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BCPST1 · Maths · semaine 16

Systèmes linéaires

Équations et systèmes linéaires, systèmes homogènes, systèmes compatibles et systèmes de Cramer. Opérations élémentaires sur les lignes, systèmes échelonnés et algorithme du pivot de Gauss. Rang d'un système, inconnues principales et secondaires, description de l'ensemble des solutions.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Les trois opérations élémentaires sont :

    • l'échange ;
    • l'ajout d'un multiple d'une autre ligne ;
    • la multiplication par un scalaire non nul.

    Elles conservent l'ensemble des solutions.

  2. La méthode du pivot de Gauss transforme tout système en un système échelonné équivalent, dont les pivots forment un escalier.

  3. Le rang est le nombre de pivots :

    • les inconnues portant un pivot sont principales ;
    • les p−rp-r autres sont secondaires.

  4. Un système linéaire a zéro, une ou une infinité de solutions :

    • il est incompatible si une ligne donne 0=b0=b avec b≠0b\neq 0 ;
    • s'il est compatible et r=pr=p, il a une unique solution ;
    • s'il est compatible et r<pr<p, il a une infinité de solutions.

  5. Pour un système compatible, l'ensemble des solutions s'écrit comme une solution particulière plus les solutions du système homogène associé, décrites par p−rp-r paramètres.

Pourquoi ce chapitre

RemarqueUn premier contact algorithmique

Le premier contact avec l'algèbre linéaire est de nature algorithmique. Avant d'introduire les espaces vectoriels, qui relèvent de la deuxième année, on apprend à calculer.

La méthode du pivot de Gauss se retrouvera pour inverser une matrice, calculer un rang, déterminer une base.

ExempleApplications

Se traduisent par un système linéaire :

  • un bilan de matière en chimie ;
  • l'équilibrage d'une équation-bilan ;
  • un modèle de compartiments en physiologie ;
  • un ajustement de données expérimentales ;
  • une intersection de plans en géologie structurale.

Savoir dire si un système a zéro, une ou une infinité de solutions, et décrire ces solutions proprement, est une compétence directement utilisable.

RemarqueAttendus du programme

Le programme précise que l'écriture formelle d'un algorithme de réduction n'est pas un attendu, mais que programmer le pivot en restant sur des approches simples est envisageable.

La priorité est donc la mise en pratique à la main, avec une rédaction irréprochable.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Résolution de systèmes 3

Exercice 1. Système 3 × 3 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Résoudre y+2z=1,y + 2z = 1, x+y+z=2x + y + z = 2 et 2x−y+3z=8.2x - y + 3z = 8.

Voir l'indice

Technique échange de lignes pour éviter un pivot nul.

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Résultat

la solution unique est (2,−1,1)(2, -1, 1).

  1. Le coefficient de xx dans L1L_1 est nul, donc L1↔L2L_1 \leftrightarrow L_2 (pas de pivot nul).
  2. L3←L3−2L1L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1 donne −3y+z=4‾\underline{-3y + z = 4}.
  3. L3←L3+3L2L_3 \leftarrow L_3 + 3L_2 donne 7z=77z = 7, donc z=1‾\underline{z = 1} (propriété 2.3, conservation des solutions).
  4. Remontée : y=1−2=−1y = 1 - 2 = -1, puis x=2−y−z=2x = 2 - y - z = 2.
  5. Vérification dans le système initial : −1+2=1-1 + 2 = 1, 2−1+1=22 - 1 + 1 = 2, 4+1+3=84 + 1 + 3 = 8, donc la solution unique est (2,−1,1)(2, -1, 1) (propriété 4.8, une seule solution).

piège : Prendre 00 comme pivot, ou vérifier dans le système échelonné.

Exercice 2. Système à quatre inconnues ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Résoudre x+y+z+w=4,x + y + z + w = 4, x+2y+3z+4w=10x + 2y + 3z + 4w = 10 et 2x+3y+4z+5w=14.2x + 3y + 4z + 5w = 14.

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  1. L2←L2−L1L_2 \leftarrow L_2 - L_1 et L3←L3−2L1L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1 donnent deux fois y+2z+3w=6‾\underline{y + 2z + 3w = 6}.

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Exercice 10 ★★★

Approfondissement · 45 min · Plus délicat, type oral ENS

Soit n≥2n \geq 2. Résoudre le système cyclique x1+x2=a1x_1 + x_2 = a_1, x2+x3=a2x_2 + x_3 = a_2, …\dots, xn−1+xn=an−1x_{n-1} + x_n = a_{n-1}, xn+x1=anx_n + x_1 = a_n.

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  1. Les lignes L1L_1 à Ln−1L_{n-1} sont échelonnées, LkL_k ayant son pivot sur xkx_k.

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Discussion selon un paramètre 3

Exercice 3. Système à paramètre ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle, incontournable

Discuter selon le réel mm le système {mx+y+z=1,x+my+z=1,x+y+mz=1.\begin{cases} mx + y + z = 1, \\ x + my + z = 1, \\ x + y + mz = 1. \end{cases}

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  1. L1↔L3L_1 \leftrightarrow L_3 donne un pivot 11 indépendant de mm.

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Exercice 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

À quelle condition sur les réels aa, bb, cc le système x+2y−z=ax + 2y - z = a, 2x+3y+z=b2x + 3y + z = b, x+y+2z=cx + y + 2z = c est-il compatible ? Le résoudre alors.

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  1. L2←L2−2L1L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 donne −y+3z=b−2a-y + 3z = b - 2a et L3←L3−L1L_3 \leftarrow L_3 - L_1 donne −y+3z=c−a-y + 3z = c - a.

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Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Pour quels réels mm le système (1−m)x+2y=0(1 - m)x + 2y = 0, 2x+(1−m)y=02x + (1 - m)y = 0 admet-il une solution non nulle ? Donner alors les solutions.

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  1. L1↔L2L_1 \leftrightarrow L_2 donne le pivot 22, indépendant de mm.

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Modélisation concrète 4

Exercice 6. Équilibrer une réaction ★

Application du cours · 15 min · Type écrit Agro-Véto

Équilibrer a C3H8+b O2→c CO2+d H2O.a\,\mathrm{C_3H_8} + b\,\mathrm{O_2} \to c\,\mathrm{CO_2} + d\,\mathrm{H_2O}.

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  1. Conservation des éléments : C donne 3a−c=03a - c = 0, H donne 8a−2d=08a - 2d = 0, O donne 2b−2c−d=02b - 2c - d = 0.

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Exercice 8. Polynôme d'interpolation ★

Application du cours · 10 min · Type écrit G2E

Trouver le polynôme P(x)=a+bx+cx2P(x) = a + bx + cx^2 tel que P(−1)=4,P(-1) = 4, P(1)=0P(1) = 0 et P(2)=1.P(2) = 1.

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  1. Les conditions donnent a−b+c=4a - b + c = 4, a+b+c=0a + b + c = 0 et a+2b+4c=1a + 2b + 4c = 1.

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Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Étudier selon les réels aa et bb l'intersection des plans x+y+z=1x + y + z = 1, x−y+2z=0x - y + 2z = 0 et 2x+az=b2x + az = b.

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  1. L2←L2−L1L_2 \leftarrow L_2 - L_1 donne −2y+z=−1-2y + z = -1 et L3←L3−2L1L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1 donne −2y+(a−2)z=b−2-2y + (a - 2)z = b - 2.

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Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Type écrit Agro-Véto, modélisation

On veut 10 L de solution de glucose à 2 g/L en mélangeant des volumes x, y, z de solutions à 1, 2 et 3 g/L. Décrire les mélanges possibles. On impose ensuite un coût de 12 euros, avec des prix de 1, 1 et 2 euros par litre.

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  1. Volume : x+y+z=10x + y + z = 10. Masse de glucose : x+2y+3z=20x + 2y + 3z = 20.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Algèbre linéaire 1 – Systèmes linéaires ». Elle couvre le vocabulaire des systèmes, les opérations élémentaires, l'échelonnement par la méthode du pivot de Gauss, le rang et la description de l'ensemble des solutions. On travaille sur K=R\K = \R le plus souvent, occasionnellement sur C\C.