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BCPST1 · Maths · semaine 20

Polynômes réels

Les polynômes sont définis comme fonctions polynomiales de R dans R, avec monômes, coefficients, coefficient dominant et degré. Degré d'une somme et d'un produit, polynôme dérivé. Racines réelles, factorisation par (x moins a), ordre de multiplicité et majoration du nombre de racines par le degré.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. En première année, un polynôme est une fonction, et deux polynômes sont égaux exactement quand ils ont les mêmes coefficients. C'est le fondement de l'identification.
  2. Le degré d'un produit est la somme des degrés. Le degré d'une somme est majoré par le maximum des degrés, avec chute possible.
  3. Un réel α\alpha est racine de PP si et seulement si PP se factorise par x−αx-\alpha. Le quotient a un degré diminué d'une unité lorsque PP est non nul.
  4. Un polynôme non nul de degré nn a au plus nn racines distinctes. S'il en a exactement nn, il s'écrit comme produit du coefficient dominant par les nn facteurs x−αix-\alpha_i.
  5. Une racine de PP est multiple si et seulement si elle annule aussi P′P'. Graphiquement, la courbe est tangente à l'axe des abscisses.
Pourquoi ce chapitre

Les polynômes sont les fonctions les plus simples après les fonctions affines. On les rencontre en sciences expérimentales :

  • Un bilan de matière conduit à une équation du second degré sur une concentration.
  • Un équilibre chimique à plusieurs espèces donne une équation de degré trois.
  • Un modèle de population discret fait apparaître une équation caractéristique polynomiale.
  • Les développements limités, vus plus tard dans l'année, consistent à approcher une fonction quelconque par un polynôme.

Le chapitre fixe trois outils :

  • Le degré, qui contrôle la taille des objets et la plupart des raisonnements.
  • La factorisation par x−αx-\alpha, qui relie racines et écriture factorisée.
  • Le lien entre racine multiple et annulation de la dérivée, qui sert à détecter les tangences.

AttentionCadre du programme

On travaille avec des fonctions, pas avec des objets formels.

Sont hors programme en première année :

  • La division euclidienne des polynômes.
  • La factorisation en produit d'irréductibles sur R\R.
  • Le théorème de d'Alembert-Gauss.
  • La notion de polynôme formel avec la notation R[X]\R[X].
  • Les fractions rationnelles.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour BCPST1.

Classiques et HP réservés

Prolongements et démonstrations de Maths.

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Fin de l'aperçu gratuit

Encore 11 parties de cours et 10 corrigés.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Recherche de polynômes 1

Exercice 1 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Trouver les réels aa, bb, cc tels que, pour tout réel xx, x2+1=a(x−1)(x−2)+b(x−1)+cx^2 + 1 = a(x - 1)(x - 2) + b(x - 1) + c.

Voir l'indice

Technique évaluation en des points bien choisis.

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Résultat

a=1a = 1, b=3b = 3, c=2c = 2.

  1. En x=1x = 1 : 2=c‾\underline{2 = c} (les termes en aa et bb s'annulent).
  2. En x=2x = 2 : 5=b+c5 = b + c, donc b=3‾\underline{b = 3}.
  3. Coefficient de x2x^2 : a=1a = 1 (propriété 1.6, identification des coefficients).
  4. Vérification : x2−3x+2+3x−3+2=x2+1x^2 - 3x + 2 + 3x - 3 + 2 = x^2 + 1.

piège : Résoudre un système 3×33 \times 3 sans voir que l'évaluation en 11 et en 22 découple les inconnues.

Existence et unicité 2

Exercice 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Montrer qu'il existe un unique polynôme P de degré au plus 2 tel que P(0) = 1, P(1) = 2 et P(2) = 5, et le déterminer.

Voir le début du corrigé
  1. Unicité : si PP et QQ conviennent, deg⁡(P−Q)⩽2\deg(P - Q) \leqslant 2 et P−QP - Q s'annule en 00, 11 et 22, donc P−Q=0P - Q = 0 (propriété 2.7, reconnaître le polynôme nul).

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Montrer que P(x)=x3+x+1P(x) = x^3 + x + 1 a exactement une racine réelle, et la localiser dans un intervalle de longueur 1/21/2.

Voir le début du corrigé
  1. deg⁡P=3\deg P = 3 impair, donc PP a au moins une racine (théorème 2.10, racine réelle en degré impair).

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Factorisation 1

Exercice 3. Factorisation d'un polynôme de degré 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 10 min · Khôlle

Factoriser complètement P(x)=x3−2x2−5x+6.P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6.

Voir le début du corrigé
  1. P(1)=1−2−5+6=0P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0 (racine évidente).

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Multiplicité des racines 3

Exercice 4. Racines et multiplicités ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Déterminer les racines réelles de P(x)=x4−2x3+2x−1P(x) = x^4 - 2x^3 + 2x - 1 et leurs ordres de multiplicité.

Voir le début du corrigé
  1. P(1)=0P(1) = 0 et P(−1)=1+2−2−1=0P(-1) = 1 + 2 - 2 - 1 = 0.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle vers écrit

Déterminer a et b pour que 1 soit racine au moins double de P(x) = x⁴ + ax + b. Factoriser alors P et préciser l'ordre de 1.

Voir le début du corrigé
  1. P(1)=1+a+b=0P(1) = 1 + a + b = 0 et P′(1)=4+a=0P'(1) = 4 + a = 0 (théorème 3.3, caractérisation d'une racine multiple).

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 9. Racine double ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit, type G2E

Soit n≥2n \geq 2 et P(x)=xn−nx+n−1.P(x) = x^n - nx + n - 1. Montrer que 11 est racine d'ordre exactement 22.

Voir le début du corrigé
  1. P(1)=0P(1) = 0 et P′(x)=nxn−1−nP'(x) = n x^{n-1} - n, donc P′(1)=0P'(1) = 0. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Équations fonctionnelles 2

Exercice 7. Polynômes 1-périodiques ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Déterminer les polynômes PP tels que P(x+1)=P(x)P(x + 1) = P(x) pour tout réel xx.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 8. Équation fonctionnelle polynomiale ★★★

Approfondissement · 30 min · Écrit, type Agro-Véto

Déterminer les polynômes PP tels que, pour tout réel xx, P(x2)=(x2+1)P(x).P(x^2) = (x^2 + 1)P(x).

Voir le début du corrigé
  1. Le polynôme nul convient. Soit P≠0P \neq 0, deg⁡P=n\deg P = n, de coefficient dominant aa.

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Racines de la dérivée 1

Exercice 10 ★★★

Approfondissement · 30 min · Écrit, niveau plus délicat

Soit PP de degré n≥2n \geq 2 possédant nn racines réelles distinctes. Montrer que P′P' possède n−1n - 1 racines réelles distinctes, toutes simples.

Voir le début du corrigé
  1. Soit α1<α2<⋯<αn\alpha_1 < \alpha_2 < \cdots < \alpha_n les racines de PP.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Algèbre – Polynômes réels ». Elle couvre les règles de calcul sur les polynômes, le degré, la dérivation, les racines réelles et la factorisation, ainsi que l'ordre de multiplicité. En première année, un polynôme est exclusivement une fonction polynomiale de R\R dans R\R.