Aller au contenu
Sup et Spé
Télécharger l'application

Accueil › BCPST › Maths

BCPST1 · Maths · semaine 18

Statistique descriptive

Caractères quantitatifs et qualitatifs, modalités, effectifs, fréquences et représentations graphiques. Caractéristiques de position et de dispersion avec moyenne, variance, écart-type, quartiles et déciles. Séries statistiques doubles, nuage de points, covariance, coefficient de corrélation et ajustement affine par les moindres carrés.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. On décrit une série par une caractéristique de position et une caractéristique de dispersion. Seul le couple des deux a du sens.
  2. Moyenne et variance se calculent aussi bien sur les observations brutes que sur le tableau des effectifs, en pondérant par les fréquences. La variance est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.
  3. Moyenne et écart-type sont sensibles aux valeurs extrêmes, médiane et quartiles ne le sont pas.
  4. La covariance dépend des unités, le coefficient de corrélation non. Quand il est défini, ce dernier est compris entre −1-1 et 11 et vaut ±1\pm1 si et seulement si les points sont alignés.
  5. La droite des moindres carrés a pour pente la covariance divisée par la variance de xx et passe par le point moyen. Elle ne mesure qu'une liaison affine et ne prouve aucune causalité.
Pourquoi ce chapitre

Un BCPST manipule des données :

  • une série de mesures de pH ;
  • une distribution de tailles de graines ;
  • des teneurs en calcaire le long d'une carotte sédimentaire ;
  • des temps de réaction enzymatique.

Décrire ces données avant de les modéliser est le premier réflexe scientifique.

RemarqueInterprétation

Ce chapitre reprend et fixe un vocabulaire vu au lycée. Il y a peu de démonstrations, mais de la rigueur de notation et un enjeu d'interprétation.

Le programme insiste sur les limites des résumés statistiques. Deux séries très différentes peuvent avoir la même moyenne.

RemarqueLiens avec les autres chapitres

Ce chapitre prépare :

  • les probabilités, où l'espérance et la variance d'une variable aléatoire reprennent la structure de la moyenne et de la variance empiriques ;
  • les fonctions de deux variables, où l'on justifie la droite des moindres carrés en cherchant un point critique.

AttentionEmpirique et théorique

  • Ici, tout est empirique, calculé sur des données observées.
  • En probabilités, tout est théorique, calculé sur un modèle.

Fin de l'aperçu gratuit

Encore 11 parties de cours et 9 corrigés.

Essayer 7 jours gratuitement Sans engagement · cours, exercices et fiches complets

Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Typologie des caractères 1

Exercice 1 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Classer les caractères suivants : groupe sanguin, nombre de pétales, masse d'une graine, pH d'un sol, stade larvaire codé 1, 2, 3, dureté de Mohs.

Voir l'indice

Technique distinguer qualitatif, discret, continu.

Voir le corrigé offert
  1. Groupe sanguin : qualitatif, seul le mode a un sens.
  2. Nombre de pétales : quantitatif discret, diagramme en bâtons.
  3. Masse d'une graine et pH : quantitatifs continus, regroupement en classes et histogramme.
  4. Stade larvaire et dureté de Mohs : qualitatifs ordonnés, codés par des nombres. On peut parler de médiane de rang, pas de moyenne ni de variance.

piège : Déclarer quantitatif tout caractère écrit avec des chiffres.

Résumés numériques 4

Exercice 3 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Établir la formule de développement de la variance. Une série de températures a pour moyenne 20 °C20\ \mathrm{°C} et écart-type 3 °C3\ \mathrm{°C}. Que deviennent-ils en degrés Fahrenheit, F=1,8 C+32F = 1{,}8\,C + 32 ?

Voir le début du corrigé
  1. Développement (voir section 2) : ∑(xi−xˉ)2=∑xi2−2xˉ∑xi+nxˉ2\sum (x_i - \bar x)^2 = \sum x_i^2 - 2\bar x \sum x_i + n\bar x^2 avec ∑xi=nxˉ\sum x_i = n\bar x, donc sx2=1n∑xi2−xˉ2‾\underline{s_x^2 = \frac{1}{n}\sum x_i^2 - \bar x^2} (propriété 3.2, formule de développement).

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

On compte les graines de 20 gousses : 3 graines (2 gousses), 4 (5), 5 (7), 6 (4), 7 (2). Donner fréquences cumulées, mode, médiane, moyenne et écart-type.

Voir le début du corrigé
  1. Effectifs cumulés : 22, 77, 1414, 1818, 2020. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Pour cc réel, on pose g(c)=∑(xi−c)2g(c) = \sum (x_i - c)^2. Montrer que g(c)=nsx2+n(x‾−c)2g(c) = n s_x^2 + n(\overline{x} - c)^2, et en déduire le minimum de gg.

Voir le début du corrigé
  1. xi−c=(xi−xˉ)+(xˉ−c)x_i - c = (x_i - \bar x) + (\bar x - c), on développe le carré.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Durées de germination en jours : 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 30. Comparer les résumés avec et sans la dernière valeur.

Voir le début du corrigé
  1. Avec 3030 : n=8n = 8, médiane 6+62=6\frac{6 + 6}{2} = 6, xˉ=718≈8,88\bar x = \frac{71}{8} \approx 8{,}88.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Séries groupées en classes 1

Exercice 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 40 min · Écrit, type Agro-Véto

Longueurs de 50 feuilles en cm : [2, 4[ (6 feuilles), [4, 6[ (14), [6, 10[ (22), [10, 16[ (8). Tracer l'histogramme, estimer la moyenne, la médiane, les quartiles et le neuvième décile.

Voir le début du corrigé
  1. Hauteurs : 62=3\frac{6}{2} = 3, 142=7\frac{14}{2} = 7, 224=5,5\frac{22}{4} = 5{,}5, 86≈1,33\frac{8}{6} \approx 1{,}33 (aire proportionnelle à l'effectif, définition 1.12, histogramme). …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Ajustement et corrélation 4

Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit

Dose d'engrais x et rendement y sur cinq parcelles : (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 5). Calculer r, la droite de y en x et la droite de x en y.

Voir le début du corrigé
  1. xˉ=3\bar x = 3, yˉ=4\bar y = 4, sx2=555−9=2s_x^2 = \frac{55}{5} - 9 = 2, sy2=865−16=1,2s_y^2 = \frac{86}{5} - 16 = 1{,}2 (propriété 3.2, formule de développement).

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit, type G2E

Une culture bactérienne compte, en milliers, 100100, 270270, 740740 et 20102010 cellules aux instants t=0,1,2,3t = 0, 1, 2, 3 heures. On propose N=Aexp⁡(kt)N = A \exp(kt). Estimer kk, AA et le temps de doublement.

Voir le début du corrigé
  1. Soit z=ln⁡Nz = \ln N (exemple 4.12, modèle exponentiel). …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 9 ★★★

Approfondissement · 35 min · Écrit, plus délicat

On suppose sx>0s_x > 0 et sy>0s_y > 0. Montrer que ∣r∣≤1|r| \leq 1, avec égalité si et seulement si les points sont alignés.

Voir le début du corrigé
  1. Pour t∈Rt \in \R, soit P(t)=1n∑(t(xi−xˉ)+(yi−yˉ))2=sx2t2+2sxyt+sy2‾\underline{P(t) = \frac{1}{n}\sum \big(t(x_i - \bar x) + (y_i - \bar y)\big)^2 = s_x^2 t^2 + 2 s_{xy} t + s_y^2}, trinôme de degré 22 car sx2>0s_x^2 > 0.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 10 ★★★

Approfondissement · 50 min · Écrit, plus délicat

Soit S(a,b)=∑(yi−axi−b)2S(a, b) = \sum (y_i - a x_i - b)^2, avec sx>0s_x > 0 et sy>0s_y > 0. Démontrer sans fonctions de deux variables que SS est minimale pour a=sxy/sx2a = s_{xy}/s_x^2 et b=y‾−ax‾b = \overline{y} - a \overline{x}, et que le minimum vaut nsy2(1−r2)n s_y^2 (1 - r^2).

Voir le début du corrigé
  1. À aa fixé, soit ci=yi−axic_i = y_i - a x_i. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Statistique 1 – Statistique descriptive ». Elle couvre :

  • la statistique univariée : vocabulaire, représentations graphiques, caractéristiques de position et de dispersion ;
  • la statistique bivariée : nuage de points, covariance, coefficient de corrélation, ajustement affine par la méthode des moindres carrés.