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BCPST2 · Maths · semaine 32

Théorèmes limites

Moyenne empirique d'un n-uplet de variables aléatoires et loi faible des grands nombres. Convergence en loi et approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson. Théorème central limite admis et approximations qui en découlent.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. La moyenne empirique a pour espérance μ\mu et, sous indépendance, pour variance σ2/n\sigma^2/n. Son écart-type décroît en 1/n1/\sqrt n.
  2. La loi faible des grands nombres se démontre par Bienaymé-Tchebychev. Elle justifie l'estimation d'une espérance par une moyenne observée.
  3. La convergence en loi est une convergence des fonctions de répartition. Pour des variables à valeurs dans N\N, c'est la convergence des P(Xn=k)\P(X_n=k).
  4. Une loi binomiale avec nn grand et pp petit s'approche par une loi de Poisson de paramètre npnp. Avec npnp et n(1−p)n(1-p) assez grands, elle s'approche par une loi normale.
  5. Le théorème central limite, admis, dit que la moyenne empirique centrée réduite tend en loi vers la loi normale centrée réduite, quelle que soit la loi de départ pourvu qu'elle ait une variance non nulle. C'est le fondement du test de conformité à la moyenne.
Pourquoi ce chapitre

C'est le chapitre qui relie les probabilités et les statistiques, donc les mathématiques et l'expérience. Quand on mesure une grandeur sur nn individus et qu'on en fait la moyenne, deux questions se posent :

  • Cette moyenne se rapproche-t-elle de la vraie valeur quand nn augmente ? C'est la loi des grands nombres.
  • À quelle distance de la vraie valeur se trouve-t-elle ? C'est le théorème central limite, qui répond que l'écart est de l'ordre de l'écart-type divisé par n\sqrt n, et qu'il est distribué selon une loi normale.

À retenir

Augmenter la taille de l'échantillon améliore la précision, mais seulement en n\sqrt n.

Quadrupler les effectifs ne divise l'incertitude que par deux. Le chapitre se termine par un premier test statistique, dont le programme limite volontairement la théorie.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour BCPST2.

Classiques et HP réservés

Prolongements et démonstrations de Maths.

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Encore 12 parties de cours et 10 corrigés.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Taille d'échantillon 2

Exercice 1 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

On lance nn fois une pièce de probabilité pp inconnue de donner pile, et FnF_n est la fréquence de pile. Déterminer nn pour que P(∣Fn−p∣≥0,01)≤0,05P(|F_n - p| \geq 0{,}01) \leq 0{,}05, d'abord de façon garantie, puis de façon approchée.

Voir l'indice

Technique Bienaymé-Tchebychev avec majoration de p(1 − p), puis TCL.

Voir le corrigé offert
  1. Fn est la moyenne de n variables de Bernoulli indépendantes, donc E(Fn) = p et V(Fn) = p(1 − p)/n ≤ 1/(4n).
  2. Bienaymé-Tchebychev donne P(|Fn − p| ≥ 0,01) ≤ 1/(4n × 10⁻⁴) = 2500/n. Ce majorant est au plus 0,05 si n ≥ 50 000.
  3. Par le TCL, Fn suit approximativement la loi normale de moyenne p et d'écart-type au plus 1/(2√n). Il suffit que 1,96/(2√n) ≤ 0,01, soit √n ≥ 98, donc n ≥ 9604.
  4. La première valeur est certaine, la seconde repose sur une approximation.

piège : Présenter 9604 comme une garantie, ou oublier que p étant inconnu, on doit majorer p(1 − p).

Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit, type Agro-Véto

Une graine germe avec probabilité 0,8, indépendamment des autres. On sème 400 graines. Estimer la probabilité d'obtenir au moins 300 plants. Combien de graines faut-il semer pour obtenir au moins 300 plants avec probabilité 0,95 ?

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Convergence en loi 3

Exercice 3 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

XnX_n suit la loi uniforme sur {1,…,n}\{1, \ldots, n\}. Montrer que Xn/nX_n/n converge en loi vers une variable de loi uniforme sur [0,1][0, 1].

Voir le début du corrigé
  1. Pour t<0t < 0, P(Xn/n⩽t)=0\mathbb P(X_n/n \leqslant t) = 0, pour t⩾1t \geqslant 1, P(Xn/n⩽t)=1\mathbb P(X_n/n \leqslant t) = 1 (Xn/n∈]0,1]X_n/n \in \intof{0}{1}).

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Khôlle

Démontrer la convergence en loi de la binomiale de paramètres nn et λ/n\lambda/n vers la loi de Poisson de paramètre λ\lambda. Application : une pièce est défectueuse avec probabilité 0,0020{,}002, de façon indépendante. Estimer la probabilité qu'un lot de 10001000 pièces en contienne au plus 22.

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Exercice 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle, plus délicat

Soit λ>0\lambda > 0. Pour n>λn > \lambda, XnX_n suit la loi géométrique de paramètre λ/n\lambda/n. Montrer que Xn/nX_n/n converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre λ\lambda.

Voir le début du corrigé
  1. Pour un entier m⩾0m \geqslant 0, P(Xn>m)=(1−λ/n)m‾\underline{\mathbb P(X_n > m) = (1 - \lambda/n)^m} (mm échecs au départ).

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Approximation normale 2

Exercice 6 ★

Application du cours · 10 min · Écrit, type G2E

Une ampoule a une durée de vie de loi exponentielle d'espérance 100 heures. On en utilise 50 successivement, les durées étant indépendantes. Estimer la probabilité que l'éclairage dure au moins 6000 heures.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 5. Limite par le théorème central limite ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, type Agro-Véto

Montrer que e−n∑k=0nnkk!e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!} tend vers 12\frac{1}{2}.

Voir le début du corrigé
  1. Soit (Xi)(X_i) indépendantes de loi de Poisson de paramètre 11. …

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Tests de conformité 2

Exercice 9 ★

Application du cours · 15 min · Écrit, type Agro-Véto

En génétique mendélienne, on attend 3/4 de phénotypes dominants. Sur 400 plants, on en observe 276. Tester la conformité par majoration de l'écart-type, puis comparer avec l'écart-type calculé sous l'hypothèse.

Voir le début du corrigé
  1. f=0,69f = 0{,}69, donc ∣f−0,75∣=0,06‾\underline{\abs{f - 0{,}75} = 0{,}06}.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, type G2E

Un fournisseur annonce une masse moyenne de 50 mg par graine. Sur 64 graines, on mesure une moyenne de 48,9 mg et un écart-type empirique de 4 mg. Tester l'annonce au seuil de 5 pour cent. Que dire avec les mêmes valeurs sur 16 graines ?

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Estimation de variance 1

Exercice 10 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, plus délicat

Les XiX_i sont indépendantes, d'espérance μ\mu et de variance σ2\sigma^2. Montrer que E(Sn2)=(n−1)σ2/nE(S_n^2) = (n - 1)\sigma^2/n et en déduire E(Sn′2)E(S'^2_n).

Voir le début du corrigé
  1. Sn2=1n∑i=1nXi2−Mn2S_n^2 = \dfrac1n \sum_{i=1}^n X_i^2 - M_n^2 (König-Huygens empirique).

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Approfondissement hors programme 1

Exercice HP. Des probabilités de succès inégales ★★★

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en BCPST2

Pour chaque entier n≥1n\geq1, on considère des variables indépendantes Xn,1,…,Xn,nX_{n,1},\ldots,X_{n,n} telles que Xn,i∼B(i/n2)X_{n,i}\sim\mathcal B(i/n^2). On pose Sn=∑i=1nXn,iS_n=\sum_{i=1}^n X_{n,i}. Aucune indépendance entre les différentes lignes, correspondant à des valeurs différentes de nn, n'est supposée ni nécessaire.

On pourra utiliser les identités ∑i=1ni=n(n+1)/2\sum_{i=1}^n i=n(n+1)/2 et ∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)/6\sum_{i=1}^n i^2=n(n+1)(2n+1)/6, ainsi que la borne de Le Cam établie dans le cours.

  1. Vérifier que tous les paramètres définissent des lois de Bernoulli. Calculer λn=E(Sn)\lambda_n=\mathbb E(S_n) et εn=∑i=1n(i/n2)2\varepsilon_n=\sum_{i=1}^n(i/n^2)^2.

  2. Donner une approximation de P(Sn=0)\mathbb P(S_n=0) et de P(Sn≥2)\mathbb P(S_n\geq2), avec une borne explicite de l'erreur dans chaque cas.

  3. Déterminer les limites de ces deux probabilités lorsque nn tend vers l'infini.

  4. Montrer que, pour n≥100n\geq100, chacune des deux approximations de la question 2 a une erreur absolue au plus égale à 0,010{,}01.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST deuxième année (2021), partie « Probabilités 5 – Théorèmes limites ». Elle couvre :

  • la moyenne empirique ;
  • la loi faible des grands nombres ;
  • la convergence en loi ;
  • l'approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson ;
  • le théorème central limite ;
  • l'introduction aux tests.