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BCPST1 · Maths · semaine 17

Matrices

Vocabulaire des matrices, matrices carrées, triangulaires, diagonales et matrice identité. Somme, produit par un scalaire, produit matriciel, transposée et matrices symétriques. Écriture matricielle d'un système linéaire, rang d'une matrice, matrices inversibles et recherche pratique d'un inverse.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Le produit matriciel exige que les tailles s'emboîtent, il n'est pas commutatif, et un produit nul n'entraîne pas qu'un facteur soit nul.
  2. La formule du binôme ne s'applique qu'à deux matrices qui commutent. Les matrices diagonales se multiplient et se mettent en puissance coefficient par coefficient.
  3. La transposition inverse l'ordre d'un produit, et une matrice symétrique est égale à sa transposée.
  4. Le rang est le nombre de pivots après échelonnement ; il est le même pour une matrice et sa transposée. Une matrice carrée d'ordre nn est inversible si et seulement si son rang vaut nn.
  5. En ordre 22, AA est inversible si et seulement si ad−bcad-bc est non nul, et l'inverse s'écrit avec la formule des coefficients échangés. L'écriture X=A−1YX = A^{-1}Y est formelle ; la résolution pratique passe par le pivot.
Pourquoi ce chapitre

Le but est de mettre en place le calcul matriciel, avec ses analogies et ses différences vis-à-vis du calcul sur les nombres.

AttentionCalcul matriciel et calcul numérique

  • Le produit matriciel n'est pas commutatif.
  • Un produit de deux matrices non nulles peut être nul.
  • On ne divise pas par une matrice.

Chacune de ces différences est une source d'erreurs dès que l'on calcule par automatisme.

Une matrice range des données en tableau, et le produit matriciel encode une transformation ou un changement d'état.

ExempleUsages des matrices

  • Une matrice de transition décrit l'évolution d'une population répartie en classes d'âge.
  • Une matrice de coefficients stœchiométriques décrit un ensemble de réactions.
  • Un système linéaire s'écrit AX=YAX = Y, ce qui donne une écriture compacte et une méthode de résolution quand AA est inversible.

AttentionLignes et colonnes

On ne confond pas matrices lignes et matrices colonnes.

RemarqueUsage de l'ordinateur

Le programme précise que la mise en pratique peut nécessiter l'usage de l'ordinateur, dès que les tailles dépassent trois ou quatre.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Matrices commutant avec A 2

Exercice 1 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Soit A de lignes (1, 1) et (0, 1). Trouver toutes les matrices M d'ordre 2 telles que AM = MA.

Voir l'indice

Technique identification des coefficients.

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Résultat

AM=MAAM = MA si et seulement si M=aI+bNM = aI + bN, avec N=(0100)N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, aa et bb quelconques.

  1. Soit M=(abcd)M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.
  2. AM=(a+cb+dcd)AM = \begin{pmatrix} a + c & b + d \\ c & d \end{pmatrix} et MA=(aa+bcc+d)MA = \begin{pmatrix} a & a + b \\ c & c + d \end{pmatrix} (définition 2.3, produit matriciel).
  3. Donc AM=MA  ⟺  c=0 et d=a‾AM = MA \iff \underline{c = 0 \text{ et } d = a} (définition 1.2, égalité de matrices, chaque étape est une équivalence).
  4. Donc M=(ab0a)=aI+bNM = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} = aI + bN, avec N=(0100)N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, aa et bb quelconques.

piège : Oublier la réciproque. Ici chaque étape est une équivalence, il faut le dire.

Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, type G2E

Pour aa et bb réels, M(a,b)=aI+bKM(a, b) = aI + bK, avec KK de lignes (0,−1)(0, -1) et (1,0)(1, 0). (a) Calculer M(a,b)M(c,d)M(a, b) M(c, d). (b) Ces matrices commutent-elles entre elles ? (c) Quand M(a,b)M(a, b) est-elle inversible ?

Voir le début du corrigé
  1. K2=−I‾\underline{K^2 = -I}, donc M(a,b)M(c,d)=acI+(ad+bc)K+bdK2=M(ac−bd,ad+bc)M(a, b) M(c, d) = acI + (ad + bc) K + bd K^2 = M(ac - bd, ad + bc) (propriété 2.4, propriétés du produit).

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Inversibilité et symétrie 1

Exercice 2 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Soit AA inversible. (a) Montrer que si AB=BAAB = BA, alors A−1B=BA−1A^{-1} B = B A^{-1}. (b) Montrer que si AA est symétrique, A−1A^{-1} l'est aussi.

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  1. (a) Soit AB=BAAB = BA. On multiplie à gauche et à droite par A−1A^{-1} : A−1(AB)A−1=A−1(BA)A−1A^{-1}(AB)A^{-1} = A^{-1}(BA)A^{-1}.

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Puissances de matrices 4

Exercice 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Soit AA de lignes (1,2,3)(1, 2, 3), (0,1,2)(0, 1, 2), (0,0,1)(0, 0, 1). Calculer AnA^n pour nn entier naturel, puis A−1A^{-1}.

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Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

JJ est carrée d'ordre nn à coefficients tous égaux à 11. Calculer JkJ^k pour k≥1k \geq 1. Montrer que I+JI + J est inversible et donner son inverse.

Voir le début du corrigé
  1. Chaque coefficient de J2J^2 est une somme de nn termes égaux à 11, donc J2=nJ‾\underline{J^2 = nJ} (définition 2.3, produit matriciel).

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Exercice 8 ★★★

Approfondissement · 40 min · Écrit, type Agro-Véto

AA est la matrice de lignes (0,1)(0, 1) et (2,1)(2, 1). (a) Vérifier A2=A+2IA^2 = A + 2I et en déduire que AA est inversible. (b) Montrer qu'il existe des suites (an)(a_n) et (bn)(b_n) telles que An=anA+bnIA^n = a_n A + b_n I, et les calculer. (c) Pour xn+1=ynx_{n+1} = y_n et yn+1=2xn+yny_{n+1} = 2x_n + y_n, exprimer xnx_n et yny_n en fonction de nn, x0x_0 et y0y_0.

Voir le début du corrigé
  1. A2=A+2I=(2123)A^2 = A + 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} (définition 2.3, produit matriciel).

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Exercice 10 ★★★

Approfondissement · 45 min · Écrit, plus délicat, type Agro-Véto

Un individu passe de l'état 11 à l'état 22 avec probabilité pp, et de 22 à 11 avec probabilité qq, où 0<p<10 < p < 1 et 0<q<10 < q < 1. La colonne XnX_n des probabilités vérifie Xn+1=AXnX_{n+1} = A X_n, avec AA de lignes (1−p,q)(1 - p, q) et (p,1−q)(p, 1 - q). On pose s=p+qs = p + q, r=1−sr = 1 - s, et B=1sB = \frac{1}{s} fois la matrice de lignes (q,q)(q, q) et (p,p)(p, p). Calculer AnA^n et sa limite coefficient par coefficient.

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  1. B2=B‾\underline{B^2 = B} (chaque coefficient fait apparaître q+p=sq + p = s, qui se simplifie).

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Inversibilité et système 1

Exercice 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Soit A de lignes (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1). Montrer que A est inversible et calculer son inverse.

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Rang selon un paramètre 1

Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle, écrit

Pour m réel, soit A de lignes (1, 1, m), (1, m, 1), (m, 1, 1). Rang de A selon m, et valeurs où A est inversible.

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  1. L2←L2−L1L_2 \leftarrow L_2 - L_1 donne (0,m−1,1−m)(0, m - 1, 1 - m), L3←L3−mL1L_3 \leftarrow L_3 - mL_1 donne (0,1−m,1−m2)(0, 1 - m, 1 - m^2).

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Décomposition symétrique antisymétrique 1

Exercice 6 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

TT est antisymétrique si TT=−TT^T = -T. Montrer que toute matrice carrée MM s'écrit de façon unique S+TS + T, avec SS symétrique et TT antisymétrique.

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  1. Analyse : si M=S+TM = S + T, alors MT=S−TM^T = S - T (propriété 2.13, propriétés de la transposition), donc S=M+MT2‾\underline{S = \frac{M + M^T}{2}} et T=M−MT2‾\underline{T = \frac{M - M^T}{2}}, d'où l'unicité.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Algèbre linéaire 2 – Matrices ». Elle couvre le vocabulaire, les opérations matricielles, la transposition, l'écriture matricielle d'un système, le rang, l'inversibilité et le déterminant des matrices carrées d'ordre 22. On travaille sur K=R\K = \R le plus souvent, occasionnellement sur C\C.