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BCPST2 · Maths · semaine 29

Variables aléatoires à densité

Densité de probabilité, fonction de répartition et caractérisation d'une variable aléatoire à densité. Espérance et variance calculées par intégrales généralisées et théorème de transfert. Lois usuelles à densité uniforme, exponentielle avec sa propriété d'absence de mémoire, et normale.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Une variable à densité a une fonction de répartition continue, égale à l'intégrale de sa densité. La probabilité d'une valeur isolée est nulle.
  2. On détermine une loi en calculant la fonction de répartition puis en la dérivant. C'est aussi la méthode pour u(X)u(X), pour un minimum et pour un maximum.
  3. Espérance et variance se calculent par intégrales généralisées, sous condition de convergence absolue. Le théorème de transfert donne E(u(X))\E(u(X)) sans connaître la loi de u(X)u(X).
  4. La loi uniforme a pour espérance le milieu de l'intervalle. La loi exponentielle de paramètre λ\lambda a pour espérance 1/λ1/\lambda, pour variance 1/λ21/\lambda^2, et elle est sans mémoire.
  5. La loi normale se ramène toujours à la loi centrée réduite par (X−μ)/σ(X-\mu)/\sigma. Une somme de normales indépendantes est normale, avec addition des espérances et des variances.
Pourquoi ce chapitre

Une masse, une concentration, une durée de vie ne prennent pas leurs valeurs dans un ensemble énumérable. Il faut donc un modèle où la variable aléatoire peut prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle. C'est l'objet des variables à densité, où les sommes des chapitres discrets deviennent des intégrales généralisées.

À retenir

La probabilité d'une valeur isolée est nulle, et l'aire sous la courbe de la densité donne la probabilité d'un intervalle.

ExempleApplications

  • La loi exponentielle décrit une durée d'attente sans vieillissement, par exemple un temps de désintégration radioactive.
  • La loi normale décrit les mesures entachées d'un grand nombre de petites erreurs indépendantes. Le chapitre suivant expliquera pourquoi elle apparaît.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour BCPST2.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Densité et moments 2

Exercice 1 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Soit f(x)=ce−∣x∣f(x) = ce^{-|x|} sur R\mathbb{R}. Déterminer cc pour que ff soit une densité. Calculer la fonction de répartition, l'espérance et la variance, puis la loi de ∣X∣|X|.

Voir l'indice

Technique parité, et retour à la loi exponentielle.

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Résultat

c=12c = \frac{1}{2}, F(x)=ex2F(x) = \frac{\e^{x}}{2} pour x<0x < 0 et F(x)=1−e−x2F(x) = 1 - \frac{\e^{-x}}{2} pour x⩾0x \geqslant 0, E(X)=0E(X) = 0, V(X)=2V(X) = 2, et ∣X∣\abs{X} suit la loi exponentielle de paramètre 11.

  1. f⩾0f \geqslant 0 si c⩾0c \geqslant 0, et ff est continue. Par parité, ∫Rf(x) dx=2c∫0+∞e−x dx=2c‾\underline{\int_{\R} f(x)\,\dd x = 2c \int_0^{+\infty} \e^{-x}\,\dd x = 2c}, donc c=12c = \frac{1}{2} (définition 1.1, densité de probabilité).
xf(x)f(x)c
La densité est paire, son pic vaut c en 0, et l'aire sous la courbe vaut deux fois l'aire sur la demi-droite positive.
  1. Pour x<0x < 0, F(x)=∫−∞xet2 dt=ex2F(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{\e^{t}}{2}\,\dd t = \frac{\e^{x}}{2}. Pour x⩾0x \geqslant 0, F(x)=12+1−e−x2=1−e−x2‾\underline{F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1 - \e^{-x}}{2} = 1 - \frac{\e^{-x}}{2}} (relation de Chasles, définition 1.2, variable à densité).
  2. ∣x∣f(x)=∣x∣e−∣x∣2\abs{x} f(x) = \frac{\abs{x}\e^{-\abs{x}}}{2} est intégrable sur R\R (xe−xx\e^{-x} est la densité de l'exponentielle de paramètre 11 multipliée par xx). Donc XX admet une espérance, et E(X)=0E(X) = 0 (imparité, définition 3.1).
  3. E(X2)=2×∫0+∞x2e−x2 dxE(X^2) = 2 \times \int_0^{+\infty} \frac{x^2\e^{-x}}{2}\,\dd x, moment d'ordre 22 de l'exponentielle de paramètre 11 (théorème 3.4, transfert). Donc E(X2)=212=2E(X^2) = \frac{2}{1^2} = 2 et V(X)=2‾\underline{V(X) = 2} (propriété 3.6, König-Huygens).
  4. Pour y⩾0y \geqslant 0, P(∣X∣⩽y)=F(y)−F(−y)=1−e−y‾\underline{P(\abs{X} \leqslant y) = F(y) - F(-y) = 1 - \e^{-y}} (propriété 1.6, probabilité d'un intervalle). Donc ∣X∣\abs{X} suit la loi exponentielle de paramètre 11 (propriété 4.4, fonction de répartition et probabilité de dépassement).

piège : Conclure E(X)=0E(X) = 0 par parité sans avoir vérifié la convergence absolue (voir l'exemple 5 de la section 3).

Exercice 10 ★★★

Approfondissement · 30 min · Écrit, plus délicat, type fin de problème Agro-Véto

Soit XX positive, de densité ff nulle sur ]−∞,0[]-\infty, 0[ et continue sur [0,+∞[[0, +\infty[, admettant une espérance. Montrer que E(X)=∫[0,+∞[P(X>t) dtE(X) = \int_{[0, +\infty[} P(X > t) \, dt.

Voir le début du corrigé
  1. Pour t⩾0t \geqslant 0, P(X>t)=1−F(t)P(X > t) = 1 - F(t), et FF est de classe C1\mathcal C^1 sur [0,+∞[\intfo{0}{+\infty} avec F′=fF' = f (propriété 1.5, dérivée de la fonction de répartition).

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Transformation de variable 3

Exercice 3. Partie entière d'une loi exponentielle ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

XX suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda.

Déterminer la loi de N=⌊X⌋+1N = \lfloor X \rfloor + 1.

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  1. NN prend ses valeurs dans N∗\N^*. Pour n⩾1n \geqslant 1, (N=n)=(n−1⩽X<n)(N = n) = (n - 1 \leqslant X < n) (définition de la partie entière).

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Exercice 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

XX suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda et Y=XY = \sqrt{X}. Déterminer la loi de YY, puis E(Y2)E(Y^2) et E(Y)E(Y).

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Exercice 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Deux composants indépendants ont des durées de vie XX et YY de loi exponentielle de paramètre λ\lambda. Déterminer la loi de la durée de vie d'un montage en série, puis celle d'un montage en parallèle et son espérance.

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  1. Soit T=min⁡(X,Y)T = \min(X, Y) (montage en série). …

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Loi normale 2

Exercice 5 ★

Application du cours · 15 min · Écrit, type Agro-Véto

La masse d'un sachet suit N(500,σ2)\mathcal{N}(500, \sigma^2), en grammes. Déterminer σ\sigma maximal pour que P(X<490)≤0,05P(X < 490) \leq 0{,}05. Avec σ=5\sigma = 5, calculer P(X<490)P(X < 490), puis la probabilité qu'un lot de deux sachets indépendants pèse moins de 990990 g.

Voir le début du corrigé
  1. P(X<490)=Φ(−10σ)=1−Φ(10σ)P(X < 490) = \Phi\bigl(-\frac{10}{\sigma}\bigr) = 1 - \Phi\bigl(\frac{10}{\sigma}\bigr) (propriété 4.16, centrage et réduction, propriété 4.11, symétrie). …

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Exercice 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, type G2E

On répète nn mesures indépendantes X1,…,XnX_1, \dots, X_n de loi N(μ,σ2)\mathcal{N}(\mu, \sigma^2) et on pose X‾=(X1+⋯+Xn)/n\overline{X} = (X_1 + \dots + X_n)/n. Trouver le plus petit nn tel que P(∣X‾−μ∣≤σ/10)≥0,95P(|\overline{X} - \mu| \leq \sigma/10) \geq 0{,}95. Comparer avec Bienaymé-Tchebychev.

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Somme de variables 2

Exercice 7. Somme de deux uniformes ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

XX et YY sont indépendantes de loi uniforme sur [0,1][0, 1]. Déterminer une densité de X+YX + Y.

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  1. Soit ff l'indicatrice de [0,1]\intff{0}{1}. …

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Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

XX et YY sont indépendantes de loi exponentielle de paramètre λ\lambda. Déterminer une densité de X+YX + Y et vérifier son espérance.

Voir le début du corrigé
  1. f(t)f(z−t)≠0f(t)f(z - t) \neq 0 seulement si t⩾0t \geqslant 0 et z−t⩾0z - t \geqslant 0. …

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Simulation 1

Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, d'après les sujets Agro-Véto sur la simulation

Soit X à densité, dont la fonction de répartition F est continue et strictement croissante sur R. Soit U de loi uniforme sur ]0, 1[. Montrer que F(X) suit la loi uniforme sur ]0, 1[ et que F⁻¹(U) a même loi que X. Application à la loi normale.

Voir le début du corrigé
  1. FF est continue, strictement croissante, de limites 00 et 11 (propriété 1.4, fonction de répartition). …

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Classique du chapitre 2

Exercice classique. Ajuster un modèle de tailles à une moyenne et une variance ★★★

Classique du chapitre

On fixe L0=1 cmL_0=1\,\mathrm{cm}. Une taille aléatoire LL est modélisée par L=L0YL=L_0Y, où Y=exp⁡(μ+σZ)Y=\exp(\mu+\sigma Z), ZZ suit la loi normale centrée réduite, μ∈R\mu\in\R et σ>0\sigma>0. On impose E(L)=10 cm\mathbb E(L)=10\,\mathrm{cm} et Var⁡(L)=25 cm2\operatorname{Var}(L)=25\,\mathrm{cm}^2. On note Φ\Phi la fonction de répartition de ZZ.

  1. Par un calcul intégral avec complétion du carré, établir la formule de E(Yr)\mathbb E(Y^r) pour tout r∈Rr\in\R.
  2. Déterminer l’unique couple (μ,σ)(\mu,\sigma) compatible avec les deux contraintes.
  3. Déterminer la médiane de LL et exprimer P(L>20 cm)\mathbb P(L>20\,\mathrm{cm}) en fonction de Φ\Phi.
  4. Calculer E(L0/L)\mathbb E(L_0/L), puis établir que E(exp⁡(L/L0))=+∞\mathbb E(\exp(L/L_0))=+\infty.

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Exercice classique. Carré d’une variable de Cauchy et transformation bornée ★★★

Classique du chapitre

Soit XX une variable aléatoire réelle de densité f(x)=1/[π(1+x2)]f(x)=1/[\pi(1+x^2)] sur R\R. On pose T=X2T=X^2 et V=1/(1+X2)V=1/(1+X^2).

  1. Déterminer la fonction de répartition de TT sur R\R, puis une densité de TT. Justifier qu’il n’y a pas de masse ponctuelle en 00.
  2. Calculer P(T≤1)\mathbb P(T\leq1) et déterminer si TT possède une espérance finie.
  3. Justifier l’existence de E(V)\mathbb E(V), puis la calculer en utilisant le changement de variable x=tan⁡ux=\tan u.
  4. Calculer P(V≥1/2)\mathbb P(V\geq1/2).

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST deuxième année (2021), partie « Probabilités 4 : Variables aléatoires à densité ». Elle couvre :

  • la notion de densité ;
  • la caractérisation par la fonction de répartition ;
  • l'espérance et la variance par intégrales généralisées ;
  • le théorème de transfert ;
  • les lois uniforme, exponentielle et normale.