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BCPST2 · Maths · semaine 27

Couples de variables aléatoires discrètes

Loi conjointe, lois marginales et lois conditionnelles d'un couple de variables aléatoires discrètes. Loi d'une variable de la forme u(X, Y) avec les cas du maximum, du minimum et de la somme, somme de deux lois de Poisson indépendantes. Covariance, formule de Koenig-Huygens et variance d'une somme.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. La loi conjointe donne les lois marginales par sommation, mais l'inverse est faux. Les lois conditionnelles s'obtiennent en divisant par la marge.
  2. L'indépendance équivaut à la factorisation de la loi conjointe en produit des marges.
  3. Pour un maximum on utilise (max⁡⩽k)(\max\leqslant k), pour un minimum on utilise (min⁡>k)(\min>k), pour une somme on découpe sur une des deux variables.
  4. La somme de deux variables de Poisson indépendantes est une variable de Poisson dont le paramètre est la somme des paramètres.
  5. La covariance vaut E(XY)−E(X)E(Y)\E(XY)-\E(X)\E(Y). Elle est nulle si les variables sont indépendantes, mais une covariance nulle n'entraîne pas l'indépendance. La variance d'une somme vaut la somme des variances plus deux fois la covariance.
Pourquoi ce chapitre

Deux grandeurs mesurées sur le même individu sont rarement indépendantes :

  • la taille et la masse ;
  • le nombre de graines et le taux de germination ;
  • deux marqueurs génétiques voisins.

Tout cela demande de décrire conjointement deux variables aléatoires. Ce chapitre donne le vocabulaire correspondant :

  • loi conjointe ;
  • lois marginales ;
  • lois conditionnelles.

Il donne aussi la quantité qui mesure le lien linéaire entre deux variables, la covariance, et la formule de la variance d'une somme, qui sera reprise telle quelle dans les théorèmes limites.

AttentionLimites du programme

Les séries doubles ne sont pas au programme, et le théorème de transfert n'est énoncé que pour des couples de variables discrètes finies.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Les exercices se suivent : garde leur ordre. Difficulté et durée indicatives.

Exercice 1 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle · Covariance et variance

Une urne contient trois boules numérotées 1, 2, 3. On en tire deux successivement sans remise. X est le premier numéro, Y le second. Donner la loi conjointe, les marges, et étudier l'indépendance. Calculer Cov(X, Y) et V(X + Y).

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Technique probabilités composées, puis König-Huygens.

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Résultat

P(X=i,Y=j)=16\P(X=i,Y=j) = \frac16 pour i≠ji \neq j et P(X=i,Y=i)=0\P(X=i,Y=i) = 0, marges uniformes sur {1,2,3}\{1,2,3\}, XX et YY non indépendantes, Cov⁡(X,Y)=−13\operatorname{Cov}(X,Y) = -\frac13 et V(X+Y)=23\V(X+Y) = \frac23.

  1. Pour i≠ji \neq j, P(X=i,Y=j)=13⋅12=16‾\underline{\P(X=i,Y=j) = \frac13 \cdot \frac12 = \frac16}, et P(X=i,Y=i)=0\P(X=i,Y=i) = 0 (probabilités composées, propriété 1.8).
Arbre des deux tirages sans remise : chaque premier numéro laisse deux possibilités, et chaque chemin a la probabilité un sixième.
Arbre des deux tirages sans remise : chaque premier numéro laisse deux possibilités, et chaque chemin a la probabilité un sixième.
  1. P(X=i)=2×16=13\P(X=i) = 2 \times \frac16 = \frac13, de même pour YY, donc les marges sont uniformes (propriété 1.4, calcul des lois marginales).
  2. P(X=1,Y=1)=0≠19=P(X=1)P(Y=1)\P(X=1,Y=1) = 0 \neq \frac19 = \P(X=1)\P(Y=1), donc pas d'indépendance (définition 1.10).
  3. E(XY)=16[(1+2+3)2−(1+4+9)]=226=113\E(XY) = \frac16\big[(1+2+3)^2 - (1+4+9)\big] = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} (transfert, théorème 2.10, transfert pour un couple fini) et E(X)=E(Y)=2\E(X) = \E(Y) = 2, donc Cov⁡(X,Y)=113−4=−13‾\underline{\operatorname{Cov}(X,Y) = \frac{11}{3} - 4 = -\frac13} (propriété 3.2, formule de König-Huygens).
  4. V(X)=V(Y)=143−4=23\V(X) = \V(Y) = \frac{14}{3} - 4 = \frac23, donc V(X+Y)=23+23−23=23\V(X+Y) = \frac23 + \frac23 - \frac23 = \frac23 (théorème 3.7, variance d'une somme).
  5. Vérification : X+Y∈{3,4,5}X+Y \in \{3,4,5\}, chaque valeur de probabilité 13\frac13, de variance 23\frac23.

piège : Mettre 19\frac19 dans toutes les cases, comme avec remise.

Exercice 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle · Minimum et maximum

XX et YY sont indépendantes, uniformes sur {1,…,n}\{1, \dots, n\}. On pose M=max⁡(X,Y)M = \max(X, Y) et m=min⁡(X,Y)m = \min(X, Y). Donner leurs lois, puis E(M)E(M) et E(m)E(m).

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  1. P(M⩽k)=k2n2\P(M \leqslant k) = \frac{k^2}{n^2} (propriété 2.1, maximum de deux variables indépendantes), donc P(M=k)=k2−(k−1)2n2=2k−1n2‾\underline{\P(M=k) = \frac{k^2-(k-1)^2}{n^2} = \frac{2k-1}{n^2}} (propriété 2.2, retrouver la loi par différence).

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Exercice 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle · Loi conditionnelle

XX et YY sont indépendantes, de Poisson de paramètres λ\lambda et μ\mu. Pour n∈Nn \in \mathbb{N}, déterminer la loi de XX sachant (X+Y=n)(X + Y = n).

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  1. P(X+Y=n)=e−(λ+μ)(λ+μ)nn!>0\P(X+Y=n) = \e^{-(\lambda+\mu)}\frac{(\lambda+\mu)^n}{n!} > 0 (théorème 2.7, somme de lois de Poisson), donc la conditionnelle est définie.

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Exercice 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle · Indépendance de deux variables

X et Y suivent des lois de Bernoulli de paramètres p et r. Montrer que X et Y sont indépendantes si et seulement si Cov(X, Y) = 0.

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  1. Sens direct : cours (propriété 3.4, indépendance et covariance nulle).

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Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, type Agro-Véto · Probabilité d'événements joints

XX et YY sont indépendantes, de loi géométrique de paramètre p∈]0,1[p \in ]0, 1[, et q=1−pq = 1 - p. Calculer P(X=Y)P(X = Y) et P(X<Y)P(X < Y).

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  1. P(X=Y)=∑k⩾1P(X=k)P(Y=k)=p2∑k⩾1q2(k−1)=p21−q2\P(X=Y) = \sum_{k\geqslant1}\P(X=k)\P(Y=k) = p^2\sum_{k\geqslant1}q^{2(k-1)} = \frac{p^2}{1-q^2} (indépendance, série géométrique convergente car q2<1q^2 < 1, théorème 3.1, série géométrique).

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Exercice 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit, type G2E · Loi conditionnelle

Avec les mêmes XX et YY, on pose S=X+YS = X + Y. Déterminer la loi de SS, vérifier que c'est une loi de probabilité, puis la loi de XX sachant (S=n)(S = n). Donner E(S)E(S) et V(S)V(S).

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  1. Pour n⩾2n \geqslant 2, il faut k⩾1k \geqslant 1 et n−k⩾1n-k \geqslant 1, donc P(S=n)=∑k=1n−1pqk−1pqn−k−1=(n−1)p2qn−2‾\underline{\P(S=n) = \sum_{k=1}^{n-1}pq^{k-1}pq^{n-k-1} = (n-1)p^2q^{n-2}} (propriété 2.6, convolution).

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Exercice 7 ★★★

Approfondissement · 40 min · Écrit, type Agro-Véto · Indépendance de deux variables

Le nombre NN d'oeufs pondus suit une loi de Poisson de paramètre λ\lambda. Chaque oeuf éclot avec probabilité pp, indépendamment des autres. Sachant N=nN = n, le nombre KK d'éclosions suit donc la loi binomiale de paramètres nn et pp. On note q=1−pq = 1 - p. Déterminer la loi de KK, puis montrer que KK et N−KN - K sont indépendantes.

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  1. Pour n⩾kn \geqslant k, P(N=n,K=k)=e−λλnn!(nk)pkqn−k\P(N=n,K=k) = \e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}\binom{n}{k}p^kq^{n-k} (propriété 1.8, probabilités composées), nulle pour n<kn < k.

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Exercice 8 ★★★

Approfondissement · 40 min · Écrit, plus délicat, type oral · Covariance et variance

Soit n≥2n \geq 2. On choisit une permutation σ\sigma de {1,…,n}\{1, \dots, n\} uniformément, et XX est le nombre de points fixes. Calculer E(X)E(X) et V(X)V(X).

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  1. Soit Xi=1X_i = 1 si σ(i)=i\sigma(i) = i, et 00 sinon. …

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Exercice 9. Covariance du minimum et du maximum ★★★

Approfondissement · 35 min · Écrit, plus délicat · Minimum et maximum

On reprend l'exercice 2. Calculer Cov⁡(m,M)\operatorname{Cov}(m, M).

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  1. {m,M}={X,Y}\{m,M\} = \{X,Y\}, donc mM=XYmM = XY et E(mM)=E(X)E(Y)=(n+12)2‾\underline{\E(mM) = \E(X)\E(Y) = \left(\frac{n+1}{2}\right)^2} (indépendance, propriété 3.4, indépendance et covariance nulle).

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST deuxième année (2021), partie « Probabilités 3 – Couples de variables aléatoires discrètes ». Elle couvre :

  • la loi conjointe ;
  • les lois marginales et conditionnelles ;
  • la loi d'une fonction de deux variables ;
  • la somme de deux lois de Poisson ;
  • la covariance ;
  • la variance d'une somme.