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BCPST1 · Maths · semaine 10

Suites réelles usuelles

Opérations sur les suites réelles, suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques. Suites vérifiant une relation de récurrence linéaire d'ordre deux et méthode de l'équation caractéristique. Algorithme de calcul du terme de rang n, illustré par des modèles discrets de populations.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Une suite arithmétique s'ajoute, un=u0+nru_n=u_0+nr. Une suite géométrique se multiplie, un=u0qnu_n=u_0q^n.
  2. Une arithmético-géométrique se ramène à une géométrique en retranchant le point fixe, qui est l'état d'équilibre du modèle.
  3. Pour un+2=aun+1+bunu_{n+2}=au_{n+1}+bu_n, on écrit r2=ar+br^2=ar+b. Les formes des solutions sont :
    • deux racines réelles distinctes : λr1n+μr2n\lambda r_1^n+\mu r_2^n ;
    • une racine double : (λ+μn)rn(\lambda+\mu n)r^n ;
    • deux racines complexes conjuguées ρe±iθ\rho\e^{\pm\ii\theta} : ρn(λcos⁡(nθ)+μsin⁡(nθ))\rho^n\bigl(\lambda\cos(n\theta)+\mu\sin(n\theta)\bigr).
  4. Les constantes λ\lambda et μ\mu se déterminent toujours en dernier, à partir des conditions initiales.
  5. Chaque type de suite se programme par une boucle, avec une variable d'état pour l'ordre un et deux pour l'ordre deux.
Pourquoi ce chapitre

Le point de vue de ce chapitre est algébrique, et non analytique. Il ne s'agit pas encore d'étudier des limites, mais d'apprendre à calculer :

  • reconnaître un type de suite ;
  • en donner le terme général ;
  • savoir le programmer.

Les questions de convergence, de monotonie et de limites viendront dans un chapitre ultérieur d'analyse.

ExempleModèles discrets de populations

Les modèles discrets de populations sont des suites récurrentes.

  • Une population qui croît d'un pourcentage fixe par génération donne une suite géométrique.
  • Une population avec apport constant et mortalité proportionnelle donne une suite arithmético-géométrique.
  • Un modèle où l'effectif dépend des deux générations précédentes, comme le modèle de Fibonacci pour une population de lapins ou certains modèles de dynamique de graines, donne une récurrence linéaire d'ordre deux.

Chaque formule de ce chapitre se traduit en quelques lignes de code. Le programme demande explicitement un algorithme de calcul du nn-ième terme.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Calcul de somme 2

Exercice 1 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Calculer la somme des n premiers entiers impairs, puis celle des multiples de 7 compris entre 100 et 500.

Voir l'indice

Technique nombre de termes fois moyenne des extrêmes.

Voir le corrigé offert
  1. Les impairs 1, 3, …, 2n − 1 forment une suite arithmétique à n termes. La somme vaut n(1 + 2n − 1)/2 = n².
  2. Le premier multiple de 7 au moins égal à 100 est 105 = 7 × 15, le dernier au plus égal à 500 est 497 = 7 × 71.
  3. Il y a 71 − 15 + 1 = 57 termes, de somme 57 × (105 + 497)/2 = 57 × 301 = 17 157.

piège : Compter 56 termes. Entre les rangs p et n inclus, il y en a n − p + 1.

Exercice 2 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Un arbre produit 100 graines la première année, puis chaque année 10 % de plus que la précédente. Quel est le total sur les n premières années ?

Voir le début du corrigé
  1. Soit pk=100×1,1k−1p_k = 100 \times 1{,}1^{k-1} la production de l'année k⩾1k \geqslant 1 (géométrique de raison 1,11{,}1).

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Modèles de population 2

Exercice 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle, modèle de population

Un étang contient u0u_0 poissons. Chaque année, la population croît de 20 %, puis 300 poissons sont pêchés. Déterminer unu_n et discuter selon que u0=2000u_0 = 2000 ou u0=1000u_0 = 1000.

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Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit, d'après un modèle discret de population

Une population compte jnj_n juvéniles et ana_n adultes l'année nn, avec jn+1=2anj_{n+1} = 2a_n et an+1=jn4+an2a_{n+1} = \frac{j_n}{4} + \frac{a_n}{2}. On part de j0=0j_0 = 0 et a0=10a_0 = 10. Déterminer ana_n.

Voir le début du corrigé
  1. Pour tout n⩾0n \geqslant 0, an+2=jn+14+an+12=an+12+an2a_{n+2} = \frac{j_{n+1}}{4} + \frac{a_{n+1}}{2} = \frac{a_{n+1}}{2} + \frac{a_n}{2} (jn+1=2anj_{n+1} = 2a_n).

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Récurrences linéaires d'ordre 2 3

Exercice 4. Suite récurrente linéaire d'ordre 2 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Déterminer la suite définie par u0=1u_0 = 1, u1=6u_1 = 6 et un+2=6un+1−9un.u_{n+2} = 6u_{n+1} - 9u_n.

Voir le début du corrigé
  1. L'équation caractéristique r2−6r+9=0r^2 - 6r + 9 = 0 a la racine double 33, donc un=(λ+μn) 3nu_n = (\lambda + \mu n)\,3^n (propriété 5.5).

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Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Écrit, type Agro-Véto

Suite de Fibonacci : F0=0F_0 = 0, F1=1F_1 = 1, Fn+2=Fn+1+FnF_{n+2} = F_{n+1} + F_n. Avec φ=1+52\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} et ψ=1−52\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, montrer que Fn=φn−ψn5F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}, puis que FnF_n est l'entier le plus proche de φn5\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}.

Voir le début du corrigé
  1. L'équation r2−r−1=0r^2 - r - 1 = 0 a pour racines φ\varphi et ψ\psi, donc Fn=λφn+μψnF_n = \lambda\varphi^n + \mu\psi^n (propriété 5.4, deux racines réelles distinctes).

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Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit

Déterminer la suite définie par u0=1u_0 = 1, u1=2u_1 = 2 et un+2=un+1−unu_{n+2} = u_{n+1} - u_n. Montrer qu'elle est périodique.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Programmation de suites 1

Exercice 6 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Écrire une fonction Python renvoyant FnF_n, puis une autre renvoyant F0+F1+⋯+FnF_0 + F_1 + \dots + F_n. Vérifier pour n=5n = 5.

Voir le début du corrigé
  1. On pose a, b = 0, 1, on répète nn fois a, b = b, a + b, et on renvoie a. …

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Suites arithmético-géométriques 2

Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, énoncé guidé

Soit u0=0u_0 = 0 et un+1=2un+nu_{n+1} = 2u_n + n. (a) Trouver α\alpha et β\beta tels que wn=αn+βw_n = \alpha n + \beta vérifie la même relation. (b) En déduire unu_n.

Voir le début du corrigé
  1. On veut α(n+1)+β=2αn+2β+n\alpha(n + 1) + \beta = 2\alpha n + 2\beta + n pour tout nn. …

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Exercice 10. Suite homographique ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, type oral Centrale

Soit u0=12u_0 = \frac{1}{2} et un+1=3un1+2un.u_{n+1} = \frac{3u_n}{1 + 2u_n}. Déterminer unu_n.

Voir le début du corrigé
  1. Par récurrence, un>0u_n > 0 : vrai au rang 00, et si un>0u_n > 0, alors 3un>03u_n > 0 et 1+2un>01 + 2u_n > 0 (théorème 4.1, principe de récurrence). …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Analyse 1, Suites réelles usuelles ». Elle couvre :

  • les opérations sur les suites ;
  • les suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques ;
  • les suites vérifiant une relation de récurrence linéaire d'ordre deux.