Produit scalaire dans Rn

Exercice 1 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Montrer que $\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$ et que $x \cdot y = (\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2)/4$. En déduire que si $\|x\| = \|y\|$, alors $x + y$ et $x - y$ sont orthogonaux.

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Résultat

$\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$, $x \cdot y = \frac{\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2}{4}$, et si $\|x\| = \|y\|$, alors $(x + y) \cdot (x - y) = 0$.

1. On a $\|x \pm y\|^2 = \|x\|^2 \pm 2\, x \cdot y + \|y\|^2$ (propriété 1.4, identités remarquables). La somme donne $\underline{\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)}$ et la différence donne $\underline{\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 = 4\, x \cdot y}$.
2. Donc, par symétrie (propriété 1.3, propriétés du produit scalaire) : $$\begin{aligned} (x + y) \cdot (x - y) &= \|x\|^2 - x \cdot y + y \cdot x - \|y\|^2 \\ &= \|x\|^2 - \|y\|^2. \end{aligned}$$
3. Si $\|x\| = \|y\|$, alors $\underline{(x + y) \cdot (x - y) = 0}$ (définition 3.1, vecteurs orthogonaux) : les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.

piège : Oublier d'invoquer la symétrie pour simplifier les termes croisés.

Exercice 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Soient $x_1, \ldots, x_n$ réels de somme $1$. Montrer que $\sum x_i^2 \geq 1/n$, étudier le cas d'égalité, interpréter.

Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, type G2E

Pour deux séries $x$ et $y$ non constantes, on note $\tilde{x}$ et $\tilde{y}$ les vecteurs des écarts à la moyenne et $r = \dfrac{\tilde{x} \cdot \tilde{y}}{\|\tilde{x}\|\|\tilde{y}\|}$. Montrer que $|r| \leq 1$, et que $|r| = 1$ si et seulement s'il existe $a \neq 0$ et $b$ réels tels que $y_i = a x_i + b$ pour tout $i$.

Exercice 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Dans $\mathbb{R}^4$, $F$ est défini par $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0$ et $x_1 - x_2 = 0$. Déterminer $F^\perp$, les projetés de $e_1 = (1, 0, 0, 0)$ sur $F^\perp$ et sur $F$, et la distance de $e_1$ à $F$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Donner la matrice $M$, dans la base canonique, de la projection orthogonale sur le plan $P$ d'équation $x + y + z = 0$. Vérifier $M^2 = M$, puis calculer la distance de $(1, 2, 3)$ à $P$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 9 ★★★

Approfondissement · 40 min · Écrit, plus délicat

Soit $(e_1, \ldots, e_k)$ une base orthonormale de $F$ et $Q$ la matrice $n \times k$ de colonnes $e_i$. Montrer que la matrice de $p$ dans la base canonique est $Q \, {}^t Q$. Réciproquement, montrer qu'un endomorphisme $p$ vérifiant $p \circ p = p$, de matrice $M$ symétrique, est la projection orthogonale sur $\operatorname{Im} p$.

Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Khôlle

Démontrer que deux vecteurs propres d'une matrice symétrique réelle associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Diagonaliser ensuite J (matrice 3 × 3 remplie de 1) en base orthonormale.

Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, type Agro-Véto

Soit $A$ symétrique réelle. Montrer que ${}^t X A X \geq 0$ pour tout $X$ si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ sont positives ou nulles.

Exercice 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit, type Agro-Véto

On observe les points $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 2)$, $(3, 4)$. On note $T$, $Y$ et $U = (1, 1, 1, 1)$. Écrire que $Y - aT - bU$ est orthogonal à $\operatorname{Vect}(T, U)$, en déduire $a$ et $b$, puis le minimum de la somme des carrés des écarts.

Exercice 10 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type oral, plus délicat

Soient $v_1, \ldots, v_k$ dans $\mathbb{R}^n$, $M$ la matrice $n \times k$ de colonnes $v_i$, et $G = {}^t M M$. Montrer que $G$ est symétrique à valeurs propres positives ou nulles, et que $G$ est inversible si et seulement si $(v_1, \ldots, v_k)$ est libre.