Fluides en écoulement

Exercice 1. Du cœur aux capillaires ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Débit cardiaque $5{,}0~\mathrm{L\cdot min^{-1}}$, aorte de rayon $1{,}2~\mathrm{cm}$, capillaire de rayon $4~\mathrm{\mu m}$, sang à $0{,}5~\mathrm{mm\cdot s^{-1}}$ dans les capillaires. $$\rho = 1060~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}, \qquad \eta = 4 \times 10^{-3}~\mathrm{Pa\cdot s}.$$ Trouver la vitesse dans l'aorte, le nombre de capillaires ouverts et le régime dans chacun.

Exercice 3. Pitot d'un avion ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

À $5000~\mathrm{m}$, où $\rho = 0{,}74~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$, la sonde de Pitot indique $$P_{\text{arrêt}} - P_\infty = 5{,}0~\mathrm{kPa}.$$ Établir et calculer la vitesse, discuter les hypothèses.

Exercice 2. Débitmètre de Venturi ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Conduite horizontale d'eau de $20~\mathrm{cm^2}$, col de $5{,}0~\mathrm{cm^2}$, dénivellation de $15~\mathrm{cm}$ entre les tubes verticaux.

Établir le débit, le calculer, discuter le modèle.

Exercice 4. Temps de vidange d'une cuve ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Cuve cylindrique de section $S = 0{,}50~\mathrm{m^2}$, remplie d'eau sur $h_0 = 1{,}0~\mathrm{m}$, orifice de section $s = 1{,}0~\mathrm{cm^2}$ au fond.

Calculer la durée de vidange.

Exercice 5. Couette plan et viscosimètre ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit Agro-Véto

Une plaque de surface $S = 0{,}10~\mathrm{m^2}$ est tirée à $V = 0{,}20~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ au-dessus d'un plan fixe, sur une huile d'épaisseur $e = 0{,}50~\mathrm{mm}$ et de masse volumique $900~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$.

Il faut une force de $2{,}0~\mathrm{N}$.

Établir le profil, en déduire $\eta$, discuter le régime ($\mathrm{Re}$ critique $\approx 1500$), calculer la puissance dissipée.

Exercice 7. Sténose ★

Application du cours · 15 min · Écrit Agro-Véto

Une artère de longueur $L$ et de rayon $R$ a une résistance $R_0$, la différence de pression est fixée.

Une plaque réduit le rayon de moitié sur un dixième de la longueur.

Trouver le facteur de réduction du débit, puis la dilatation du reste de l'artère qui rétablirait le débit initial.

Exercice 6. Poiseuille et perfusion ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit Agro-Véto

Poche de soluté aqueux ($\eta = 10^{-3}~\mathrm{Pa\cdot s}$) suspendue $1{,}0~\mathrm{m}$ au-dessus du bras, surpression veineuse $1{,}3~\mathrm{kPa}$.

On néglige la résistance de la tubulure devant celle de l'aiguille, de rayon intérieur $0{,}25~\mathrm{mm}$ et de longueur $3{,}0~\mathrm{cm}$.

Établir la loi de Poiseuille, calculer le débit et $\mathrm{Re}$.

Exercice 8. Porosité et perméabilité d'un sable ★★★

Approfondissement · 40 min · Écrit G2E

Cylindre de sable de section $20~\mathrm{cm^2}$ et de longueur $10~\mathrm{cm}$.

La masse saturée dépasse la masse sèche de $70~\mathrm{g}$.

Dans un perméamètre à charge constante, les surfaces libres amont et aval diffèrent de $30~\mathrm{cm}$, on recueille $100~\mathrm{mL}$ en $125~\mathrm{s}$.

Calculer $\varphi$, $k$, la taille des pores dans le modèle capillaire et $\mathrm{Re}$ dans les pores.

Exercice 9. Chute d'une bille : quel modèle ? ★★★

Approfondissement · 45 min · Écrit, plus exigeant

Bille de verre de rayon $1{,}0~\mathrm{mm}$ et de masse volumique $2500~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$, dans la glycérine ($\rho = 1260~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$, $\eta = 1{,}4~\mathrm{Pa\cdot s}$), puis dans l'eau.

On fournit $C_x = \frac{24}{\mathrm{Re}}$ aux faibles $\mathrm{Re}$ et $C_x \approx 0{,}45$ aux grands $\mathrm{Re}$, avec $$\mathrm{Re} = \frac{\rho\, v\,(2R)}{\eta}.$$ Estimer la vitesse limite dans chaque cas.

Exercice HP. Décomposition du gradient pour $\vec v=(ky,\ \ell x,\ 0)$ ★★★

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en BCPST2

On considère l’écoulement plan stationnaire $\vec v=k\,y\,\vec e_x+\ell\,x\,\vec e_y$ sur $\R^2$, avec $k$ et $\ell$ des constantes réelles (en s$^{-1}$).

1. Écrire la matrice $G$ de coefficients $G_{ij}=\partial_jv_i$, puis ses parties symétrique $S$ et antisymétrique $A$.
2. Calculer $\vec\omega=\mathrm{rot}\,\vec v$ et $\vec\Omega=\vec\omega/2$. Vérifier que $A\vec h=\vec\Omega\wedge\vec h$ pour $\vec h=(h_x,h_y,0)$.
3. Déterminer les taux de rotation des segments matériels portés par $\vec e_x$ et $\vec e_y$ et vérifier que leur moyenne vaut $\Omega_z$.
4. Étudier les cas $\ell=0$ (Couette), $\ell=k$ et $\ell=-k$ : écoulement rotationnel ou non ? Interpréter.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.