Applications linéaires et matrices

Exercice 1 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Sur $\mathbb{R}_n[X]$ avec $n \geq 1$, on pose $f(P) = XP'$. Montrer que $f$ est un endomorphisme, écrire sa matrice dans la base canonique, puis déterminer noyau, image et rang.

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Technique images des vecteurs de base, théorème du rang comme contrôle.

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Résultat

$f$ est un endomorphisme de $\R_n[X]$, sa matrice dans la base canonique est $\operatorname{diag}(0, 1, \ldots, n)$, $\Ker f$ est l'ensemble des constantes, $\Im f = \Vect(X, \ldots, X^n)$ et $\rg f = n$.

1. $\deg P' \leqslant n - 1$, donc $XP' \in \R_n[X]$, et $f$ est linéaire (linéarité de la dérivation, exemple 1.5, applications linéaires).
2. $\underline{f(X^k) = k X^k}$, donc la matrice est $\operatorname{diag}(0, 1, \ldots, n)$ (définition 3.1, matrice d'une application linéaire).
3. Soit $P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k$. Alors $f(P) = \sum_{k=0}^{n} k a_k X^k$, et $f(P) = 0$ impose $a_k = 0$ pour $k \geqslant 1$. Donc $\Ker f$ est l'ensemble des constantes et $\underline{\dim \Ker f = 1}$.
4. $\Im f = \Vect(X, 2X^2, \ldots, nX^n) = \Vect(X, \ldots, X^n)$ (propriété 1.14, image d'une base), donc $\rg f = n$. Contrôle : $n + 1 = 1 + n$ (théorème 2.6, théorème du rang).

piège : Compter $f(1) = 0$ dans la dimension de l'image.

Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Écrit, type G2E, plus délicat

Sur $\mathbb{R}_n[X]$ avec $n \geq 1$, on pose $\Delta(P) = P(X + 1) - P(X)$. Déterminer $\operatorname{Ker} \Delta$ et $\operatorname{Im} \Delta$. En déduire qu'il existe $P$ tel que $P(X + 1) - P(X) = X^2$.

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1. Si $\deg P = k \geqslant 1$, de coefficient dominant $c$, les termes $cX^k$ s'annulent et $\deg \Delta(P) \leqslant k - 1$. …

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Exercice 8 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Soit $f$ un endomorphisme de $E$, de dimension finie, tel qu'il existe $g$ avec $f \circ g = \mathrm{id}$. Montrer que $f$ est bijectif. Que se passe-t-il sur $\mathbb{R}[X]$ avec $f = D$ la dérivation et $g(P)$ la primitive de $P$ nulle en $0$ ?

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1. Tout $y$ s'écrit $f(g(y))$, donc $\underline{f \text{ est surjective}}$.

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Exercice 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Soit A la matrice de lignes (1, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 0, 1). Montrer que A est inversible et calculer A⁻¹ sans pivot.

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1. $A$ est la matrice de $f : P \mapsto P(X + 1)$ dans la base $(1, X, X^2)$ (technique 4).

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Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, type Agro-Véto

Soient $n \geq 1$ et $a_0, \ldots, a_n$ des réels deux à deux distincts. Pour $P \in \mathbb{R}_n[X]$, on pose $\varphi(P) = (P(a_0), \ldots, P(a_n))$. Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme. En déduire que pour tous réels $b_0, \ldots, b_n$, il existe un unique $P$ de degré au plus $n$ tel que $P(a_i) = b_i$ pour tout $i$.

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1. $\varphi$ est linéaire (chaque évaluation l'est, exemple 1.5, applications linéaires).

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Exercice 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Soit $f$ un endomorphisme de $E$, de dimension $n$, tel que $f \circ f = 0$. Montrer que $\operatorname{Im} f \subset \operatorname{Ker} f$, puis que $\operatorname{rg} f \leq n/2$. Donner un cas d'égalité pour $n = 2$.

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1. Soit $y = f(x)$. Alors $f(y) = f(f(x)) = 0$, donc $y \in \Ker f$ et $\underline{\Im f \subset \Ker f}$.

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Exercice 10 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, plus délicat

Soient $f$ de $E$ dans $F$ et $g$ de $F$ dans $G$ linéaires, $E$ et $F$ de dimension finie. Montrer que $\operatorname{rg}(g \circ f) \leq \operatorname{rg} g$ et $\operatorname{rg}(g \circ f) \leq \operatorname{rg} f$. En déduire que si $A \in M_{n,p}(K)$ et $B \in M_{p,n}(K)$ vérifient $AB = I_n$, alors $n \leq p$.

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1. $\Im(g \circ f) \subset \Im g$, donc $\underline{\rg(g \circ f) \leqslant \rg g}$.

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Exercice 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Montrer que $A$ de lignes $(1, 1)$ et $(0, 1)$ est semblable à $B$ de lignes $(1, 2)$ et $(0, 1)$, mais pas à $I_2$.

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1. Soit $f$ l'endomorphisme de $\R^2$ de matrice $A$ dans $(e_1, e_2)$. …

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Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit, type G2E

Soit $A$ de lignes $(1, 2)$ et $(2, 1)$, matrice de $f$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$. Avec $u = (1, 1)$ et $v = (1, -1)$, écrire la matrice de $f$ dans $(u, v)$, puis calculer $A^n$.

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Exercice 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Écrit, type Agro-Véto

Une population compte $j_n$ jeunes et $a_n$ adultes, avec $j_{n+1} = j_n/2 + a_n$ et $a_{n+1} = j_n/2$. On note $U_n$ la colonne $(j_n, a_n)$ et $A$ la matrice telle que $U_{n+1} = AU_n$. Avec $u = (2, 1)$ et $v = (1, -1)$, exprimer $U_n$ et sa limite en fonction de $j_0$ et $a_0$.

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1. $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$, $Au = u$ et $Av = -\frac{v}{2}$, $(u, v)$ libre donc base.

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