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BCPST1 · Maths · semaine 11

Fonctions réelles usuelles

Généralités sur les fonctions avec parité, périodicité, monotonie, opérations algébriques et composition. Plan d'étude d'une fonction, tableau de variations, tangente et asymptotes verticales et horizontales. Fonctions affines, puissances, racine carrée, exponentielle, logarithmes, fonctions circulaires, partie entière et valeur absolue.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Le domaine de définition, les symétries et les périodicités se déterminent avant tout calcul, et ils réduisent le travail.
  2. Le plan d'étude est fixe :
    • domaine ;
    • symétries ;
    • dérivée et signe ;
    • tableau de variations ;
    • limites et asymptotes ;
    • tangente ;
    • tracé.
  3. Exponentielle et logarithme sont réciproques l'un de l'autre, avec des graphes symétriques par rapport à la première bissectrice. Le logarithme transforme les produits en sommes.
  4. La notation aba^b se définit par ebln⁡a\e^{b\ln a}, ce qui restreint les fonctions puissances d'exposant non entier à R+∗\R_+^*.
  5. Pour la tangente : tan⁡′=1+tan⁡2=1cos⁡2.\begin{aligned} \tan'&=1+\tan^2\\ &=\frac{1}{\cos^2}. \end{aligned} La racine carrée n'est pas dérivable en 00, et la valeur absolue non plus.
Pourquoi ce chapitre

Le but est de consolider et d'enrichir modérément le registre des fonctions connues. Pour chaque fonction usuelle, le programme fixe une maîtrise précise :

  • la définition ;
  • les principales propriétés ;
  • la formule de dérivation avec son domaine de validité ;
  • la courbe représentative.

Les courbes sont des outils pour la modélisation et la reconnaissance des formes graphiques.

ExempleReconnaître une allure

  • Un biologiste qui voit un nuage de points se stabilisant vers un palier pense à une fonction bornée croissante.
  • Un chimiste qui voit une décroissance rapide pense à une exponentielle décroissante.

Savoir reconnaître une allure est une compétence scientifique.

RemarqueCadre du chapitre

Les notions de continuité, de dérivabilité et d'asymptotes obliques ne sont pas traitées ici, elles font l'objet de chapitres ultérieurs. On travaille de façon opératoire, en admettant les formules de dérivation des fonctions usuelles sur les domaines de validité précisés dans le catalogue.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Ensemble de définition 1

Exercice 1. Ensemble de définition ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f(x)=ln⁡(x2−3x+2)+x+1.f(x) = \ln(x^2 - 3x + 2) + \sqrt{x + 1}.

Voir l'indice

Technique conditions empilées, factorisation d'un trinôme.

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Résultat

D=[−1,1[∪]2,+∞[D = \intfo{-1}{1} \cup \intoo{2}{+\infty}.

  1. La racine impose x+1⩾0x + 1 \geqslant 0, soit x⩾−1x \geqslant -1 (définition 1.1, ensemble de définition).
  2. Le logarithme impose x2−3x+2>0x^2 - 3x + 2 > 0. Or x2−3x+2=(x−1)(x−2)‾\underline{x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)}, strictement positif pour x<1x < 1 ou x>2x > 2 (propriété 5.5, signe d'un trinôme).
  3. Donc D=[−1,1[∪]2,+∞[D = \intfo{-1}{1} \cup \intoo{2}{+\infty} (intersection des deux conditions).

piège : Écrire ⩾0\geqslant 0 pour le logarithme, ou oublier que −1-1 est inclus car la racine est définie en 00.

Étude de fonction 5

Exercice 4. Étude de x e−x ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Étudier la fonction f(x)=x e−xf(x) = x\,e^{-x} sur R\R.

Voir le début du corrigé
  1. f′(x)=e−x−xe−x=(1−x)e−x‾\underline{f'(x) = \e^{-x} - x\e^{-x} = (1 - x)\e^{-x}}, du signe de 1−x1 - x (e−x>0\e^{-x} > 0).

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Exercice 2. Étude de sin²(x) + cos(x) ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Étudier la fonction f(x)=sin⁡2(x)+cos⁡(x)f(x) = \sin^2(x) + \cos(x) et donner ses bornes.

Voir le début du corrigé
  1. ff est définie sur R\R, 2π2\pi-périodique, et paire car sin⁡2(−x)=sin⁡2(x)\sin^2(-x) = \sin^2(x) et cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos(-x) = \cos(x). …

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Exercice 3. Étude d'une fonction homographique ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Étudier la fonction f(x)=2x−1x+1 :f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}\,: asymptotes, variations, tangente en 00, tracé.

Voir le début du corrigé
  1. Domaine R∖{−1}\R \setminus \{-1\}, et f(x)=2−3x+1‾\underline{f(x) = 2 - \frac{3}{x + 1}}.

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Exercice 5. Comparer eπ et πe ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle vers écrit

Étudier la fonction f(x)=ln⁡(x)x,f(x) = \frac{\ln(x)}{x}, puis comparer eπe^{\pi} et πe\pi^{e}.

Voir le début du corrigé
  1. Domaine R+∗\R_+^*, f′(x)=1−ln⁡xx2‾\underline{f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}}, du signe de 1−ln⁡x1 - \ln x.

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Exercice 10. Étude de xˣ ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit, plus délicat

Étudier f(x)=xxf(x) = x^x sur R+∗\R_+^* : variations, limites, tangente en 11.

Voir le début du corrigé
  1. Par définition, f(x)=exln⁡xf(x) = \e^{x\ln x}, définie sur R+∗\R_+^* seulement (définition 3.12, puissance réelle).

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Inégalités 2

Exercice 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, type Agro-Véto

Montrer que ln⁡(1+x)≤x\ln(1 + x) \leq x pour tout x>−1x > -1. En déduire (1+1n)n≤e\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq e pour tout entier n≥1n \geq 1.

Voir le début du corrigé
  1. Soit g(x)=x−ln⁡(1+x)g(x) = x - \ln(1 + x) sur ]−1,+∞[\intoo{-1}{+\infty}. …

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Exercice 7. Dérivée de tan et inégalité ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Démontrer tan⁡′=1+tan⁡2,\tan' = 1 + \tan^2, puis montrer que tan⁡x≥x\tan x \geq x pour x∈[0,π/2[x \in [0, \pi/2[.

Voir le début du corrigé
  1. Sur ]−π/2,π/2[\intoo{-\pi/2}{\pi/2}, cos⁡\cos ne s'annule pas, et tan⁡′=1cos⁡2=1+tan⁡2\tan' = \frac{1}{\cos^2} = 1 + \tan^2 (calcul de la section 2, propriété 3.21, dérivée de la tangente).

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Croissance exponentielle 1

Exercice 8 ★

Application du cours · 15 min · Écrit, type Agro-Véto

Une population bactérienne vérifie N(t)=N0 2t/20N(t) = N_0 \, 2^{t/20}, tt en minutes. Calculer N′(t)N'(t). Au bout de combien de temps la population est-elle multipliée par 10001000 ? Que devient la courbe en échelle logarithmique ?

Voir le début du corrigé
  1. N(t)=N0 eln⁡220tN(t) = N_0\,\e^{\frac{\ln 2}{20}t} (définition 3.12, puissance réelle), donc N′(t)=ln⁡220N(t)‾\underline{N'(t) = \frac{\ln 2}{20} N(t)} : vitesse de croissance proportionnelle à l'effectif.

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Partie entière 1

Exercice 9 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Montrer que ⌊x+1⌋=⌊x⌋+1\lfloor x + 1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1, en déduire que φ(x)=x−⌊x⌋\varphi(x) = x - \lfloor x \rfloor est 11-périodique et tracer son graphe. Calculer ⌊x⌋+⌊−x⌋\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Analyse 2 : Fonctions réelles usuelles ». Elle couvre les généralités sur les fonctions d'une variable réelle, le plan d'étude d'une fonction et le catalogue des fonctions usuelles.