Transport de matière diffusif

Exercice 1. Pourquoi respirer ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Le dioxygène doit parcourir environ $30~\mathrm{cm}$ entre la bouche et les alvéoles, puis environ $0{,}1~\mathrm{mm}$ dans l'air d'une alvéole.

Avec $D \approx 2\cdot10^{-5}~\mathrm{m^2\cdot s^{-1}}$ dans l'air, estimer les temps de diffusion et conclure.

Exercice 2. Échanges alvéolo-capillaires ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

La barrière alvéolo-capillaire est modélisée par une membrane plane de surface $S = 100~\mathrm{m^2}$ et d'épaisseur $e = 0{,}5~\mathrm{\mu m}$.

Le coefficient de diffusion effectif du dioxygène vaut $D = 1\cdot10^{-9}~\mathrm{m^2\cdot s^{-1}}$ et l'écart de concentration $\Delta c = 0{,}1~\mathrm{mol\cdot m^{-3}}$.

Calculer le flux molaire, le comparer au besoin de repos, environ $2\cdot10^{-4}~\mathrm{mol\cdot s^{-1}}$, et discuter l'effet d'une épaisseur multipliée par cinq.

Exercice 3. Épaisseur maximale d'un tissu non vascularisé ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Une couche plane de tissu occupe $0 \leq x \leq L$ et consomme le dioxygène uniformément, au taux $k$ en $\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot s^{-1}}$.

La face $x = 0$ est au contact d'un milieu de concentration $c_0$, la face $x = L$ est imperméable.

Trouver le profil stationnaire et l'épaisseur maximale pour que tout le tissu soit oxygéné.

Données : $$D = 2\cdot10^{-9}~\mathrm{m^2\cdot s^{-1}},$$ $$c_0 = 0{,}1~\mathrm{mol\cdot m^{-3}},$$ $$k = 2\cdot10^{-3}~\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot s^{-1}}.$$

Exercice 9. Sédimentation contre diffusion ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit ENS, plus exigeant

Des particules en suspension dans l'eau sédimentent à la vitesse $v$, ce qui donne à travers une section horizontale $S$ un flux $n\cdot v\cdot S$ vers le bas.

Elles diffusent aussi, avec le coefficient $D$.

L'axe $z$ est vertical ascendant et le fond $z = 0$ est imperméable.

Trouver le profil stationnaire.

Comparer des particules de $1~\mathrm{\mu m}$ avec $$D = 4\cdot10^{-13}~\mathrm{m^2\cdot s^{-1}},$$ $$v = 1\cdot10^{-6}~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$$ et de $10~\mathrm{nm}$ avec $$D = 4\cdot10^{-11}~\mathrm{m^2\cdot s^{-1}},$$ $v = 1\cdot10^{-10}~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$, valeurs fournies.

Exercice 4. Coquille sphérique et limite plane ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Agro-Véto

Une coquille est comprise entre $R_1$ et $R_2 > R_1$.

Les densités sont maintenues à $n_1$ en $R_1$ et $n_2$ en $R_2$, en régime stationnaire sans source.

Établir le flux sortant et montrer qu'il redonne la formule plane quand $e = R_2 - R_1$ est petit devant $R_1$.

Exercice 5. Taille maximale d'une cellule sans circulation ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit Agro-Véto

Une cellule sphérique de rayon $R$ baigne dans un milieu infini immobile, de concentration $c_\infty$ loin d'elle.

Elle absorbe tout le dioxygène qui l'atteint, donc $c(R) = 0$, et consomme au taux volumique $k$.

Calculer le flux reçu en régime stationnaire, puis le rayon maximal.

Données : $$D = 2\cdot10^{-9}~\mathrm{m^2\cdot s^{-1}}, \qquad c_\infty = 0{,}25~\mathrm{mol\cdot m^{-3}},$$

$k = 1~\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot s^{-1}}$, valeur fixée pour l'exercice.

Exercice 6. Tube de dialyse ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit G2E

Un tube de longueur $L$ a pour rayons intérieur $R_1 = 1{,}0~\mathrm{mm}$ et extérieur $R_2 = 1{,}1~\mathrm{mm}$.

Une espèce diffuse radialement à travers la paroi, avec les densités $n_1$ dedans et $n_2$ dehors, en régime stationnaire.

Établir le flux sortant et le comparer à la formule plane.

Exercice 7. Égalisation lente entre deux compartiments ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit Agro-Véto

Deux compartiments de même volume $V$, agités en permanence, sont séparés par une membrane de surface $S$, d'épaisseur $e$, de coefficient de diffusion $D$.

Initialement $c_1(0) > c_2(0)$.

Établir l'évolution de $c_1 - c_2$ et justifier le modèle.

Données : $$V = 100~\mathrm{mL}, \qquad S = 10~\mathrm{cm^2},$$ $$e = 50~\mathrm{\mu m}, \qquad D = 10^{-10}~\mathrm{m^2\cdot s^{-1}}.$$

Exercice 8. Évaporation dans un tube ★★★

Approfondissement · 40 min · Type écrit ENS, plus exigeant

Un tube vertical contient de l'eau dont la surface libre est à la profondeur $h$ sous l'orifice.

L'air du tube est immobile.

À la surface, la vapeur est saturante, de concentration $c_{\mathrm{sat}}$.

À l'orifice, l'air est renouvelé et $c \approx 0$.

Établir $h(t)$, puis la durée pour que $h$ passe de $1~\mathrm{cm}$ à $2~\mathrm{cm}$.

Données à $20~^\circ\mathrm{C}$ : $$p_{\mathrm{sat}} = 2{,}3~\mathrm{kPa}, \qquad D = 2{,}5\cdot10^{-5}~\mathrm{m^2\cdot s^{-1}},$$ $$M = 18~\mathrm{g\cdot mol^{-1}}, \qquad \rho = 1000~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}.$$