait avec cp=1,0 kJ⋅kg−1⋅K−1c_p = 1{,}0~\mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}, entre dans une tuyère calorifugée et sans partie mobile à 500 K500~\mathrm{K} avec une vitesse négligeable.

Il en ressort à 400 K400~\mathrm{K}.

Calculer la vitesse de sortie.

Voir le début du corrigé
  1. wu = 0 et q = 0, g·Δz négligeable, donc Δh + Δ(c²/2) = 0.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Cycle sur diagramme (P, h) 1

Exercice 7. Cycle frigorifique sur diagramme (P, h) ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Agro-Véto

Un réfrigérateur utilise un fluide frigorigène. On lit sur le diagramme les valeurs suivantes. Sortie de l'évaporateur, vapeur saturante à 1,3 bar1{,}3\ \mathrm{bar} et −20 °C-20\ \mathrm{°C} : h1=386 kJ kg−1h_1 = 386\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}. Sortie du compresseur, supposé adiabatique réversible, à 8 bar8\ \mathrm{bar} : h2=425 kJ kg−1h_2 = 425\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}. Sortie du condenseur, liquide saturant à 31 °C31\ \mathrm{°C} : h3=243 kJ kg−1h_3 = 243\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}. Tracer le cycle, calculer les transferts massiques, l'efficacité et le titre après détente (hL=174 kJ kg−1h_L = 174\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}} à 1,3 bar1{,}3\ \mathrm{bar}), puis le débit nécessaire pour extraire 150 W150\ \mathrm{W}.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Moteur entre sources finies 1

Exercice 10. Moteur entre deux sources de capacité finie ★★★

Approfondissement · 40 min · Niveau écrit ENS ou Mines

Deux blocs identiques de capacité thermique CC, initialement à T1T_1 et T2<T1T_2 < T_1, servent de sources à un moteur réversible fonctionnant par cycles infinitésimaux jusqu'à égalité des températures.

Déterminer la température finale et le travail total fourni.

Application numérique : C=4,18 kJ⋅K−1,T1=353 K,T2=293 K.C = 4{,}18~\mathrm{kJ\cdot K^{-1}}, \qquad T_1 = 353~\mathrm{K}, \qquad T_2 = 293~\mathrm{K}.

Voir le début du corrigé
  1. Pendant un cycle, le fluide reçoit δQ_c = −C·dT₁ et δQ_f = −C·dT₂. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST1 (2021), partie E.3 « Formulation et application des principes de la thermodynamique à l'étude des machines thermiques ». Elle couvre les machines cycliques dithermes, le premier principe adapté à l'écoulement d'un fluide en régime stationnaire et l'exploitation du diagramme (P,h)(P,h) d'un fluide réel. Les diagrammes (T,s)(T,s) sont explicitement hors programme.