Description et paramétrage du mouvement d'un point

Exercice 1. Mouvement elliptique ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Un point se déplace dans le plan $xOy$ selon $$x = A\cos(\omega t), \qquad y = B\sin(\omega t),$$ avec $A > B > 0$ et $\omega > 0$.

Trouver la trajectoire, la vitesse, l'accélération, et les points de vitesse maximale.

Exercice 2. Rattrapage ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Au feu vert, une voiture démarre avec une accélération constante de $2{,}0~\mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

À cet instant, un camion roulant à $20~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ constants la dépasse.

Quand et où la voiture le rattrape-t-elle, et à quelle vitesse ?

Exercice 3. Lancer vertical ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Une balle est lancée verticalement vers le haut depuis le sol à $12~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$, sans frottement, avec $$a = -g\,\vec{e}_z$$ et $g = 9{,}81~\mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

Trouver la hauteur maximale, la durée du vol, et la vitesse à $5{,}0~\mathrm{m}$ du sol.

Exercice 4. Trajet de métro par phases ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Deux stations sont distantes de $1\,000~\mathrm{m}$.

Une rame accélère à $1{,}0~\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ jusqu'à $20~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$, roule à vitesse constante, puis freine à $1{,}25~\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ jusqu'à l'arrêt.

Trouver la durée du trajet et la vitesse moyenne.

Exercice 5. Balle lâchée dans un train ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Un train roule en ligne droite à $u = 20~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ constants par rapport au sol.

Un passager lâche une balle, sans vitesse par rapport au train, à $h = 1{,}2~\mathrm{m}$ du plancher.

On admet que $a = -g\,\vec{e}_y$ dans le référentiel du sol.

Décrire le mouvement dans les deux référentiels.

Exercice 6. Profondeur d'un puits ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit Agro-Véto

On lâche une pierre sans vitesse initiale dans un puits et on entend le choc au fond $T = 2{,}0~\mathrm{s}$ plus tard.

On donne $c = 340~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ pour le son et $g = 9{,}81~\mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

Trouver la profondeur $h$, puis l'erreur commise en négligeant la durée de propagation du son.

Exercice 7. Dispersion balistique d'une graine ★

Application du cours · 15 min · Type écrit Agro-Véto

Certaines plantes projettent leurs graines en faisant éclater leur fruit.

Une graine part à $h = 0{,}50~\mathrm{m}$ du sol avec une vitesse horizontale $v_0 = 3{,}0~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

On néglige l'air et on admet $a = -g\,\vec{e}_y$.

Trouver la distance au pied de la plante, puis la vitesse et l'angle à l'impact.

Exercice 8. Portée et flèche d'un tir sur sol horizontal ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit G2E

Un projectile part de $O$, au niveau du sol, avec une vitesse $v_0$ faisant un angle $\alpha \in ]0, 90^\circ[$ avec l'horizontale, et $a = -g\,\vec{e}_y$.

Établir la durée du vol, la portée $D$ et la flèche $H$, puis l'angle de portée maximale.

Application : $v_0 = 20~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

Exercice 9. Exploitation d'un pointage vidéo ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit Agro-Véto, partie expérimentale

On filme la chute d'une bille à 25 images par seconde, avec $Oy$ vertical descendant.

Estimer la vitesse aux trois instants intérieurs, l'accélération à $t = 0{,}080~\mathrm{s}$, et discuter la précision pour un pointage fiable au millimètre.

Exercice 10. Parabole de sûreté ★★★

Approfondissement · 40 min · Plus exigeant, type écrit ENS

Un canon placé en $O$ tire avec une vitesse de norme $v_0$ fixée et d'angle $\alpha$ réglable.

Quels points $(x, y)$ du plan vertical, avec $x > 0$, peut-on atteindre ?