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BCPST1 · Maths · semaine 14

Équations différentielles linéaires simples

Résolution des équations du premier ordre y' + a(t)y = f(t) avec équation homogène, principe de superposition et méthode de variation de la constante. Équations linéaires du second ordre à coefficients constants, équation caractéristique et recherche d'une solution particulière. Applications à la cinétique chimique, à la charge d'un condensateur et à l'oscillateur harmonique.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. La solution générale est la somme de la solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière. Le principe de superposition découpe un second membre en morceaux.
  2. Au premier ordre, l'homogène a pour solutions Ce−A(t)C\e^{-A(t)} où AA est une primitive de aa. Ces solutions ne s'annulent jamais, sauf la solution nulle.
  3. La variation de la constante est la méthode générale pour la solution particulière, et les termes en C(t)C(t) s'y simplifient toujours.
  4. Au second ordre à coefficients constants, tout passe par l'équation caractéristique, avec trois formes de solutions selon le signe du discriminant.
  5. Les conditions initiales se traitent en dernier. Une équation du premier ordre en demande une, une du second ordre en demande deux.
Pourquoi ce chapitre

DéfinitionÉquation différentielle

Une équation différentielle relie une fonction inconnue à ses dérivées. C'est l'outil mathématique de toute modélisation d'un phénomène qui évolue.

RemarqueObjectif du chapitre

L'objectif est d'approfondir cette problématique en vue des usages qui en sont faits en physique, chimie et biologie.

ExempleModélisations

  • Une cinétique de réaction d'ordre un donne c′=−kcc' = -kc.
  • La charge d'un condensateur dans un circuit RC donne une équation du premier ordre avec second membre constant.
  • Un corps placé au contact d'un thermostat suit la loi de refroidissement, qui est du même type.
  • Une population avec croissance proportionnelle et prélèvement constant donne encore la même forme.
  • L'oscillateur harmonique, le pendule aux petites oscillations, un circuit LC donnent une équation du second ordre.

RemarquePérimètre du programme

L'enjeu est de savoir résoudre deux familles d'équations et d'interpréter la solution. Pour toute autre équation du premier ordre, une méthode de résolution doit être fournie par l'énoncé.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Premier ordre linéaire 5

Exercice 1 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Résoudre y' + 3y = 6 avec y(0) = 5. Au bout de combien de temps l'écart au régime permanent est-il divisé par 10 ?

Voir l'indice

Technique premier ordre à coefficients constants.

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Résultat

y=2+3e−3ty = 2 + 3\e^{-3t}, écart divisé par 1010 au bout de t=ln⁡(10)3t = \frac{\ln(10)}{3}.

  1. Homogène : Ce−3tC\e^{-3t}. Solution constante : 3c=63c = 6, donc c=2‾\underline{c = 2}.
  2. Donc y=2+Ce−3ty = 2 + C\e^{-3t}, et y(0)=5y(0) = 5 donne C=3‾\underline{C = 3}.
  3. L'écart y−2=3e−3ty - 2 = 3\e^{-3t} vaut un dixième de sa valeur initiale si e−3t=110\e^{-3t} = \frac{1}{10}, soit t=ln⁡(10)3t = \frac{\ln(10)}{3}.

piège : Chercher quand yy est divisé par 1010. C'est l'écart à l'équilibre qui décroît exponentiellement, pas yy.

Exercice 2. Équation linéaire d'ordre 1 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Résoudre y′+2ty=ty' + 2ty = t sur R\R avec y(0)=0y(0) = 0.

Voir le début du corrigé
  1. t2t^2 est une primitive de 2t2t, donc homogène : Ce−t2‾\underline{C\e^{-t^2}}.

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Exercice 3. Variation de la constante ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Résoudre y′+y=11+ety' + y = \frac{1}{1 + e^t} sur R\R.

Voir le début du corrigé
  1. Homogène : Ce−tC\e^{-t}. Soit y=C(t)e−ty = C(t)\e^{-t} (variation de la constante).

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Exercice 4. Équation à coefficients trigonométriques ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Résoudre cos⁡(t) y′+sin⁡(t) y=1\cos(t)\,y' + \sin(t)\,y = 1 sur ]−π2,π2[]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[.

Voir le début du corrigé
  1. cos⁡t>0\cos t > 0 sur l'intervalle, donc y′+tan⁡(t) y=1cos⁡ty' + \tan(t)\,y = \frac{1}{\cos t}.

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Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit Agro-Véto, cinétique

Deux réactions successives d'ordre un, A→B→C\mathrm{A} \to \mathrm{B} \to \mathrm{C}, de constantes k1≠k2k_1 \neq k_2. On a a′=−k1aa' = -k_1 a et b′=k1a−k2bb' = k_1 a - k_2 b, avec a(0)=a0a(0) = a_0 et b(0)=0b(0) = 0. Déterminer bb et l'instant de son maximum.

Voir le début du corrigé
  1. a=a0e−k1ta = a_0\e^{-k_1 t}, donc b′+k2b=k1a0e−k1tb' + k_2 b = k_1 a_0\e^{-k_1 t}.

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Second ordre à coefficients constants 2

Exercice 5. Racine double ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Résoudre y′′−4y′+4y=0y'' - 4y' + 4y = 0 avec y(0)=1y(0) = 1 et y′(0)=0y'(0) = 0.

Voir le début du corrigé
  1. r2−4r+4=0r^2 - 4r + 4 = 0 a pour racine double 22, donc y=(λ+μt)e2ty = (\lambda + \mu t)\e^{2t}.

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Exercice 6 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Résoudre y′′+4y=0y'' + 4y = 0 avec y(0)=1y(0) = 1 et y′(0)=23y'(0) = 2\sqrt{3}, puis écrire la solution sous forme amplitude-phase.

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Comportement asymptotique 2

Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Agro-Véto

Résoudre y′′+2y′+2y=cos⁡ty'' + 2y' + 2y = \cos t en cherchant une solution particulière de la forme λsin⁡t+μcos⁡t\lambda \sin t + \mu \cos t. Décrire le comportement quand tt tend vers +∞+\infty.

Voir le début du corrigé
  1. Pour y=λsin⁡t+μcos⁡ty = \lambda\sin t + \mu\cos t : y′′+2y′+2y=(λ−2μ)sin⁡t+(2λ+μ)cos⁡ty'' + 2y' + 2y = (\lambda - 2\mu)\sin t + (2\lambda + \mu)\cos t.

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Exercice 11 ★★

Classiques de khôlle et concours · 40 min · Écrit, plus délicat

Soient γ>0\gamma > 0 et ω>0\omega > 0. Montrer que toute solution de y′′+2γy′+ω2y=0y'' + 2\gamma y' + \omega^2 y = 0 tend vers 00 en +∞+\infty, en distinguant trois régimes.

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Second membre résonant 1

Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit G2E

Résoudre y′′+y=sin⁡ty'' + y = \sin t avec y(0)=0y(0) = 0 et y′(0)=0y'(0) = 0, en cherchant une solution particulière de la forme t(λsin⁡t+μcos⁡t)t(\lambda \sin t + \mu \cos t).

Voir le début du corrigé
  1. Soit g=λsin⁡t+μcos⁡tg = \lambda\sin t + \mu\cos t et y=tgy = t g. …

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Changement de fonction 1

Exercice 10 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type oral Agro-Véto, méthode fournie

Modèle logistique y′=y(1−y)y' = y(1 - y), avec y(0)=y0y(0) = y_0 dans ]0,1[]0, 1[. On admet que yy ne s'annule pas et on pose z=1/yz = 1/y. Déterminer yy.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Analyse 4 : Équations différentielles linéaires simples ». Elle couvre les équations du premier ordre y′+a(t)y=f(t)y' + a(t)y = f(t) et les équations du second ordre à coefficients constants, avec leurs applications en physique, chimie et biologie.