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BCPST2 · Physique-chimie · semaine 27

Filtrage linéaire d'un signal

Spectre d'un signal périodique et décomposition en somme de fonctions sinusoïdales. Filtre passif du premier ordre étudié en notation complexe à partir de son équation différentielle, sans recours à l'impédance complexe. Fonction de transfert harmonique, courbes de réponse en gain et en phase, fréquence de coupure et bande passante.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Un signal périodique est une somme de sinusoïdes de fréquences multiples de sa fréquence, plus une valeur moyenne. Son spectre en est la représentation en raies.
  2. Un filtre linéaire traite chaque composante indépendamment. Il suffit donc de connaître sa réponse en fonction de la fréquence.
  3. Pour un filtre du premier ordre, on part de l'équation différentielle, on passe en notation complexe et on obtient H(iω)H(\ii\omega), sans impédance complexe.
  4. Le gain est le module de HH, le déphasage son argument. La fréquence de coupure est celle où le gain vaut le maximum divisé par 2\sqrt{2}, et la bande passante l'ensemble des fréquences où il reste au-dessus.
  5. Un passe-bas laisse la valeur moyenne, lisse les fronts et se comporte en intégrateur à haute fréquence. Un passe-haut supprime la valeur moyenne et se comporte en dérivateur à basse fréquence.
Pourquoi ce chapitre

Un signal réel n'est jamais une sinusoïde pure. C'est un mélange de composantes de fréquences différentes, dont certaines portent l'information et d'autres le bruit. Filtrer, c'est choisir ce qu'on laisse passer.

PropriétéLinéarité

Tout système linéaire répond à chaque composante sinusoïdale indépendamment des autres. Il suffit donc de connaître sa réponse à une sinusoïde de fréquence quelconque pour prévoir sa réponse à n'importe quel signal périodique.

ExempleApplications

On retrouve ce raisonnement :

  • dans un électrocardiogramme dont on retire la ligne de base et le bruit du secteur ;
  • dans une chaîne d'acquisition avant numérisation ;
  • dans l'oreille qui décompose un son.

RemarqueCadre de l'étude

Le programme se limite à l'ordre un pour la théorie, et exploite des courbes fournies pour les ordres supérieurs.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Filtres RC du premier ordre 3

Exercice 1. Passe-bas RC de bout en bout ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Un filtre passe-bas RC comporte R=10 kΩ,C=47 nF.R = 10~\mathrm{k\Omega}, \qquad C = 47~\mathrm{nF}. Sa sortie est ouverte.

Établir l'équation différentielle et la fonction de transfert, puis calculer fcf_c.

On envoie une sinusoïde d'amplitude 2,0 V2{,}0~\mathrm{V} à 1,0 kHz1{,}0~\mathrm{kHz} : donner l'amplitude et la phase de la sortie.

Voir l'indice

Technique équation différentielle, puis notation complexe, puis forme canonique.

Voir le corrigé offert
  1. La loi des mailles donne RC·ds/dt + s = e. En complexes, (1 + jRCω)·S = E, d'où H = 1/(1 + jω/ωc) avec ωc = 1/(RC).
  2. RC = 4,7·10⁻⁴ s, donc fc = 1/(2π × 4,7·10⁻⁴) ≈ 339 Hz.
  3. À 1,0 kHz, x = 2,95 et 1 + x² = 9,7, donc G = 0,32. L'amplitude de sortie vaut 0,64 V.
  4. φ = −arctan(2,95) ≈ −71°, soit −1,24 rad. La sortie est en retard sur l'entrée.

piège : L'erreur est de calculer xx avec f/ωcf/\omega_c. Le rapport doit comparer deux fréquences ou deux pulsations, jamais une fréquence et une pulsation.

Exercice 2. Passe-haut RC et tracé des courbes ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Pour un passe-haut RC, établir HH, calculer GG et φ\varphi en x=0,1x = 0{,}1, x=1x = 1 et x=10x = 10, puis décrire les courbes de réponse.

Justifier le caractère dérivateur.

Voir le début du corrigé
  1. On a RC·ds/dt + s = RC·de/dt, donc (1 + jx)·S = jx·E et H = jx/(1 + jx).

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Exercice 6. Filtre chargé ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Plus exigeant, type oral

La sortie du passe-bas RC alimente une résistance RuR_u.

Établir la nouvelle équation, le gain maximal et la nouvelle pulsation de coupure.

Application : R=Ru=1 kΩR = R_u = 1~\mathrm{k\Omega}.

Conclure sur le rôle de l'entrée d'un oscilloscope.

Voir le début du corrigé
  1. Le courant dans R se partage : i = C·ds/dt + s/Ru. …

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Filtrage d'un signal périodique 4

Exercice 3. Extraire une valeur moyenne ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

On dispose du signal s(t)=2+3cos⁡(2π⋅50⋅t)+cos⁡(2π⋅150⋅t+π3),\begin{aligned} s(t) &= 2 + 3\cos(2\pi \cdot 50 \cdot t) \\ &\quad + \cos\left(2\pi \cdot 150 \cdot t + \frac{\pi}{3}\right), \end{aligned} en volts.

Analyser son spectre.

On le filtre par un passe-bas de fréquence de coupure 5 Hz5~\mathrm{Hz}.

Décrire la sortie.

Quelle fréquence de coupure faudrait-il pour que l'ondulation ne dépasse pas 1 %1~\% de la moyenne ?

Voir le début du corrigé
  1. La valeur moyenne vaut 2 V. Le fondamental est à 50 Hz, avec une amplitude de 3 V. …

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Exercice 4. Créneau dans trois passe-bas ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · D'après un écrit Agro-Véto

Un créneau symétrique d'amplitude 1 V1~\mathrm{V} et de fréquence 1 kHz1~\mathrm{kHz} a des harmoniques impaires d'amplitude 4nπ\frac{4}{n\pi}.

On l'envoie dans un passe-bas avec fc=10 kHzf_c = 10~\mathrm{kHz}, puis 1 kHz1~\mathrm{kHz}, puis 50 Hz50~\mathrm{Hz}.

Décrire la sortie dans chaque cas.

Voir le début du corrigé
  1. Pour fc = 10 kHz, on a G = 0,995, 0,96 et 0,89 pour les rangs 1, 3 et 5. …

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Exercice 8. Passe-bande tripleur de fréquence ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · D'après un écrit Agro-Véto

Un créneau symétrique de 1 V1~\mathrm{V} et de fréquence 10003 Hz\frac{1000}{3}~\mathrm{Hz} entre dans un filtre d'ordre supérieur.

Sa courbe fournie indique un gain de 11 à 1,0 kHz1{,}0~\mathrm{kHz}, de 0,030{,}03 à 333 Hz333~\mathrm{Hz} et de 0,050{,}05 à 1,67 kHz1{,}67~\mathrm{kHz}.

Il est négligeable au-delà.

Décrire la sortie.

Voir le début du corrigé
  1. Les raies d'entrée sont à 333 Hz, 1,0 kHz et 1,67 kHz, avec des amplitudes de 1,27, 0,42 et 0,25 V.

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Exercice 9. Créneau dans un passe-haut ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Un créneau oscille entre 00 et 2 V2~\mathrm{V} à 20 Hz20~\mathrm{Hz}.

On l'envoie dans un passe-haut de constante τ=1,0 ms\tau = 1{,}0~\mathrm{ms}.

Donner fcf_c, décrire la sortie par une analyse spectrale, puis par une analyse temporelle.

Que se passe-t-il pour un créneau à 10 kHz10~\mathrm{kHz} ?

Voir le début du corrigé
  1. fc = 1/(2πτ) = 159 Hz. La valeur moyenne de 1 V est supprimée. …

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Identification d'un filtre 2

Exercice 5. Identifier un filtre à l'oscilloscope ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Un passe-bas du premier ordre reçoit à 1,0 kHz1{,}0~\mathrm{kHz} une entrée d'amplitude 5,0 V5{,}0~\mathrm{V}.

La sortie a une amplitude de 3,0 V3{,}0~\mathrm{V} et passe par zéro 0,15 ms0{,}15~\mathrm{ms} après l'entrée, dans le même sens.

Déterminer GG, φ\varphi et fcf_c.

Vérifier la cohérence des mesures, puis calculer CC si R=1,0 kΩR = 1{,}0~\mathrm{k\Omega}.

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  1. G = 0,60, donc 1 + x² = 2,78, x = 1,33 et fc = 750 Hz.

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Exercice 7. Choisir la nature d'un filtre ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit G2E

Trois situations sont à traiter.

A : un capteur de température donne un signal utile en dessous de 1 Hz1~\mathrm{Hz}, bruité à 50 Hz50~\mathrm{Hz}.

B : un signal audio utile entre 300 Hz300~\mathrm{Hz} et 3 kHz3~\mathrm{kHz} est perturbé par un ronflement à 50 Hz50~\mathrm{Hz}.

C : on veut isoler une raie à 1 kHz1~\mathrm{kHz} entre deux raies à 500 Hz500~\mathrm{Hz} et 2 kHz2~\mathrm{kHz}.

Proposer la nature du filtre, et évaluer un premier ordre pour A et B.

Voir le début du corrigé
  1. A : passe-bas avec fc = 5 Hz. G(1 Hz) = 0,98 et G(50 Hz) = 0,10. …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST deuxième année (2021), thème S « ondes et signaux », paragraphe S.4. Elle couvre le spectre d'un signal périodique, l'étude d'un filtre passif du premier ordre à partir de son équation différentielle en notation complexe, la fonction de transfert harmonique, les courbes de réponse en gain et en phase, la fréquence de coupure et la bande passante.