Concepts de base des probabilités et des variables aléatoires

Exercice 1 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

On lance indéfiniment une pièce donnant pile avec probabilité $p \in ]0, 1[$, les lancers étant indépendants. Montrer que « on n'obtient jamais pile » est négligeable. Calculer la probabilité que le premier pile arrive à un rang pair.

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Technique majoration par une intersection finie, puis sommation sur le premier succès.

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Résultat

$P(J) = 0$ avec $J \neq \varnothing$ (négligeable, non impossible). La probabilité que le premier pile arrive à un rang pair vaut $\frac{q}{1+q}$ (avec $q = 1 - p$), soit $\frac13$ pour $p = \frac12$.

1. Soit $F_k$ l'événement « face au lancer $k$ » et $J = \bigcap_{k\geqslant 1} F_k$. Donc $J \subset F_1 \cap \dots \cap F_n$ pour tout $n$.
2. Donc $\underline{P(J) \leqslant q^n}$ pour tout $n$ (indépendance, propriété 2.6, inclusion), et $q^n \to 0$ car $0 < q < 1$. Donc $P(J) = 0$ alors que $J \neq \varnothing$ (définition 2.8, événement négligeable, presque sûr).
3. Soit $A_k$ « premier pile au rang $2k$ » ($k \geqslant 1$) : $\underline{P(A_k) = q^{2k-1} p}$ (indépendance), les $A_k$ étant incompatibles.
4. Donc $P\left(\bigcup_{k\geqslant 1} A_k\right) = pq \sum_{k\geqslant 1} q^{2(k-1)} = \frac{pq}{1 - q^2} = \frac{q}{1+q}$ (sigma-additivité, définition 2.3, probabilité, théorème 3.1, série géométrique), soit $\frac13$ pour $p = \frac12$.

piège : Conclure « $P(J) = 0$ donc $J$ est impossible », ou oublier de citer l'indépendance.

Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit Agro-Véto

On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un six ou un nombre impair. Probabilité que le six arrive en premier ? Montrer que le jeu s'arrête presque sûrement.

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1. À chaque lancer : six avec probabilité $\frac16$, impair avec probabilité $\frac12$, deux ou quatre avec probabilité $\frac13$.

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Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type oral, plus délicat

Dans une suite illimitée de lancers indépendants avec $p \in ]0, 1[$, montrer qu'on obtient presque sûrement une infinité de piles.

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1. Soit $F_n$ « face au lancer $n$ », $C_N = \bigcap_{n\geqslant N} F_n$ et $D = \bigcup_{N\geqslant 1} C_N$ (nombre fini de piles, c'est-à-dire que des faces à partir d'un certain rang).

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Exercice 2. Indépendance et réunion ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Soient $A$, $B$, $C$ mutuellement indépendants.

Montrer que $A$ et $B \cup C$ sont indépendants.

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1. Soit $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$, avec $(A \cap B) \cap (A \cap C) = A \cap B \cap C$.

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Exercice 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Montrer qu'un événement $A$ est indépendant de tout événement si et seulement si $P(A) \in \{0, 1\}$.

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1. Si $A$ est indépendant de tout événement, alors $P(A) = P(A \cap A) = P(A)^2$ (avec $B = A$), donc $\underline{P(A) \in \{0, 1\}}$.

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Exercice 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Une boîte contient une pièce équilibrée et une pièce à deux piles. On en choisit une au hasard et on la lance n fois. On obtient n piles. Probabilité d'avoir la pièce truquée ? Probabilité que le lancer suivant donne pile ?

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1. Soit $T$ « pièce truquée » et $\Pi_n$ « les $n$ premiers lancers donnent pile » : $P_T(\Pi_n) = 1$ et $P_{\bar T}(\Pi_n) = 2^{-n}$ (lancers indépendants sachant la pièce).

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Exercice 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Agro-Véto

Un insecte pond $N$ oeufs, avec $P(N = n) = e^{-\lambda} \dfrac{\lambda^n}{n!}$ pour $n \in \mathbb{N}$, où $\lambda > 0$. Sachant $N = n$, chaque oeuf éclot indépendamment avec probabilité $p \in ]0, 1[$. Soit $K$ le nombre d'éclosions. Déterminer la loi de $K$.

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1. Soit le système complet $\left((N = n)\right)_{n \in \N}$, de probabilités non nulles.

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Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit G2E

$X_1, \dots, X_n$ sont mutuellement indépendantes, de loi uniforme sur $\{1, \dots, N\}$. On note $M$ leur maximum. Déterminer la loi de $M$.

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1. Pour $k \in \{0, \dots, N\}$ : $(M \leqslant k) = \bigcap_{i=1}^{n} (X_i \leqslant k)$.

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Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP, adapté au programme BCPST

$X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $P(X = n) = P(Y = n) = p q^{n-1}$ pour $n \geq 1$. Calculer $P(X = Y)$, $P(X < Y)$, puis la loi de $\min(X, Y)$.

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1. $P(X = Y) = \sum_{n\geqslant 1} P(X = n) P(Y = n) = p^2 \sum_{n\geqslant 1} q^{2(n-1)} = \frac{p^2}{1 - q^2} = \frac{p}{1+q}$ (probabilités totales sur $(X = n)$, indépendance, théorème 3.7, probabilités totales).

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