Valeurs propres et vecteurs propres

Exercice 1. Diagonalisation d'une matrice 3 × 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Diagonaliser $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

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Technique écrire $A = J - I$, puis compter les dimensions.

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Résultat

$A = PDP^{-1}$ avec $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ et $D = \operatorname{diag}(2, -1, -1)$, valeurs propres $2$ et $-1$, $\dim E_{-1} = 2$.

1. $A\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$, donc $\underline{2 \text{ est valeur propre}}$ (définition 1.5, éléments propres d'une matrice).
2. $\operatorname{Ker}(A + I) = \operatorname{Ker} J = \{x + y + z = 0\}$, de base $(1, -1, 0)$, $(1, 0, -1)$, donc $\underline{-1 \text{ est valeur propre et } \dim E_{-1} = 2}$.
3. $\dim E_2 + \dim E_{-1} = 1 + 2 = 3$, donc $A$ est diagonalisable (théorème 3.3, critère de diagonalisation), sans autre valeur propre (somme $\leqslant 3$, propriété 2.4, dimensions des sous-espaces propres).
4. Donc $A = PDP^{-1}$ avec $P$ de colonnes $(1, 1, 1)$, $(1, -1, 0)$, $(1, 0, -1)$ et $D = \operatorname{diag}(2, -1, -1)$ (définition 3.2, matrice diagonalisable).

piège : Chercher une troisième valeur propre alors que la somme vaut déjà $3$, ou ranger les colonnes de $P$ dans un autre ordre que $D$.

Exercice 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Pour $a$ réel, $M_a = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Pour quels $a$ la matrice $M_a$ est-elle diagonalisable ?

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1. $M_a$ est triangulaire, donc de valeurs propres $1$ et $a$ (théorème 1.10, valeurs propres d'une matrice triangulaire).

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Exercice 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Soit $f$ un endomorphisme de $E$, de dimension finie. Montrer que $f$ est bijectif si et seulement si $0$ n'est pas valeur propre. Si $f$ est bijectif, relier les éléments propres de $f$ et de $f^{-1}$. Montrer que si $\lambda$ est valeur propre de $f$, alors $\lambda^2$ l'est de $f \circ f$. La réciproque est-elle vraie ?

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1. $0$ valeur propre $\iff \operatorname{Ker} f \neq \{0\} \iff f$ non injective $\iff f$ non bijective (endomorphisme en dimension finie).

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Exercice 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Soit $p$ un endomorphisme de $E$, de dimension $n$, tel que $p \circ p = p$. Montrer que le spectre de $p$ est inclus dans $\{0, 1\}$, que $E_1 = \operatorname{Im} p$, puis que $p$ est diagonalisable.

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1. Si $p(x) = \lambda x$, $x \neq 0$ : $\lambda^2 x = p(p(x)) = p(x) = \lambda x$, donc $\lambda^2 = \lambda$ et $\underline{\lambda \in \{0, 1\}}$.

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Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, type Agro-Véto

Une population se répartit entre deux îlots. Chaque année, la moitié des individus du premier migre vers le second, et un quart des individus du second migre vers le premier. On note $u_n$ et $v_n$ les proportions sur chaque îlot, avec $u_0 + v_0 = 1$. Exprimer $u_n$ et $v_n$ et donner leurs limites.

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1. $U_{n+1} = AU_n$ avec $A = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/4 \\ 1/2 & 3/4 \end{pmatrix}$.

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Exercice 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, type G2E

Un modèle de Leslie à deux classes, juvéniles $j_n$ et adultes $a_n$, s'écrit $j_{n+1} = j_n + 4a_n$ et $a_{n+1} = j_n/2$. On suppose $j_0$ et $a_0$ positifs, non tous deux nuls. Étudier le comportement asymptotique.

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1. $L = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}$ et $\det(L - \lambda I) = \lambda^2 - \lambda - 2 = \underline{(\lambda - 2)(\lambda + 1)}$.

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Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Sur $\mathbb{R}_n[X]$, on pose $f(P) = (X - 1)P'$. Montrer que $f$ est un endomorphisme, trouver ses éléments propres et conclure.

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1. $f$ linéaire et $\deg((X - 1)P') \leqslant \deg P$, donc $f(\R_n[X]) \subset \R_n[X]$.

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Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, plus délicat

Soit $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$, de dimension $n$, tels que $f \circ g = g \circ f$. Montrer que chaque sous-espace propre de $f$ est stable par $g$. Si $f$ a $n$ valeurs propres distinctes, montrer que $g$ est diagonalisable. Application : matrices qui commutent avec $D = \operatorname{diag}(1, 2, 3)$.

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1. Si $x \in E_\lambda(f)$ : $f(g(x)) = g(f(x)) = \lambda g(x)$ ($f \circ g = g \circ f$), donc $\underline{g(x) \in E_\lambda(f)}$.

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Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, plus délicat, d'après un écrit Agro-Véto

Soit $A$ une matrice carrée de taille $n$ à coefficients positifs, dont chaque ligne a pour somme $1$. Montrer que $1$ est valeur propre et que toute valeur propre réelle $\lambda$ vérifie $|\lambda| \leq 1$.

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1. $A(1, \ldots, 1) = (1, \ldots, 1)$ (la coordonnée $i$ vaut la somme de la ligne $i$, définition 1.5, éléments propres d'une matrice).

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Exercice classique. Calculs et projecteurs de rang 1 ★★★

Classique du chapitre

1. Soient $u=(1,2,0)^{\mathsf T}$ et $v=(2,-1,3)^{\mathsf T}$. Posons $A=uv^{\mathsf T}$. Écrire $A$, puis déterminer son rang, sa trace et $A^2$.
2. Soit $A$ une matrice réelle carrée non nulle de rang $1$. Montrer que $A$ est un projecteur si et seulement si $\operatorname{tr}(A)=1$. Dans ce cas, préciser son image et son noyau comme sous-espaces associés à la projection.

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Exercice HP. Une famille tridiagonale : localisation et limites du critère ★★★

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en BCPST2

Pour $t\in\R$, on considère la matrice réelle, étudiée aussi sur $\C$, $$A_t=\begin{pmatrix}2&t&0\\t&2&t\\0&t&2\end{pmatrix}.$$ On pourra utiliser le théorème de Gershgorin établi dans le cours : toute valeur propre d’une matrice $A=(a_{ij})\in M_n(\C)$ appartient à l’un des disques $|z-a_{ii}|\leq\sum_{j\ne i}|a_{ij}|$.

1. Déterminer les disques associés aux lignes de $A_t$ et en déduire un disque contenant tout son spectre.
2. Pour quelles valeurs de $t$ le critère de dominance diagonale stricte par lignes assure-t-il l’inversibilité ? Pour ces valeurs, démontrer que la solution de $A_tx=b$, avec $b\in\C^3$, vérifie $$\|x\|_\infty\leq\frac{\|b\|_\infty}{2-2|t|}, \qquad \|u\|_\infty=\max_{1\leq i\leq3}|u_i|.$$
3. Calculer le polynôme caractéristique de $A_t$, puis déterminer exactement ses valeurs propres et les valeurs de $t$ pour lesquelles elle est inversible.
4. Étudier le cas $t=1$. Que montre-t-il sur la portée du critère de Hadamard ?

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