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BCPST1 · Maths · semaine 21

Suites réelles

Suites majorées, minorées, bornées et monotones, convergence, divergence et limite infinie. Opérations sur les limites, théorème d'encadrement, théorème de la limite monotone et suites adjacentes. Étude des suites définies par une relation de récurrence u(n+1) = f(u(n)), avec appui numérique et graphique.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Convergence, divergence vers l'infini, absence de limite : ces trois situations sont distinctes, et le mot convergent est réservé aux limites finies.
  2. Les inégalités larges passent à la limite, les inégalités strictes non. Le théorème d'encadrement donne à la fois l'existence et la valeur de la limite.
  3. Toute suite monotone a une limite finie ou infinie. C'est l'outil des suites définies par récurrence, pour lesquelles on cherche d'abord un intervalle stable.
  4. Deux suites adjacentes convergent vers la même limite, qu'elles encadrent à chaque rang.
  5. Hiérarchie des croissances : puissance puis géométrique puis factorielle. Les équivalents se multiplient, se divisent et s'élèvent à une puissance, mais ne s'additionnent ni ne se composent.
Pourquoi ce chapitre

Une suite est un modèle à temps discret :

  • le nombre de bactéries d'une culture comptée toutes les heures ;
  • la concentration d'un médicament avant chaque nouvelle prise ;
  • l'épaisseur d'une strate déposée chaque année ;
  • l'itéré d'une méthode numérique de résolution d'équation.

Dans chaque cas, la question est la même : que devient le phénomène à long terme ?

Le chapitre fournit une boîte à outils :

  • les opérations sur les limites, qui règlent les cas simples ;
  • le théorème d'encadrement, pour les suites qu'on ne sait pas calculer ;
  • le théorème de la limite monotone, qui donne l'existence d'une limite sans la connaître ;
  • les croissances comparées et les équivalents, qui hiérarchisent les infinis.

RemarqueCadre du programme

  • La définition de la limite avec ε\varepsilon est présentée, mais aucune technicité de type epsilon ne peut être exigée.
  • Aucun théorème général sur les suites un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) n'est exigible : un plan d'étude détaillé sera toujours fourni dans les énoncés.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour BCPST1.

Classiques et HP réservés

Prolongements et démonstrations de Maths.

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Encore 14 parties de cours et 9 corrigés.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Limites de suites usuelles 1

Exercice 1. Trois limites de suites ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Limites de an=n2−3n2n+3n+1,a_n = \frac{n^2 - 3^n}{2^n + 3^{n+1}}, bn=n2+3n−n2+1b_n = \sqrt{n^2 + 3n} - \sqrt{n^2 + 1} et cn=n5×0,9n.c_n = n^5 \times 0{,}9^n.

Voir l'indice

Technique terme dominant, conjugué, croissance comparée.

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Résultat

an→−13a_n \to -\frac{1}{3}, bn→32b_n \to \frac{3}{2}, cn→0c_n \to 0.

  1. En factorisant par 3n3^n, an=n2/3n−1(2/3)n+3‾\underline{a_n = \frac{n^2/3^n - 1}{(2/3)^n + 3}}. Or n23n→0\frac{n^2}{3^n} \to 0 (propriété 6.1, hiérarchie des croissances) et (23)n→0\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0, donc an→−13a_n \to -\frac{1}{3} (propriété 2.11, quotient).
  2. Par le conjugué, bn=3n−1n2+3n+n2+1=3−1/n1+3/n+1+1/n2‾b_n = \frac{3n - 1}{\sqrt{n^2 + 3n} + \sqrt{n^2 + 1}} = \underline{\frac{3 - 1/n}{\sqrt{1 + 3/n} + \sqrt{1 + 1/n^2}}}, donc bn→32b_n \to \frac{3}{2} (propriété 2.11, quotient).
  3. cn=n5(10/9)nc_n = \frac{n^5}{(10/9)^n} avec 109>1\frac{10}{9} > 1, donc cn→0c_n \to 0 (propriété 6.1, hiérarchie des croissances).

piège : Dire que les deux racines de bnb_n sont équivalentes à nn, donc que leur différence tend vers 00. C'est une soustraction d'équivalents.

Encadrement de suites 1

Exercice 2. Limite de n!/nⁿ ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Montrer que n!nn\frac{n!}{n^n} tend vers 00.

Voir le début du corrigé
  1. Soit un=n!nn=1n×2n×⋯×nnu_n = \frac{n!}{n^n} = \frac{1}{n} \times \frac{2}{n} \times \dots \times \frac{n}{n}, produit de nn facteurs.

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Suites de sommes 1

Exercice 3. Série harmonique ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Soit Hn=∑k=1n1k.H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}. Montrer que H2n−Hn⩾12H_{2n} - H_n \geqslant \frac{1}{2}, puis que HnH_n tend vers +∞+\infty.

Voir le début du corrigé
  1. Hn+1−Hn=1n+1>0H_{n+1} - H_n = \frac{1}{n+1} > 0, donc (Hn)(H_n) est croissante.

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Encadrement de suites 1

Exercice 4. Limite d'une somme ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Limite de Sn=∑k=1n1n2+k.S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}.

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Limites de suites usuelles 1

Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Limites de an=(2n2−n+5)n+3(n+1)5/2a_n = \dfrac{(2n^2 - n + 5)\sqrt{n + 3}}{(n + 1)^{5/2}}, bn=nln⁡(1+3n2)b_n = n \ln\left(1 + \dfrac{3}{n^2}\right) et cn=(1+3n)nc_n = \left(1 + \dfrac{3}{n}\right)^n.

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Suites récurrentes 2

Exercice 6. Suite récurrente selon u₀ ★★

Classiques de khôlle et concours · 40 min · Écrit, type Agro-Véto

Soit u0≥0u_0 \geq 0 et un+1=f(un),u_{n+1} = f(u_n), avec f(x)=x2+23.f(x) = \frac{x^2 + 2}{3}. Étudier la suite selon u0u_0.

Voir le début du corrigé
  1. f est croissante sur R₊, et f(x) − x = (x − 1)(x − 2)/3. …

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Exercice 7. Suite récurrente convergente ★★★

Approfondissement · 35 min · Écrit, type G2E

Soit u0=1u_0 = 1 et un+1=11+un.u_{n+1} = \frac{1}{1 + u_n}. Montrer que (un)(u_n) converge et donner sa limite.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Suites adjacentes 1

Exercice 8 ★★★

Approfondissement · 45 min · Écrit, niveau plus difficile

Soit un=∑k=0n1k!u_n = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!} et vn=un+1n×n!v_n = u_n + \dfrac{1}{n \times n!} pour n≥1n \geq 1. Montrer que ces suites sont adjacentes, puis que leur limite LL est irrationnelle.

Voir le début du corrigé
  1. uₙ₊₁ − uₙ = 1/(n + 1)! > 0.

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Suites de sommes 1

Exercice 9 ★★★

Approfondissement · 30 min · Type oral, plus délicat

Soit wn=∑k=n+12n1kw_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{1}{k}. Montrer que wnw_n tend vers ln⁡2\ln 2. On admet que ln⁡(1+x)≤x\ln(1 + x) \leq x pour tout x>−1x > -1.

Voir le début du corrigé
  1. Avec x=1kx = \frac{1}{k}, ln⁡(k+1)−ln⁡k⩽1k\ln(k + 1) - \ln k \leqslant \frac{1}{k}.

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Fiche rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Analyse 5 : Suites réelles ». Elle couvre :

  • le vocabulaire des suites ;
  • la convergence ;
  • les opérations et théorèmes de comparaison ;
  • le théorème de la limite monotone ;
  • les suites adjacentes ;
  • les suites définies par une relation un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) ;
  • les croissances comparées et les équivalents.