Propagation d'un signal physique

Résumé en cinq points

1Les signaux physiques

• Signal mécanique sur une corde ou à la surface de l'eau : le déplacement transversal d'un point du milieu, en mètres.
• Signal acoustique : la surpression, c'est-à-dire l'écart entre la pression locale et la pression au repos, en pascals.
• Signal électrique : une tension en volts ou une intensité en ampères.
• Signal sismique : le déplacement, la vitesse ou l'accélération du sol, enregistré par un sismomètre.

Dans tous les cas, le milieu revient à son état de repos après le passage du signal. Un flotteur sur une vague monte et descend, il n'avance pas avec la vague.

2Propagation dans un milieu homogène, illimité, non dispersif et transparent

Les quatre adjectifs sont les hypothèses de travail du chapitre :

• homogène : les propriétés sont les mêmes partout ;
• illimité : on ignore les bords, donc les réflexions ;
• non dispersif : la célérité ne dépend pas de la fréquence, donc le signal garde sa forme en se propageant ;
• transparent : il n'y a pas d'absorption, donc l'amplitude ne diminue pas.

2.1Célérité

Capacité exigible : obtenir l'expression de la célérité par analyse dimensionnelle à partir des grandeurs physiques fournies.

Valeurs à citer :

• son dans l'air, dans les conditions usuelles : environ $340 \unite{m.s^{-1}}$ ;
• son dans l'eau : environ $1{,}5\times 10^{3} \unite{m.s^{-1}}$ ;
• lumière dans le vide : $c = 3{,}00\times 10^{8} \unite{m.s^{-1}}$ ;
• ondes sismiques P, dans la croûte et le manteau supérieur : de l'ordre de 6 à $8 \unite{km.s^{-1}}$ ;
• ondes sismiques S : de l'ordre de 3 à $4{,}5 \unite{km.s^{-1}}$.

2.2Retard temporel

C'est la relation la plus utilisée du chapitre.

Application exigible : localiser l'épicentre d'un séisme. Deux idées se combinent.

• Les ondes P sont plus rapides que les ondes S. En une station donnée, l'écart entre l'arrivée des ondes P et celle des ondes S augmente avec la distance à l'épicentre. Si la station est à la distance $d$, cet écart vaut $$d\left(\frac{1}{c_S} - \frac{1}{c_P}\right).$$ On en tire $d$.
• Une seule station donne un cercle de rayon $d$ centré sur elle. Trois stations donnent trois cercles, dont l'intersection commune donne l'épicentre. C'est une triangulation.

2.3Lire une représentation graphique

Il faut distinguer sans hésiter deux graphes qui se ressemblent.

• Coupe temporelle : on fixe un point du milieu et on trace l'amplitude en fonction du temps. L'axe des abscisses est un temps, la périodicité lue est la période $T$ en secondes.
• Coupe spatiale : on fixe un instant et on trace l'amplitude en fonction de la position. L'axe des abscisses est une longueur, la périodicité lue est la longueur d'onde $\lambda$ en mètres.

2.4Signal sinusoïdal et double périodicité

Un signal sinusoïdal est caractérisé par son amplitude, sa période temporelle $T$ et sa fréquence $f = 1/T$ en hertz.

Conséquences :

• à célérité fixée, une fréquence élevée correspond à une petite longueur d'onde ;
• quand une onde passe d'un milieu à un autre, la fréquence est imposée par la source et donc conservée, tandis que la célérité et la longueur d'onde changent.

Ordres de grandeur :

• le spectre audible par l'être humain s'étend d'environ $20 \unite{Hz}$ à $20 \unite{kHz}$ ; en dessous ce sont les infrasons, au-dessus les ultrasons ;
• pour un son de $1 \unite{kHz}$ dans l'air, $\lambda = 340/1000$, soit $34 \unite{cm}$ ;
• pour une échographie à $5 \unite{MHz}$ dans les tissus, où la célérité vaut environ $1{,}5\times 10^{3} \unite{m.s^{-1}}$, $\lambda$ vaut $0{,}3 \unite{mm}$, ce qui fixe l'ordre de grandeur du détail observable.

3Le rayonnement électromagnétique

3.1Domaines spectraux

Dans le vide, toutes les ondes électromagnétiques vont à la célérité $c$, et $\lambda = c/f$. Les domaines, par longueur d'onde décroissante, avec des applications à citer :

• ondes radio, du kilomètre au mètre : radiodiffusion, téléphonie, RMN ;
• micro-ondes, du mètre au millimètre : radar, four à micro-ondes, communications satellitaires ;
• infrarouge, du millimètre à $800 \unite{nm}$ environ : thermographie, télécommandes, spectroscopie IR des liaisons chimiques ;
• visible, d'environ $800 \unite{nm}$ pour le rouge à $400 \unite{nm}$ pour le violet : vision, photosynthèse, spectroscopie UV-visible ;
• ultraviolet, de $400 \unite{nm}$ à quelques nanomètres : stérilisation, synthèse de la vitamine D, mais aussi lésions de l'ADN ;
• rayons X, du nanomètre au picomètre : radiographie, diffraction par les cristaux ;
• rayons gamma, en dessous : radioactivité, imagerie nucléaire, radiothérapie.

3.2Le photon

Le modèle ondulatoire explique la propagation, les interférences, la diffraction. Il n'explique pas les échanges d'énergie entre lumière et matière, qui se font par paquets.

Dualité onde-particule : la lumière n'est ni une onde ni un flux de particules, elle se décrit par l'un ou l'autre modèle selon l'expérience.

3.3Effet photoélectrique et photoionisation

Effet photoélectrique : un métal éclairé émet des électrons, mais seulement si la fréquence de la lumière dépasse un seuil, quelle que soit l'intensité lumineuse. Le modèle ondulatoire ne le prévoit pas. Le modèle particulaire l'explique immédiatement :

• l'arrachage d'un électron demande une énergie minimale, le travail d'extraction ;
• un électron reçoit l'énergie d'un seul photon ;
• si $h\nu$ est inférieur au travail d'extraction, aucun électron ne sort, même avec des milliards de photons ;
• si $h\nu$ le dépasse, l'électron sort, et l'excédent devient de l'énergie cinétique.

Augmenter l'intensité augmente alors le nombre d'électrons émis, pas leur énergie.

Photoionisation : même raisonnement pour un atome ou une molécule isolés. Un photon assez énergétique arrache un électron et laisse un cation. C'est la définition d'un rayonnement ionisant, à partir de l'ultraviolet lointain, puis les rayons X et gamma. Conséquence biologique directe : ces rayonnements peuvent casser des liaisons et endommager l'ADN, alors que la lumière visible ou l'infrarouge, moins énergétiques par photon, ne le peuvent pas.

Autres illustrations de l'interaction lumière-matière à savoir citer :

• la photosynthèse, où les pigments absorbent surtout dans le bleu et le rouge ;
• la vision ;
• la cellule photovoltaïque ;
• la diode électroluminescente ;
• les spectroscopies et l'imagerie médicale.

4Réflexion et réfraction

4.1Le modèle du rayon lumineux

Limite de validité : le modèle cesse d'être valable dès que la lumière rencontre des ouvertures ou des obstacles dont la dimension est comparable à la longueur d'onde. Apparaît alors la diffraction, que le modèle du rayon ne décrit pas.

Valeurs usuelles : $n = 1{,}00$ pour l'air, $1{,}33$ pour l'eau, environ $1{,}5$ pour les verres courants.

4.2Lois de Snell-Descartes

Un rayon arrive sur une interface plane séparant deux milieux d'indices $n_1$ et $n_2$. On définit la normale à l'interface au point d'incidence, et on mesure tous les angles par rapport à cette normale. Le plan d'incidence est le plan contenant le rayon incident et la normale.

Lecture qualitative : en passant dans un milieu plus réfringent, $n_2 > n_1$, le rayon se rapproche de la normale. En passant dans un milieu moins réfringent, il s'en écarte.

4.3Réflexion totale

Cas $n_1 > n_2$, donc passage vers un milieu moins réfringent. La loi de la réfraction donne $$\sin i_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin i_1,$$ et le facteur $n_1/n_2$ est supérieur à 1. Comme un sinus ne peut pas dépasser 1, il existe un angle d'incidence au-delà duquel aucune valeur de $i_2$ ne convient : il n'y a plus de rayon réfracté, toute l'énergie repart dans le premier milieu.

La réflexion totale n'existe que dans le sens milieu plus réfringent vers milieu moins réfringent.

Applications : la fibre optique, l'endoscopie, et la surface de l'eau vue de dessous qui se comporte en miroir au-delà de l'angle limite.

4.4Extension aux ondes sismiques de volume

Les lois de Snell-Descartes se généralisent aux ondes sismiques, en remplaçant les indices par les célérités, puisque l'indice optique n'est qu'un rapport de célérités. À une interface entre deux terrains où la célérité change, une onde sismique donne une onde réfléchie et une onde réfractée, avec les mêmes règles géométriques. On appelle rai sismique le trajet suivi.

Conséquences exigibles à savoir exploiter :

• dans la Terre, la célérité augmente globalement avec la profondeur dans le manteau ; un rai sismique ne suit donc pas une droite, il se courbe progressivement et finit par remonter vers la surface ;
• les discontinuités internes, où la célérité change brutalement, provoquent réflexions et réfractions marquées ; c'est en analysant ces arrivées que l'on a mis en évidence la limite entre la croûte et le manteau, puis celle entre le manteau et le noyau, vers $2900 \unite{km}$ de profondeur ;
• les ondes S sont des ondes de cisaillement et ne se propagent pas dans un liquide ; leur absence au-delà d'une certaine distance angulaire de l'épicentre est l'argument central en faveur d'un noyau externe liquide ;
• la forte réfraction à l'entrée du noyau crée par ailleurs une zone d'ombre pour les ondes P.

5Capacités expérimentales et numériques

• Mesurer la célérité d'un phénomène ondulatoire :
  • méthode du retard : deux microphones séparés d'une distance connue, acquisition simultanée, mesure du décalage temporel entre les deux signaux, puis $c = d/\tau$ ;
  • méthode des ondes stationnaires sur une corde ou dans un tuyau, en relevant la distance entre deux nœuds et la fréquence imposée.
• Utiliser un oscilloscope numérique ou une carte d'acquisition pour relever une coupe temporelle, puis en extraire période, fréquence et amplitude.
• Mesurer un indice de réfraction au réfractomètre, ou en relevant des couples d'angles et en traçant $\sin i_1$ en fonction de $\sin i_2$. La pente donne $n_2/n_1$, obtenue par régression linéaire avec polyfit de numpy.
• Tracer avec matplotlib les temps d'arrivée des ondes P et S en fonction de la distance à l'épicentre, à partir de données réelles, et en déduire les célérités.
• Toujours donner l'incertitude associée à une célérité mesurée et discuter l'écart au modèle.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Nommer la grandeur physique qui se propage pour un signal acoustique, mécanique, électrique et sismique.
2. Obtenir la célérité d'une onde sur une corde par analyse dimensionnelle et commenter la dépendance obtenue.
3. Citer la célérité du son dans l'air et dans l'eau, et les bornes du spectre audible.
4. Relier période, fréquence, longueur d'onde et célérité, et faire une application numérique propre.
5. Localiser un épicentre à partir des écarts d'arrivée entre ondes P et ondes S sur plusieurs stations.
6. Citer les domaines spectraux avec leurs ordres de grandeur et une application de chacun.
7. Interpréter l'effet photoélectrique et la photoionisation avec le modèle du photon, et expliquer pourquoi l'intensité lumineuse ne remplace pas la fréquence.
8. Établir la condition de réflexion totale et l'appliquer à l'interface eau-air, puis transposer les lois de Snell-Descartes aux rais sismiques.

Les résultats à connaître

• Un signal est la variation d'une grandeur physique en un point au cours du temps. Déplacement transversal pour un signal mécanique, surpression pour un signal acoustique, tension ou intensité pour un signal électrique, déplacement, vitesse ou accélération du sol pour un signal sismique : exigible, à savoir nommer.
• Hypothèses de travail du chapitre, milieu homogène, illimité, non dispersif et transparent : exigible, cadre de toutes les formules.
• La célérité est fixée par le milieu, pas par la source, et s'obtient par analyse dimensionnelle à partir des grandeurs fournies : exigible, capacité explicite.
• Valeurs à citer, son dans l'air environ 340 m/s, dans l'eau environ 1,5×10³ m/s, lumière dans le vide 3,00×10⁸ m/s, ondes P sismiques 6 à 8 km/s, ondes S 3 à 4,5 km/s : exigible.
• Retard temporel τ = d/c : exigible avec utilisation.
• Localisation d'un épicentre par l'écart d'arrivée entre ondes P et ondes S, puis triangulation à partir de plusieurs stations : exigible, capacité explicite.
• Une coupe temporelle, axe des abscisses en secondes, donne une période. Une coupe spatiale, axe en mètres, donne une longueur d'onde : exigible.
• Pour un signal sinusoïdal, amplitude, période T, fréquence f = 1/T, et relation λ = cT = c/f entre longueur d'onde, célérité et fréquence : exigible avec utilisation.
• En changeant de milieu, la fréquence se conserve, imposée par la source, tandis que la célérité et la longueur d'onde changent : exigible.
• Spectre audible humain, d'environ 20 Hz à 20 kHz : exigible, à citer.
• Domaines spectraux du rayonnement électromagnétique, radio, micro-ondes, infrarouge, visible, ultraviolet, rayons X, rayons gamma, avec ordres de grandeur de longueur d'onde et applications : exigible, à citer.
• Le photon a une énergie E = hν = hc/λ, avec h = 6,63×10⁻³⁴ J·s : exigible.
• Effet photoélectrique et photoionisation, interprétés par le modèle particulaire, seuil en fréquence et non en intensité : exigible.
• Modèle du rayon lumineux, indice optique n = c/v ≥ 1, limite de validité, la diffraction apparaît si l'obstacle est comparable à la longueur d'onde : exigible.
• Lois de Snell-Descartes, réflexion, angle réfléchi égal à l'angle incident, réfraction, n₁sin(i₁) = n₂sin(i₂), rayons dans le plan d'incidence : exigible.
• Condition de réflexion totale, sin(i_lim) = n₂/n₁ pour n₁ > n₂, réflexion totale au-delà de i_lim : exigible avec établissement.
• Généralisation aux rais sismiques, indices remplacés par les célérités, courbure des rais avec la profondeur, discontinuités majeures, Moho et limite manteau-noyau vers 2900 km : exigible, capacité d'application.

Clés de démonstration

Célérité par analyse dimensionnelle. On écrit les dimensions des grandeurs physiques fournies par l'énoncé, puis on cherche la combinaison qui donne des mètres par seconde. Pour une corde, T en newtons et µ en kg/m donnent T/µ en m²/s², donc c = √(T/µ) à un facteur sans dimension près. L'astuce : la vitesse au carré apparaît toujours en cherchant l'homogénéité, jamais la vitesse directement.

Condition de réflexion totale. La loi de la réfraction donne sin(i₂) = (n₁/n₂)sin(i₁). Si n₁ > n₂, le facteur n₁/n₂ dépasse 1, donc au-delà d'un certain i₁, l'expression obtenue dépasse 1, ce qui est impossible pour un sinus. Il n'existe alors plus de rayon réfracté. L'astuce : chercher l'angle limite en posant sin(i₂) = 1, la valeur maximale possible.

Interprétation de l'effet photoélectrique. Un électron reçoit l'énergie d'un seul photon à la fois, jamais la somme de plusieurs. Si hν est inférieur au travail d'extraction, aucun photon isolé ne fournit assez d'énergie, quel que soit leur nombre. Si hν le dépasse, chaque photon absorbé arrache un électron. L'astuce : raisonner photon par photon, jamais sur l'énergie totale du faisceau.

Localisation d'un épicentre. L'écart entre l'arrivée de l'onde P, rapide, et l'onde S, lente, croît avec la distance parcourue, car Δt = d(1/c_S − 1/c_P). Une seule station donne donc un cercle de rayon d autour d'elle. Trois stations donnent trois cercles dont l'intersection commune est l'épicentre. L'astuce : une mesure de temps se traduit en distance, une distance en cercle, plusieurs cercles en un point.

Courbure des rais sismiques. Comme la célérité croît globalement avec la profondeur dans le manteau, un rai qui s'enfonce rencontre des couches successives de plus en plus rapides, ce qui l'écarte à chaque fois un peu plus de la normale locale, exactement comme une suite de réfractions successives. Le rai finit par se courber et remonter. L'astuce : traiter une variation continue de célérité comme une succession de petites réfractions selon Snell-Descartes.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. Un flotteur sur une vague monte et descend sur place, il n'avance pas avec la vague : un signal transporte de l'énergie, pas de matière.
2. La surpression d'une conversation vaut quelques centièmes de pascal, à comparer aux 10⁵ Pa de la pression atmosphérique : ordre de grandeur à connaître pour ne pas confondre les deux échelles.
3. Une corde deux fois plus tendue et deux fois plus lourde garde la même célérité, car seul le rapport T/µ compte : contre-exemple à l'idée que doubler toutes les grandeurs change nécessairement le résultat.
4. Lire une longueur d'onde sur une coupe temporelle, en secondes, est une erreur classique : l'unité de l'axe des abscisses tranche toujours entre période et longueur d'onde.
5. En changeant de milieu, c'est la fréquence qui reste fixe, pas la longueur d'onde : contre-exemple à l'intuition selon laquelle tout resterait identique ou tout changerait.
6. Augmenter l'intensité d'une lumière sous le seuil de fréquence n'arrache aucun électron par effet photoélectrique, même avec un faisceau très puissant : contre-exemple central au raisonnement ondulatoire naïf.
7. La réflexion totale n'existe que du milieu plus réfringent vers le milieu moins réfringent, jamais de l'air vers l'eau : contre-exemple à l'idée qu'elle pourrait se produire dans les deux sens.
8. Les ondes S ne traversent pas le noyau externe liquide de la Terre, contrairement aux ondes P qui le traversent en étant fortement réfractées : argument historique majeur sur la structure interne du globe.
9. Le modèle du rayon lumineux cesse d'être valable si l'obstacle rencontré a une dimension comparable à la longueur d'onde, où apparaît la diffraction : limite de validité à toujours vérifier avant de l'appliquer.
10. Un photon visible à 500 nm porte environ 2,5 eV, bien trop peu pour ioniser la plupart des molécules, contrairement à un photon ultraviolet lointain ou X : contre-exemple à croire que toute lumière peut ioniser.

Techniques du chapitre

Technique 1, obtenir une célérité par analyse dimensionnelle à partir des grandeurs fournies. Mini-exercice : pour une onde de surface sur eau profonde, la célérité dépend de l'accélération de la pesanteur g et de la longueur d'onde λ. La seule combinaison homogène à une vitesse est c = √(gλ), à un facteur sans dimension près.

Technique 2, distinguer coupe temporelle et coupe spatiale par l'unité de l'axe des abscisses. Mini-exercice : un graphe en secondes montre une périodicité de 2 ms. C'est nécessairement une période T = 2 ms, jamais une longueur d'onde.

Technique 3, utiliser l'écart P-S pour retrouver une distance. Mini-exercice : un écart de 8,0 s est mesuré, avec 1/c_S − 1/c_P = 0,10 s/km. La distance à l'épicentre vaut d = 8,0/0,10 = 80 km.

Technique 4, garder la fréquence fixe pour recalculer une longueur d'onde après un changement de milieu. Mini-exercice : un son de 1 kHz passe de l'air, 340 m/s, à l'eau, 1500 m/s. λ passe de 34 cm à 1,5 m, la fréquence restant 1 kHz.

Technique 5, comparer l'énergie d'un photon à un seuil pertinent. Mini-exercice : un photon ultraviolet à 200 nm porte E = hc/λ ≈ 6,2 eV, largement suffisant pour ioniser de nombreuses molécules dont les énergies de liaison sont de l'ordre de quelques eV.

Technique 6, comparer n₁ et n₂ avant d'appliquer Snell-Descartes, pour savoir si la réflexion totale est possible. Mini-exercice : un rayon va de l'eau, n = 1,33, vers l'air, n = 1,00. n₁ > n₂, la réflexion totale est possible au-delà de i_lim ≈ 49°.

Technique 7, pour un rai sismique, remplacer les indices par les célérités et raisonner par discontinuités. Mini-exercice : à une interface où la célérité passe de 8 à 6 km/s, en descendant, le rai s'écarte de la normale, exactement comme en passant vers un milieu moins réfringent en optique.

Exercices classiques corrigés

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