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BCPST1 · Physique-chimie · semaine 25

Dynamique d'un circuit électrique du premier ordre

Modèle du condensateur idéal, relation entre charge et tension, continuité de la tension et énergie stockée. Circuit RC série alimenté par une source idéale de tension, équation différentielle et réponse indicielle. Temps caractéristique, régime transitoire et régime permanent, bilan énergétique de la charge d'un condensateur.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Le condensateur idéal obéit à q=Cuq=Cu et i=C du/dti=C\,\dd u/\dd t en convention récepteur, et stocke l'énergie 12Cu2\frac12 Cu^2.
  2. La tension à ses bornes est continue, ce qui fixe les conditions initiales. L'intensité peut être discontinue.
  3. Le circuit RC série soumis à un échelon vérifie :

dudt+uτ=Eτ\frac{\dd u}{\dd t} +\frac{u}{\tau} =\frac{E}{\tau}

avec τ=RC\tau=RC, et répond, pour un condensateur initialement déchargé, par :

u(t)=E(1−e−t/τ)u(t)=E(1-\e^{-t/\tau})

  1. Le temps caractéristique se lit à 63 %63\,\% de la valeur finale, par la tangente à l'origine, et le régime transitoire dure environ 5τ5\tau.
  2. Lors d'une charge, la moitié de l'énergie fournie par la source est stockée et l'autre moitié dissipée par effet Joule, indépendamment de RR.
Pourquoi ce chapitre

Le premier semestre a traité les circuits en régime stationnaire, où rien ne dépend du temps. On introduit ici le premier composant qui a de la mémoire, le condensateur, et avec lui la notion de régime transitoire.

Un système du premier ordre, soumis à un échelon, répond par une exponentielle et se caractérise par son temps caractéristique. Ce schéma se retrouve dans :

  • le refroidissement d'un corps au contact d'un thermostat ;
  • la cinétique d'ordre 11 ;
  • la charge d'un capteur.

Le chapitre est aussi expérimental : savoir acquérir un signal, en extraire un temps caractéristique et discuter la précision fait partie des exigibles.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Charge et décharge d'un condensateur 3

Exercice 1. Charge à partir d'une tension non nulle ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Un condensateur de 100 μF100~\mathrm{\mu F} porte une tension initiale de 2,0 V2{,}0~\mathrm{V}.

À t=0t = 0, on le relie en série avec R=10 kΩR = 10~\mathrm{k\Omega} à une source idéale de 10 V10~\mathrm{V}.

Donner u(t)u(t), l'intensité juste après la fermeture et l'instant où uu atteint 9,0 V9{,}0~\mathrm{V}.

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Technique forme générale de la réponse et temps de seuil.

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  1. τ = 10⁴ × 10⁻⁴ = 1,0 s. Régime permanent : u∞ = 10 V.
  2. Continuité : u(0⁺) = 2,0 V. Donc u(t) = 10 − 8,0·e−t/τ, en volts.
  3. i(0⁺) = (E − u(0⁺))/R = 8,0/10⁴ = 0,80 mA, et non E/R.
  4. Seuil : 8,0·e−t/τ = 1,0, soit t = τ·ln 8 = 2,1 s.

piège : Écrire u=E⋅(1−e−t/τ)u = E\cdot\left(1 - e^{-t/\tau}\right) par réflexe, ce qui suppose un condensateur déchargé.

Exercice 2. Identifier un condensateur par sa décharge ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Un condensateur chargé sous 12 V12~\mathrm{V} se décharge dans R=4,7 kΩR = 4{,}7~\mathrm{k\Omega}.

La tension vaut 6,0 V6{,}0~\mathrm{V} au bout de 3,0 ms3{,}0~\mathrm{ms}.

Déterminer τ\tau, CC, et l'énergie dissipée dans RR.

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  1. u = U₀/2 à t½ = τ·ln 2, donc τ = 3,0/0,693 = 4,3 ms.

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Exercice 4. Charge par paliers ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit Agro-Véto

Un condensateur déchargé est chargé jusqu'à EE en deux étapes : d'abord avec une source E/2E/2 jusqu'au régime permanent, puis avec une source EE, toujours à travers RR.

Calculer l'énergie dissipée à chaque étape, puis pour NN paliers égaux.

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  1. Palier générique de V à V + ΔV, sous la source V + ΔV. …

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Applications du circuit RC 3

Exercice 3. Touche de clavier capacitive ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Une touche est un condensateur plan à air, avec S=1,0 cm2,e=0,10 mmS = 1{,}0~\mathrm{cm^2}, \qquad e = 0{,}10~\mathrm{mm} ε≈ε0=8,85⋅10−12 F⋅m−1.\varepsilon \approx \varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}~\mathrm{F\cdot m^{-1}}.

Un appui divise ee par deux.

Le circuit de lecture charge la touche à travers R=1,0 MΩR = 1{,}0~\mathrm{M\Omega} et détecte le passage à 63 %63~\% de la tension finale.

Comparer les durées sans appui et avec appui.

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  1. Sans appui : C = 8,85·10⁻¹² × 10⁻⁴/10⁻⁴ = 8,9 pF.

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Exercice 7. Défibrillateur ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit Agro-Véto

Un défibrillateur contient un condensateur de 100 μF100~\mathrm{\mu F} chargé sous 2,0 kV2{,}0~\mathrm{kV}.

Il se décharge dans le thorax, modélisé par R=50 ΩR = 50~\Omega.

Calculer l'énergie stockée, τ\tau, l'intensité maximale, et la durée pour délivrer la moitié de l'énergie.

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  1. EC = (1/2) × 10⁻⁴ × 4,0·10⁶ = 200 J.

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Exercice 9. Membrane d'un neurone ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit Agro-Véto

Le soma d'un neurone est une sphère de rayon 20 μm20~\mathrm{\mu m}.

Sa membrane a une capacité surfacique de 1,0 μF⋅cm−21{,}0~\mathrm{\mu F\cdot cm^{-2}} et une résistance surfacique de 1,0 Ω⋅m21{,}0~\mathrm{\Omega\cdot m^2}.

On la modélise par CC en parallèle avec une branche formée de RR en série avec une source égale au potentiel de repos VrV_r.

Établir l'équation d'évolution de VV, calculer τ\tau, puis la durée de retour à moins de 1 mV1~\mathrm{mV} du repos après une dépolarisation de 20 mV20~\mathrm{mV}.

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  1. Surface : 4π·(20·10⁻⁶)² = 5,0·10⁻⁹ m². …

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Réseaux RC 2

Exercice 5. Condensateur en parallèle sur une résistance ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit Agro-Véto

Une source E=6,0 VE = 6{,}0~\mathrm{V} est en série avec R1=10 kΩR_1 = 10~\mathrm{k\Omega}, puis un nœud AA.

Entre AA et la masse sont placés en parallèle R2=10 kΩR_2 = 10~\mathrm{k\Omega} et un condensateur C=1,0 μFC = 1{,}0~\mathrm{\mu F}, initialement déchargé.

L'interrupteur est fermé à t=0t = 0.

Établir l'équation vérifiée par uu, déterminer τ\tau et u(t)u(t).

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  1. Courant dans R₁ : (E − u)/R₁. Il se partage entre R₂, qui reçoit u/R₂, et C, qui reçoit C·du/dt.

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Exercice 6. Deux condensateurs reliés ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit G2E

C1=2,0 μFC_1 = 2{,}0~\mathrm{\mu F}, chargé sous U0=12 VU_0 = 12~\mathrm{V}, est relié à t=0t = 0 à C2=1,0 μFC_2 = 1{,}0~\mathrm{\mu F} déchargé, par une résistance R=1,0 kΩR = 1{,}0~\mathrm{k\Omega}.

Déterminer la tension finale commune, le temps caractéristique et l'énergie dissipée.

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  1. Aucun courant ne quitte l'ensemble des deux armatures reliées, donc C₁·u₁ + C₂·u₂ se conserve. …

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Mesure expérimentale de τ 1

Exercice 8. Mesure de τ au laboratoire ★★★

Approfondissement · 40 min · Écrit G2E

On étudie R=1,0 kΩR = 1{,}0~\mathrm{k\Omega} à 5 %5~\% et C=470 nFC = 470~\mathrm{nF} à 10 %10~\% avec un générateur de signaux créneaux 00 à 5 V5~\mathrm{V}, de résistance de sortie 50 Ω50~\Omega.

Choisir la fréquence et la position de la masse.

La régression de ln⁡(E−u)\ln(E - u) sur la montée donne une pente de −2,0⋅103 s−1-2{,}0\cdot 10^3~\mathrm{s^{-1}}.

Conclure sur la compatibilité.

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  1. τ nominal : 0,47 ms. Demi-période au moins 5τ, soit 2,4 ms, donc f au plus 210 Hz. …

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Régime périodique établi 1

Exercice 10. Créneau rapide, régime établi ★★★

Approfondissement · 45 min · Écrit ENS, plus exigeant

Un créneau alterne entre EE et 00 avec des demi-périodes T/2T/2.

Le circuit RC est en régime périodique établi.

Posons a=T/(2τ)a = T/(2\tau).

Déterminer les valeurs extrêmes UmaxU_{max} et UminU_{min} de uu, puis l'ondulation quand TT est petit devant τ\tau.

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  1. Montée de Umin vers E pendant T/2 : Umax = E + (Umin − E)·e−a.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST1 (2021), partie S.3 « Dynamique d'un circuit électrique du premier ordre ». Elle couvre le modèle du condensateur idéal, le circuit RC série alimenté par une source idéale de tension, la réponse indicielle et le bilan énergétique. Les circuits du second ordre et le régime sinusoïdal ne sont pas au programme de première année.