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BCPST2 · Physique-chimie · semaine 18

Approche énergétique du mouvement d'un point matériel

Puissance et travail d'une force, caractère moteur ou résistant, théorème de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen. Champ de force conservative, énergie potentielle et énergie mécanique. Lecture du mouvement sur un graphe d'énergie potentielle, positions d'équilibre et stabilité.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. P=F⃗⋅v⃗P=\vec F\cdot\vec v et δW=F⃗⋅dl⃗\delta W=\vec F\cdot\dd\vec l. Une force orthogonale à la vitesse ne travaille pas. Une force de frottement est résistante dans le référentiel où le support ou le fluide est au repos.
  2. Dans un référentiel galiléen, ΔEc\Delta E_c est égale au travail de toutes les forces. Pour les forces conservatives, ce travail vaut −ΔEp-\Delta E_p.
  3. ΔEm=Wnc\Delta E_m=W_{\mathrm{nc}}. Le mouvement est conservatif si ce travail est nul entre tous les instants, et EmE_m est alors une intégrale première.
  4. Sur un graphe d'énergie potentielle, le mouvement n'existe que là où l'énergie potentielle ne dépasse pas l'énergie mécanique. Les intersections donnent les points de vitesse nulle, un puits donne un mouvement borné, une bosse une barrière.
  5. Un minimum d'énergie potentielle est un équilibre stable, un maximum un équilibre instable, dans les conditions précisées plus haut. La courbe d'une liaison chimique en donne l'illustration : puits de profondeur égale à l'énergie de dissociation, minimum à la longueur de liaison.
Pourquoi ce chapitre

Les lois de Newton donnent une équation différentielle vectorielle qu'il faut ensuite résoudre. L'approche énergétique donne directement une relation scalaire entre position et vitesse, sans intégration. Elle sert quand on cherche :

  • une vitesse à un endroit donné ;
  • une hauteur maximale ;
  • une condition de passage.

Elle permet de lire le comportement d'un système sur le graphe de l'énergie potentielle :

  • les zones interdites ;
  • les oscillations ;
  • les échappées ;
  • les positions d'équilibre et leur stabilité.

Ce raisonnement sert ensuite :

  • en chimie, où la courbe d'énergie potentielle d'une liaison donne la distance d'équilibre et l'énergie de dissociation ;
  • en physique du vivant, où une barrière d'énergie potentielle explique un franchissement conditionné.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Bilan énergétique avec frottements 2

Exercice 1. Descente d'un skieur ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Un skieur de 70 kg70~\mathrm{kg} part sans vitesse et descend un dénivelé de 50 m50~\mathrm{m}.

Il arrive en bas à 20 m⋅s−120~\mathrm{m\cdot s^{-1}} après 200 m200~\mathrm{m} de piste.

On demande la vitesse qu'il aurait sans frottement, l'énergie dissipée et la force de frottement moyenne.

Voir l'indice

Technique conservation, puis ΔEm=W(frottement)\Delta E_m = W(\text{frottement}).

Voir le corrigé offert
  1. Sans frottement, ½ m v² = m g h, d'où v = √(2 × 9,8 × 50) ≈ 31 m·s⁻¹.
  2. Avec frottement, ΔE_m = ½ × 70 × 400 − 70 × 9,8 × 50 = 14,0 − 34,3 = −20,3 kJ.
  3. L'énergie dissipée vaut 20,3 kJ. On assimile le frottement à une force de norme moyenne f, opposée au mouvement, de travail −f L. On obtient f = 20,3 × 10³/200 ≈ 1,0 × 10² N.

piège : On multiplie f par la longueur de piste, pas par le dénivelé.

Exercice 3. Bloc lancé sur un plan incliné ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Un bloc de 2,0 kg2{,}0~\mathrm{kg} est lancé à 4,0 m⋅s−14{,}0~\mathrm{m\cdot s^{-1}} vers le haut d'un plan incliné de 30∘30^\circ.

Il subit une force de frottement de norme constante f=4,0 Nf = 4{,}0~\mathrm{N}, opposée à sa vitesse.

On demande la distance parcourue avant l'arrêt.

On admet qu'il redescend et on demande sa vitesse lorsqu'il repasse au point de départ.

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  1. À la montée, 0 − ½ m v₀² = −m g d sin α − f d. …

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Mouvement circulaire et tension 2

Exercice 2. Pendule simple lâché d'un angle θ₀ ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Une masse mm est accrochée à un fil inextensible de longueur LL.

On la lâche sans vitesse sous un angle θ0=60∘\theta_0 = 60^\circ avec la verticale, avec L=1,0 mL = 1{,}0~\mathrm{m}.

On demande la vitesse au point bas, puis la tension du fil en ce point.

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  1. La tension est orthogonale à la vitesse, elle ne travaille pas. …

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Exercice 8. Le looping ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Type écrit Mines ou oral Centrale

Une bille glisse sans frottement sur une piste.

Elle part sans vitesse d'une hauteur hh, puis entre dans une boucle circulaire verticale de rayon RR, dont le bas est à l'altitude 00.

On demande la hauteur minimale pour qu'elle fasse le tour sans décoller.

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  1. Au sommet de la boucle, à l'altitude 2R, la conservation donne v² = 2 g (h − 2R).

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Énergie potentielle et équilibre 3

Exercice 4. Ressort vertical ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Une masse de 0,20 kg0{,}20~\mathrm{kg} est suspendue à un ressort de raideur 20 N⋅m−120~\mathrm{N\cdot m^{-1}} et de longueur à vide l0l_0.

On oriente l'axe zz vers le bas depuis le point d'attache, de sorte que l=zl = z.

On demande l'énergie potentielle totale, l'équilibre et sa stabilité, puis le mouvement après un lâcher sans vitesse en z=l0z = l_0.

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  1. Avec l'axe descendant, Ep = ½ k (z − l₀)² − m g z + constante.

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Exercice 6. Le double puits ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · D'après un écrit Agro-Véto

Un point de masse mm se déplace sur un axe avec Ep(x)=E0[(xa)4−2(xa)2],E_p(x) = E_0 \left[\left(\frac{x}{a}\right)^4 - 2\left(\frac{x}{a}\right)^2\right], où E0>0E_0 > 0.

On demande les équilibres et leur stabilité, puis le mouvement selon la valeur de EmE_m.

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  1. La dérivée vaut Ep' = 4E₀ (x³/a⁴ − x/a²). …

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Exercice 7. Courbe d'énergie d'une liaison ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type oral Agro-Véto

On modélise la liaison H–Cl par Ep(r)=D[(1−e−b(r−r0))2−1],E_p(r) = D\left[\left(1 - e^{-b(r - r_0)}\right)^2 - 1\right], avec D=7,1×10−19 J,b=1,9×1010 m−1,r0=127 pm.\begin{aligned} D &= 7{,}1 \times 10^{-19}~\mathrm{J}, \\ b &= 1{,}9 \times 10^{10}~\mathrm{m^{-1}}, \\ r_0 &= 127~\mathrm{pm}. \end{aligned} On demande la valeur limite, le minimum, l'énergie de dissociation molaire, le sens de la force de part et d'autre de r0r_0, et la courbure au fond du puits.

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  1. Quand r tend vers l'infini, l'exponentielle tend vers 0 et Ep tend vers 0. …

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Puissance et travail 2

Exercice 5. Le saut du criquet ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Un criquet de 2,0 g2{,}0~\mathrm{g} stocke de l'énergie dans une structure élastique de sa patte.

On l'assimile à un ressort de raideur 5,0×103 N⋅m−15{,}0 \times 10^{3}~\mathrm{N\cdot m^{-1}} comprimé de 2,0 mm2{,}0~\mathrm{mm}.

On néglige l'air et on suppose toute l'énergie restituée lors d'un saut vertical.

On demande la vitesse de décollage, la hauteur atteinte, et la puissance moyenne si la détente dure 20 ms20~\mathrm{ms}.

Les valeurs sont arrondies.

Voir le début du corrigé
  1. L'énergie stockée vaut ½ k Δl² = 0,5 × 5,0 × 10³ × 4,0 × 10⁻⁶ = 1,0 × 10⁻² J.

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Exercice 9. Cycliste en côte ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · D'après un écrit G2E

Un cycliste et son vélo pèsent 80 kg80~\mathrm{kg}.

Ils montent une pente de 5 %5~\% à 5,0 m⋅s−15{,}0~\mathrm{m\cdot s^{-1}} constants.

La traînée de l'air vaut 12 ρ SCx v2,\frac{1}{2}\,\rho\, S C_x\, v^2, avec ρ=1,2 kg⋅m−3,SCx=0,35 m2.\rho = 1{,}2~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}, \qquad S C_x = 0{,}35~\mathrm{m^2}. On néglige le frottement de roulement.

On demande la puissance fournie, puis la vitesse atteinte sur le plat avec cette même puissance.

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  1. La vitesse est constante, donc dE_c/dt = 0 et la somme des puissances est nulle.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST deuxième année (2021), thème M « mouvements et interactions », paragraphe M.3. Elle couvre :