Oscillateurs mécaniques

Exercice 1. Masse suspendue à un ressort vertical ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Un ressort de raideur $k = 20~\mathrm{N\cdot m^{-1}}$ et de longueur à vide $l_0$ porte une masse $m = 200~\mathrm{g}$.

On l'écarte de $3{,}0~\mathrm{cm}$ sous l'équilibre, puis on la lâche sans vitesse.

On demande l'équilibre, l'équation du mouvement, la loi horaire, la vitesse maximale et le bilan énergétique.

Exercice 4. Résolution des régimes libres ★

Application du cours · 20 min · Écrit Agro-Véto

Un oscillateur de pulsation propre $\omega_0$ part de $x(0) = X_0$ avec une vitesse nulle.

On demande $x(t)$ en régime critique puis en régime pseudo-périodique.

Exercice 2. Double puits de potentiel ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Une particule de masse $m$ se déplace sur un axe avec $$E_p(x) = E_0\left(\left(\frac{x}{a}\right)^4 - 2\left(\frac{x}{a}\right)^2\right),$$ où $E_0 > 0$.

On demande les équilibres, leur stabilité, la pulsation des petites oscillations et la nature du mouvement selon l'énergie.

Exercice 3. Non-isochronisme du pendule ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Khôlle, capacité numérique

On demande d'écrire l'algorithme qui mesure la période du pendule simple en fonction de l'amplitude initiale $\theta_0$, lâché sans vitesse, puis de commenter le résultat.

Exercice 5. Mesure de ω₀ et de Q ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle, exploitation expérimentale

Sur un enregistrement de pendule, 10 pseudo-périodes durent $12{,}5~\mathrm{s}$.

Un maximum vaut $5{,}0~\mathrm{cm}$, et le maximum de même signe situé 8 pseudo-périodes plus tard vaut $2{,}0~\mathrm{cm}$.

On demande $\omega_0$, $Q$ et la durée du transitoire.

Exercice 7. Courbe de réponse en vitesse ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle, exploitation expérimentale

L'amplitude de la vitesse est maximale, à $0{,}40~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$, pour $f = 2{,}0~\mathrm{Hz}$.

Elle vaut $0{,}28~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ à $1{,}90~\mathrm{Hz}$ et à $2{,}10~\mathrm{Hz}$.

On demande $Q$, $\tau$ et l'allure des oscillations libres.

Exercice 6. Régime forcé et insuffisance du modèle ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Écrit G2E

Données : $$m = 0{,}20~\mathrm{kg}, \qquad k = 80~\mathrm{N\cdot m^{-1}},$$ $$\alpha = 0{,}20~\mathrm{kg\cdot s^{-1}}.$$

La force appliquée vaut $F_0 \cos \omega t$ avec $F_0 = 0{,}10~\mathrm{N}$.

On demande l'amplitude en fonction de $\omega$, la résonance, puis le cas $\alpha = 0$.

Exercice 8. Suspension de véhicule ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit Agro-Véto

Un quart de voiture a une masse $m = 300~\mathrm{kg}$ et une raideur $$k = 3{,}0 \times 10^4~\mathrm{N\cdot m^{-1}}.$$ On demande le coefficient $\alpha$ donnant le régime critique, la vitesse dangereuse sur des bosses espacées de $d = 10~\mathrm{m}$, et l'effet d'un amortisseur usé qui divise $\alpha$ par 5.

Exercice 10. Sismomètre et accéléromètre ★★★

Approfondissement · 60 min · Type écrit ENS BCPST, plus exigeant

Un boîtier solidaire du sol a une position $$s(t) = S \cos \omega t,$$ repérée dans le référentiel terrestre non perturbé.

Il contient une masse $m$ reliée par un ressort $k$ et un amortisseur $\alpha$.

On note $y$ la position de la masse relative au boîtier, comptée depuis l'équilibre.

On demande la réponse, puis les réglages de chaque capteur.

Exercice 9. Vibration de H-Cl ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit G2E

La bande fondamentale de H-Cl est à $$\sigma = 2886~\mathrm{cm^{-1}}.$$

On donne les masses $1{,}0~\mathrm{u}$ pour H, $2{,}0~\mathrm{u}$ pour D et $35~\mathrm{u}$ pour Cl, avec $$1~\mathrm{u} = 1{,}66 \times 10^{-27}~\mathrm{kg}$$ et $k_B T = 4{,}1 \times 10^{-21}~\mathrm{J}$ à $300~\mathrm{K}$.

On admet que la vibration de la molécule diatomique équivaut à celle d'une particule unique de masse réduite $$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$$ reliée à un ressort de raideur $k$.

On demande $\nu$, la raideur, l'énergie du fondamental et la population des niveaux, puis la bande de D-Cl.