Signaux électriques en régime stationnaire

Résumé en cinq points

1Les grandeurs électriques

1.1Charge et intensité

La charge électrique s'exprime en coulombs. Elle est quantifiée : tout porteur porte un multiple entier de la charge élémentaire $e = 1{,}60\cdot 10^{-19} \unite{C}$. Les porteurs sont les électrons dans un métal, les ions en solution, ce qui est le cas dans les milieux biologiques.

Comme toute grandeur algébrique, l'intensité n'a de sens qu'une fois une flèche d'orientation dessinée sur le schéma. Une intensité négative signifie que le courant circule dans le sens opposé à la flèche choisie.

1.2Régime stationnaire

C'est le cadre de tout ce chapitre.

1.3Potentiel et tension

À chaque point d'un circuit on associe un potentiel électrique $V$, en volts. Le potentiel n'est défini qu'à une constante près : il faut choisir une référence, le point de potentiel nul, appelé masse et représenté par un symbole dédié sur le schéma.

La tension ne dépend pas du choix de la référence.

1.4Loi des nœuds

Conséquence immédiate : deux dipôles en série sont traversés par la même intensité.

1.5Loi des mailles

Conséquence immédiate : deux dipôles en parallèle portent la même tension.

1.6Conventions récepteur et générateur

Sur un dipôle, on oriente la flèche de courant et la flèche de tension. Deux choix seulement :

• convention récepteur : les deux flèches sont en sens contraire. La puissance reçue s'écrit alors $P = UI$ ;
• convention générateur : les deux flèches sont dans le même sens. La puissance fournie au reste du circuit s'écrit alors $P = UI$.

Ces conventions ne présagent pas du comportement réel du dipôle. Un dipôle en convention récepteur qui donne $P$ négatif se comporte en générateur. C'est le cas d'un accumulateur en charge et d'un accumulateur en décharge, décrits avec la même convention.

1.7Ordres de grandeur et risque électrique

La résistance du corps humain entre deux mains est de l'ordre de quelques milliers d'ohms à sec, et chute fortement si la peau est humide. Ce qui blesse est le courant qui traverse le corps, pas la tension en elle-même.

C'est pourquoi les tensions de sécurité en milieu humide sont très basses et pourquoi on ne manipule jamais un montage sous tension avec les mains humides.

2Circuits en régime continu

2.1Dipôle et caractéristique

2.2Source de tension et représentation de Thévenin

C'est un modèle : aucun générateur réel ne peut débiter un courant infini.

Lecture de la caractéristique : c'est une droite de pente $-r$, d'ordonnée à l'origine $E$.

• La valeur de $E$ se lit à courant nul : c'est la tension à vide.
• Le point où $U$ s'annule donne le courant de court-circuit $E/r$.
• Plus $r$ est faible, plus la source est proche de l'idéale.

Une pile usée se reconnaît à une résistance interne devenue grande : sa tension chute dès qu'on lui demande du courant.

2.3Dipôle résistif et loi d'Ohm

La conductance est $G = 1/R$, en siemens. La loi d'Ohm est une loi de comportement. Elle cesse d'être vérifiée si le composant s'échauffe notablement.

2.4Associations de deux résistances

2.5Pont diviseur de tension

2.6Mettre en œuvre un capteur résistif

Montage type. On place le capteur en série avec une résistance fixe $R_0$, et on alimente l'ensemble par une source de tension continue de force électromotrice $E$. On mesure la tension aux bornes de l'un des deux dipôles, avec un voltmètre ou une entrée analogique de microcontrôleur. Le pont diviseur donne $$U_{\text{mesuree}} = E\,\frac{R_0}{R_0 + R_{\text{capteur}}}.$$ On inverse cette relation pour remonter à $R_{\text{capteur}}$, puis à la grandeur mesurée grâce à une courbe d'étalonnage.

Deux précautions :

• choisir $R_0$ du même ordre que la résistance du capteur rend la tension mesurée plus sensible aux variations ;
• la résistance d'entrée du voltmètre doit être très grande devant celle du capteur, sinon le pont diviseur est faussé par la dérivation.

3Aspect énergétique

3.1Puissance électrique

Le kilowattheure est une unité pratique d'énergie : $1 \unite{kWh} = 3{,}6\cdot 10^{6} \unite{J}$.

3.2Effet Joule

Une résistance ne peut donc que recevoir de l'énergie électrique, jamais en fournir. Cette énergie est entièrement convertie en énergie interne et cédée au milieu extérieur sous forme de transfert thermique. C'est l'effet Joule, utile dans une bouilloire ou un radiateur, nuisible dans une ligne électrique et dans un circuit intégré.

3.3Bilan de puissance dans un circuit

Capacité exigible. On considère par exemple une source réelle de force électromotrice $E$ et de résistance interne $r$ alimentant une résistance $R$. La loi des mailles donne $E = (R + r)I$. En multipliant chaque terme par $I$, on obtient $$EI = RI^2 + rI^2.$$

Lecture de chaque terme :

• $EI$ est la puissance fournie par la source idéale, convertie d'une autre forme d'énergie, chimique dans une pile ;
• $rI^2$ est la puissance dissipée par effet Joule dans la source elle-même, elle est perdue ;
• $RI^2$ est la puissance utile, dissipée dans la résistance de charge.

4Capacités expérimentales et numériques

• Utiliser un multimètre numérique. L'ampèremètre se branche en série dans la branche dont on mesure le courant, et sa résistance interne doit être très faible. Le voltmètre se branche en dérivation aux bornes du dipôle, et sa résistance interne doit être très grande.
• Relever la caractéristique d'un dipôle en faisant varier la tension d'alimentation, puis tracer $U$ en fonction de $I$ avec matplotlib, avec légende et échelles adaptées. Pour un dipôle résistif, la pente obtenue par polyfit de numpy donne $R$ avec son incertitude.
• Déterminer $E$ et $r$ d'une source réelle en traçant $U$ en fonction de $I$ et en exploitant l'ordonnée à l'origine et la pente.
• Mettre en œuvre un capteur résistif dans un pont diviseur, tracer la courbe d'étalonnage et l'exploiter pour une mesure.
• Respecter les règles de sécurité : ne jamais modifier un montage sous tension, vérifier le câblage avant d'alimenter.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Relier l'intensité au débit de charges et commenter le sens conventionnel du courant.
2. Énoncer la loi des nœuds et la loi des mailles, et dire de quel principe physique chacune découle.
3. Dessiner un dipôle en convention récepteur puis en convention générateur, et écrire la loi d'Ohm dans les deux cas.
4. Tracer la caractéristique d'une source modélisée par une représentation de Thévenin et y lire $E$ et $r$.
5. Démontrer les deux formules d'association de résistances à partir des lois de Kirchhoff.
6. Démontrer la formule du pont diviseur de tension et énoncer sa condition de validité.
7. Décrire le montage d'un capteur résistif et expliquer le choix de la résistance associée.
8. Établir un bilan de puissance complet dans un circuit à une maille et nommer chaque terme.

Les résultats à connaître

• Intensité : i = dq/dt, avec dq la charge algébrique traversant une section dans le sens de la flèche. Relation exigible, ainsi que I = n·q·v·S pour des porteurs de densité n, de charge q et de vitesse moyenne v.
• Loi des nœuds : la somme des intensités entrantes est égale à la somme des intensités sortantes. Exigible avec justification par la conservation de la charge en régime stationnaire. En régime variable, elle suppose une approximation vue en S.3.
• Loi des mailles : la somme algébrique des tensions le long d'une maille orientée est nulle. Exigible avec justification, le potentiel est une fonction du point.
• Conventions : en convention récepteur, P = U·I est la puissance reçue. En convention générateur, P = U·I est la puissance fournie. Exigible.
• Source idéale de tension : U = E quel que soit I. Modèle, exigible.
• Représentation de Thévenin : U = E − r·I en convention générateur. Exigible, avec lecture de E et de r sur la caractéristique.
• Loi d'Ohm : U = R·I en convention récepteur, pour un conducteur ohmique à température fixée. Loi de comportement expérimentale, exigible sans démonstration.
• Association série de deux résistances : R_s = R₁ + R₂. Exigible avec démonstration.
• Association parallèle de deux résistances : 1/R_p = 1/R₁ + 1/R₂. Exigible avec démonstration.
• Pont diviseur de tension : U₁ = U·R₁/(R₁ + R₂), si R₁ et R₂ sont traversées par la même intensité. Exigible avec démonstration et condition.
• Puissance et énergie : P = U·I, W = U·I·Δt en régime stationnaire. Exigible.
• Effet Joule : P = R·I² = U²/R ≥ 0. Exigible avec démonstration.
• Bilan de puissance d'un circuit : exigible.
• Hors programme : diviseur de courant, théorème de Millman, équivalence Thévenin et Norton, superposition. On peut toujours retrouver leurs résultats par les lois des nœuds et des mailles, et c'est ce qu'on attend. La formule R = ρ·L/S ne s'utilise que si elle est fournie.

Clés de démonstration

Intensité et débit. Pendant dt, les porteurs qui traversent la section S sont ceux contenus dans un cylindre de longueur v·dt. Ce cylindre contient n·S·v·dt porteurs, qui transportent la charge dq = n·q·S·v·dt. En divisant par dt, on obtient I = n·q·v·S. L'astuce est de compter les porteurs dans un volume balayé.

Loi des nœuds. On entoure le nœud d'une surface fermée. En régime stationnaire, la charge contenue dans cette surface ne varie pas. Ce qui entre compense donc exactement ce qui sort. L'astuce est d'invoquer la conservation de la charge et l'absence d'accumulation.

Loi des mailles. On écrit chaque tension comme une différence de potentiels, U_AB = V_A − V_B. Le long d'une maille A, B, C, retour en A, la somme télescopique (V_A − V_B) + (V_B − V_C) + (V_C − V_A) est nulle. L'astuce est le télescopage, possible parce que le potentiel ne prend qu'une valeur en chaque point.

Association série. La loi des nœuds impose la même intensité I dans R₁ et dans R₂. La loi des mailles donne U = U₁ + U₂ = (R₁ + R₂)·I. On identifie avec U = R_s·I. L'astuce est l'égalité des courants.

Association parallèle. La loi des mailles impose la même tension U aux bornes de R₁ et de R₂. La loi des nœuds donne I = I₁ + I₂ = U/R₁ + U/R₂. On identifie avec I = U/R_p. L'astuce est l'égalité des tensions. Ici les conductances s'ajoutent.

Pont diviseur. Même courant dans les deux résistances, donc I = U/(R₁ + R₂). Puis U₁ = R₁·I. Tout repose sur l'hypothèse que rien ne sort entre R₁ et R₂. Si une branche en dérivation prélève du courant, la première égalité tombe.

Effet Joule et bilan. On remplace U par R·I dans P = U·I, ce qui donne un carré, donc une grandeur positive. Pour un circuit, on écrit la loi des mailles puis on multiplie chaque terme par I. Chaque produit se lit comme une puissance fournie ou reçue. C'est la traduction de la conservation de l'énergie.

Exemples et contre-exemples à connaître

• Deux résistances égales à R : 2R en série, R/2 en parallèle. C'est le test de cohérence le plus rapide.
• R en parallèle avec une résistance très petite : l'ensemble vaut à peu près la petite. Un fil idéal en parallèle court-circuite R, qui ne voit plus aucun courant.
• Interrupteur ouvert : I = 0, mais la tension à ses bornes peut valoir E. Un courant nul n'implique pas une tension nulle.
• Pont diviseur chargé : deux résistances R sous E donnent E/2 à vide, mais E/3 si l'on branche une troisième résistance R sur la sortie. C'est le contre-exemple fondamental de la formule.
• Accumulateur en charge : décrit en convention générateur, il donne U·I < 0. Il reçoit de la puissance. La convention ne dit rien du comportement réel.
• Pile usée : sa tension à vide reste proche de 1,5 V, mais sa résistance interne a beaucoup augmenté. Un voltmètre seul ne la détecte pas.
• Diode : sa caractéristique n'est pas une droite. La loi d'Ohm ne s'y applique pas.
• Voltmètre branché en série : il ne mesure presque que la tension de la source et bloque le courant. Ampèremètre branché en dérivation sur une source : il la court-circuite.
• Même résistance, tensions différentes : sur un corps de résistance 1 kΩ, 230 V donnent 230 mA, potentiellement mortels. 12 V donnent 12 mA, déjà au-dessus du seuil de non-lâcher (environ 10 mA) mais loin du risque sérieux de fibrillation.

Techniques du chapitre

1. Placer la masse et raisonner en potentiels. Pile de 9 V, pôle moins à la masse, en série avec R₁ = 1 kΩ puis R₂ = 2 kΩ. I = 9/3000 = 3 mA. Le point entre R₁ et R₂ est au potentiel R₂·I = 6 V, et U_R₁ = 9 − 6 = 3 V.

2. Réduire de l'intérieur vers l'extérieur. Réseau : 6 Ω en parallèle avec 3 Ω, le tout en série avec 4 Ω. 6·3/(6 + 3) = 2 Ω, puis 2 + 4 = 6 Ω. On ne combine jamais deux dipôles qui ne sont ni en série ni en parallèle.

3. Tester le pont diviseur avant de l'écrire. E = 10 V sur R et 3R en série : la tension aux bornes de 3R vaut 7,5 V. Si l'on branche R sur 3R, on remplace d'abord 3R∥R par 3R/4, et U = 10 × (3/4)/(1 + 3/4) = 4,3 V.

4. Loi des nœuds écrite en potentiels. Deux sources, E₁ = 12 V et E₂ = 6 V, de résistances internes 2 Ω, alimentent en parallèle R = 4 Ω. Soit V le potentiel du nœud commun. (12 − V)/2 + (6 − V)/2 = V/4 donne V = 7,2 V. I₁ = 2,4 A et I₂ = −0,6 A : la source 2 est en charge.

5. Lire une caractéristique de Thévenin. Tension à vide 4,5 V, droite extrapolée coupant l'axe des courants à 2,25 A. E = 4,5 V et r = 4,5/2,25 = 2 Ω. On extrapole le courant de court-circuit, on ne le mesure jamais sur une vraie pile.

6. Multiplier la loi des mailles par I. Source E = 12 V, r = 0,5 Ω, charge R = 5,5 Ω. I = 12/6 = 2 A. E·I = 24 W fournis, r·I² = 2 W perdus, R·I² = 22 W utiles. Le rendement vaut 92 %.

7. Convertir les capacités de batterie. Batterie de téléphone : 2000 mA·h sous 3,7 V. Charge 2 × 3600 = 7200 C. Énergie 7200 × 3,7 = 26,6 kJ, soit 7,4 W·h.

Exercices classiques corrigés

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