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BCPST2 · Maths · semaine 24

Variables aléatoires réelles discrètes

Variables aléatoires discrètes, loi de probabilité et fonction de répartition. Espérance et variance définies à l'aide de séries, théorème de transfert, inégalité de Markov et inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Lois usuelles discrètes infinies avec la loi géométrique et la loi de Poisson.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. La loi d'une variable discrète est la famille des P(X=x)\P(X=x), de somme 11. Les événements (X=x)(X=x) forment un système complet.
  2. L'espérance existe sous condition de convergence absolue. Elle est linéaire sans hypothèse d'indépendance, et le théorème de transfert donne E(u(X))\E(u(X)) sans connaître la loi de u(X)u(X).
  3. La variance se calcule par König-Huygens, vérifie V(aX+b)=a2V(X)\V(aX+b)=a^2\V(X), et s'additionne pour des variables indépendantes.
  4. Markov et Bienaymé-Tchebychev majorent des probabilités d'écart pour n'importe quelle loi vérifiant leurs hypothèses. La seconde se déduit de la première.
  5. Les deux lois nouvelles sont :
    • la géométrique, de paramètre pp, d'espérance 1/p1/p et sans mémoire ;
    • la loi de Poisson, de paramètre λ\lambda, dont l'espérance et la variance valent toutes deux λ\lambda.
Pourquoi ce chapitre

Une variable aléatoire discrète peut prendre une infinité de valeurs, donc sa loi est une famille infinie de probabilités, et son espérance est la somme d'une série.

ExempleModèles de comptage

  • La loi géométrique compte le nombre d'essais nécessaires pour obtenir un premier succès, par exemple le nombre de sites visités avant qu'un insecte trouve une plante hôte.
  • La loi de Poisson compte le nombre d'occurrences d'un événement rare dans un intervalle fixé, par exemple :
    • le nombre de mutations sur un fragment d'ADN ;
    • le nombre de colonies sur une boîte de culture ;
    • le nombre de désintégrations par seconde.

Le chapitre est aussi l'occasion de revoir les lois finies de première année : uniforme, de Bernoulli et binomiale.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour BCPST2.

Classiques et HP réservés

Prolongements et démonstrations de Maths.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Identification de loi 4

Exercice 1 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Soit λ>0\lambda > 0. Déterminer aa pour que P(X=k)=akλkk!P(X = k) = a k \dfrac{\lambda^k}{k!}, pour k≥1k \geq 1, définisse une loi. Calculer E(X)E(X) et V(X)V(X).

Voir l'indice

Technique reconnaître une loi usuelle décalée.

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Résultat

a=e−λλa = \frac{\e^{-\lambda}}{\lambda}, X−1X - 1 suit la loi de Poisson de paramètre λ\lambda, E(X)=λ+1E(X) = \lambda + 1 et V(X)=λV(X) = \lambda.

  1. Les termes sont positifs si a⩾0a \geqslant 0, et ∑k⩾1kλkk!=λ∑k⩾1λk−1(k−1)!=λeλ\sum_{k \geqslant 1} k \frac{\lambda^k}{k!} = \lambda \sum_{k \geqslant 1} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda \e^{\lambda} (série exponentielle), donc a=e−λλ‾\underline{a = \frac{\e^{-\lambda}}{\lambda}}.
  2. Donc P(X=k)=e−λλk−1(k−1)!P(X = k) = \e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}, et Y=X−1‾\underline{Y = X - 1} suit la loi de Poisson de paramètre λ\lambda (définition 5.12, loi de Poisson).
  3. X=Y+1X = Y + 1, donc E(X)=λ+1E(X) = \lambda + 1 et V(X)=V(Y)=λV(X) = V(Y) = \lambda (propriété 5.13, moments de la loi de Poisson) (propriété 4.4, transformation affine).

piège : Se lancer dans le calcul de ∑k2λkk!\sum k^2 \frac{\lambda^k}{k!} au lieu de reconnaître la loi, ou oublier que kk démarre à 11.

Exercice 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

XX est à valeurs dans N∗\mathbb{N}^*, avec P(X>n)>0P(X > n) > 0 pour tout nn et P(X>n)(X>n+1)=P(X>1)P_{(X > n)}(X > n + 1) = P(X > 1) pour tout n≥0n \geq 0. Montrer que XX suit une loi géométrique.

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  1. Soit un=P(X>n)u_n = P(X > n) et q=u1q = u_1. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Agro-Véto

Une femelle pond NN œufs, NN de loi de Poisson de paramètre λ\lambda. Chaque œuf éclot avec probabilité p∈]0,1[p \in ]0, 1[, indépendamment des autres. Sachant (N=n)(N = n), le nombre XX d'éclosions suit la loi binomiale de paramètres nn et pp. Déterminer la loi de XX.

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  1. Pour k⩾0k \geqslant 0, P(X=k)=∑n⩾kP(N=n)P(N=n)(X=k)P(X = k) = \sum_{n \geqslant k} P(N = n) P_{(N = n)}(X = k) (probabilités totales, termes n<kn < k nuls) (propriété 1.2, système complet d'événements).

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Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Type écrit Agro-Véto

On répète des épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p∈]0,1[p \in ]0, 1[. TT est le rang du deuxième succès. Déterminer la loi de TT, son espérance et sa variance.

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  1. Pour k⩾2k \geqslant 2, (T=k)(T = k) : un seul succès parmi les k−1k - 1 premières épreuves et un succès à la kk-ième, donc P(T=k)=(k−1)p2qk−2‾\underline{P(T = k) = (k - 1)p^2 q^{k-2}}.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Couples de variables indépendantes 3

Exercice 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

XX et YY sont indépendantes, de lois géométriques de paramètres p1p_1 et p2p_2, avec qi=1−piq_i = 1 - p_i. Déterminer la loi de M=min⁡(X,Y)M = \min(X, Y).

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  1. (M > n) est l'intersection de (X > n) et (Y > n), avec n entier naturel.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

XX et YY sont indépendantes, de lois de Poisson de paramètres λ\lambda et μ\mu. Déterminer la loi de X+YX + Y.

Voir le début du corrigé
  1. X+YX + Y est à valeurs dans N\N et, pour n⩾0n \geqslant 0, (X+Y=n)=⋃k=0n(X=k,Y=n−k)(X + Y = n) = \bigcup_{k=0}^{n} (X = k, Y = n - k) (réunion disjointe).

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 10 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

XX et YY sont indépendantes, de même loi géométrique de paramètre pp. Calculer P(X=Y)P(X = Y) puis P(X<Y)P(X < Y).

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Espérance par sommation 1

Exercice 6 ★★★

Approfondissement · 40 min · Écrit, plus délicat

XX est à valeurs dans N\mathbb{N} et admet une espérance. Montrer que E(X)=∑n≥0P(X>n)E(X) = \displaystyle\sum_{n \geq 0} P(X > n). Retrouver E(X)E(X) pour la loi géométrique.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Inégalités de concentration 1

Exercice 7 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Le nombre XX de mutations sur un fragment d'ADN suit la loi de Poisson de paramètre 44. Majorer P(X≥10)P(X \geq 10) par Markov puis par Bienaymé-Tchebychev, et commenter.

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  1. X⩾0X \geqslant 0 et E(X)=4E(X) = 4, donc P(X⩾10)⩽410=0,4‾\underline{P(X \geqslant 10) \leqslant \frac{4}{10} = 0{,}4} (théorème 4.9, inégalité de Markov).

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Calcul de probabilité par série 1

Exercice 9. Probabilité qu'une loi de Poisson soit paire ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, plus délicat

XX suit la loi de Poisson de paramètre λ\lambda.

Calculer la probabilité que XX soit pair.

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  1. ∑n⩾0(1+(−1)n)λnn!\sum_{n \geqslant 0} (1 + (-1)^n) \frac{\lambda^n}{n!} converge vers eλ+e−λ\e^{\lambda} + \e^{-\lambda} (somme de deux séries convergentes) (propriété 1.5, combinaison linéaire) (propriété 3.5, série exponentielle).

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST deuxième année (2021), partie « Probabilités 2 : Variables aléatoires réelles discrètes ». Elle couvre :

  • la loi et la fonction de répartition ;
  • l'indépendance ;
  • l'espérance et la variance définies par des séries ;
  • le théorème de transfert ;
  • les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev ;
  • les lois géométrique et de Poisson.