Aller au contenu
Sup et Spé
Télécharger l'application

Accueil › BCPST › Maths

BCPST1 · Maths · semaine 28

Fonctions réelles de deux variables

Sous-ensembles du plan, fonctions de deux variables, fonctions partielles, surface représentative et lignes de niveau. Continuité sur un pavé ouvert, dérivées partielles et fonctions de classe C 1. Gradient, dérivées partielles d'ordre deux avec le théorème de Schwarz admis, et notion de point critique.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Une fonction de deux variables se comprend par ses fonctions partielles et par ses lignes de niveau, qui sont les courbes de niveau d'une carte.
  2. Une dérivée partielle se calcule en figeant l'autre variable. Elle mesure la sensibilité à une seule variable.
  3. Le gradient rassemble les deux dérivées partielles. Lorsqu'il est non nul, il est orthogonal à la ligne de niveau et pointe vers la plus forte croissance.
  4. Pour de petites variations, la variation de ff est la somme des contributions de chaque variable, pondérées par les dérivées partielles.
  5. Un extremum local sur un pavé ouvert est un point critique, mais un point critique n'est pas toujours un extremum, comme le montre le point col. Aucune condition suffisante n'est au programme.
Pourquoi ce chapitre

ExempleGrandeurs dépendant de deux paramètres

  • La pression d'un gaz dépend du volume et de la température.
  • L'altitude d'un point dépend de deux coordonnées géographiques.
  • La vitesse d'une réaction enzymatique dépend de la concentration en substrat et de celle en inhibiteur.
  • La croissance d'une plante dépend de l'éclairement et de l'apport en eau.

Le chapitre fournit trois objets :

  • les lignes de niveau, qui sont exactement les courbes de niveau d'une carte topographique, les isothermes d'une carte météo ou les isobares d'un diagramme ;
  • les dérivées partielles, qui mesurent la sensibilité de la grandeur à chaque variable prise séparément, ce qui est le calcul d'incertitude des sciences expérimentales ;
  • le gradient, qui indique la direction de plus forte variation.

AttentionLimites du programme

Toute condition suffisante d'extrémalité est hors programme : on se limite à la notion de point critique.

  • La continuité ne peut donner lieu à aucune question en mathématiques.
  • On ne demandera jamais de démontrer qu'une fonction est de classe C1\mathcal C^1.

Fin de l'aperçu gratuit

Encore 13 parties de cours et 9 corrigés.

Essayer 7 jours gratuitement Sans engagement · cours, exercices et fiches complets

Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Les exercices se suivent : garde leur ordre. Difficulté et durée indicatives.

Exercice 1. Domaine de définition ★

Application du cours · 10 min · Khôlle · Domaine de définition

Déterminer et représenter le domaine DD de la fonction f(x,y)=y−x2ln⁡(2−y).f(x, y) = \frac{\sqrt{y - x^2}}{\ln(2 - y)}.

Voir l'indice

Technique traduire chaque contrainte en inégalité.

Voir le corrigé offert
Résultat

D={(x,y)∈R2∣x2⩽y<2, y≠1}D = \{(x, y) \in \R^2 \mid x^2 \leqslant y < 2,\ y \neq 1\}, région entre la parabole y=x2y = x^2 (incluse) et la droite y=2y = 2 (exclue), privée du segment y=1y = 1, −1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1.

  1. Racine : y−x2⩾0y - x^2 \geqslant 0, donc y⩾x2‾\underline{y \geqslant x^2} (au-dessus de la parabole, bord compris).
  2. Logarithme : 2−y>02 - y > 0, donc y<2‾\underline{y < 2} (demi-plan ouvert).
  3. Dénominateur : ln⁡(2−y)≠0  ⟺  2−y≠1  ⟺  y≠1‾\ln(2 - y) \neq 0 \iff 2 - y \neq 1 \iff \underline{y \neq 1}.
  4. Donc DD est la région entre la parabole (incluse) et la droite y=2y = 2 (exclue), privée du segment y=1y = 1, −1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1 : D={x2⩽y<1}∪{x2⩽y, 1<y<2}D = \{x^2 \leqslant y < 1\} \cup \{x^2 \leqslant y,\ 1 < y < 2\}.

piège : Oublier que le logarithme s'annule en 11, ou tracer y=2y = 2 en trait plein.

Exercice 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle · Dérivées partielles

Pour f(x,y)=xyf(x, y) = xy, donner les fonctions partielles en (a,b)(a, b), les lignes de niveau et l'allure de la surface, puis comparer avec x2−y2x^2 - y^2.

Voir le début du corrigé
  1. x↦bx‾\underline{x \mapsto bx} et y↦ay‾\underline{y \mapsto ay} sont linéaires, donc les sections parallèles aux axes sont des droites.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 3 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle · Dérivées partielles

Sur ]0,+∞[×]0,+∞[]0, +\infty[ \times ]0, +\infty[, on pose f(x,y)=ln⁡(x2+y2)f(x, y) = \ln(x^2 + y^2). Calculer le gradient, l'interpréter, vérifier Schwarz.

Voir le début du corrigé
  1. ∂f∂x=2xx2+y2‾\underline{\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}} et ∂f∂y=2yx2+y2‾\underline{\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2}} (dérivée de ln⁡u\ln u : u′u\frac{u'}{u}).

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 4 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle, lien avec la physique · Propagation d'erreurs

Pour le pendule simple, g=4π2LT2g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2}. On a L=1,000 mL = 1{,}000 \ \mathrm{m} à 1 mm1 \ \mathrm{mm} près et T=2,00 sT = 2{,}00 \ \mathrm{s} à 0,01 s0{,}01 \ \mathrm{s} près. Estimer l'incertitude relative sur gg.

Voir le début du corrigé
  1. ∂g∂L=gL\frac{\partial g}{\partial L} = \frac{g}{L} et ∂g∂T=−8π2LT3=−2gT\frac{\partial g}{\partial T} = -\frac{8\pi^2 L}{T^3} = -\frac{2g}{T}.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle · Dérivées partielles

L'altitude est h(x,y)=100−x2−2y2h(x, y) = 100 - x^2 - 2y^2. Un randonneur suit le cercle (cos⁡t,sin⁡t)(\cos t, \sin t). Calculer sa vitesse d'ascension, puis trouver des chemins à altitude constante.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle vers écrit · Points critiques

Pour f(x,y)=x2+xy+y2−3xf(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x sur R2\mathbb{R}^2, trouver les points critiques, puis montrer que ff admet un minimum global.

Voir le début du corrigé
  1. ∂f∂x=2x+y−3\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - 3 et ∂f∂y=x+2y\frac{\partial f}{\partial y} = x + 2y. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit, entraînement · Points critiques

Pour f(x,y)=x3+y3−3xyf(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy sur R2\mathbb{R}^2, trouver les points critiques, montrer que l'origine n'est pas un extremum et que ff n'a pas d'extremum global.

Voir le début du corrigé
  1. ∂f∂x=3x2−3y\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y et ∂f∂y=3y2−3x\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x, donc le système s'écrit y=x2y = x^2 et x=y2x = y^2.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit, entraînement · Moindres carrés

On se donne nn points (xi,yi)(x_i, y_i), les xix_i non tous égaux. Montrer que S(a,b)=∑(yi−axi−b)2S(a, b) = \sum (y_i - a x_i - b)^2 a un unique point critique. Application aux points (0,1)(0, 1), (1,3)(1, 3), (2,4)(2, 4), (3,6)(3, 6).

Voir le début du corrigé
  1. ∂S∂b=−2∑i=1n(yi−axi−b)=0\frac{\partial S}{\partial b} = -2\sum_{i=1}^{n} (y_i - a x_i - b) = 0 donne b=yˉ−axˉ‾\underline{b = \bar y - a \bar x}.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 9 ★★★

Approfondissement · 40 min · Écrit, plus exigeant · Moindres carrés

Montrer sans condition suffisante que le point critique de l'exercice 8 est un minimum global.

Voir le début du corrigé
  1. Soit aa fixé et c=yˉ−axˉc = \bar y - a \bar x. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 10 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, lien avec les fonctions d'état · Existence de potentiel

Existe-t-il ff de classe C2C^2 sur R2\mathbb{R}^2 telle que ∂f∂x=2xy+1\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 1 et ∂f∂y=x2+3y2\dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3y^2 ? Même question avec ∂f∂x=y\dfrac{\partial f}{\partial x} = y et ∂f∂y=−x\dfrac{\partial f}{\partial y} = -x.

Voir le début du corrigé
  1. Premier cas : ∂(2xy+1)∂y=2x=∂(x2+3y2)∂x\frac{\partial (2xy + 1)}{\partial y} = 2x = \frac{\partial (x^2 + 3y^2)}{\partial x}. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Analyse 10 – Fonctions réelles de deux variables réelles ». Elle couvre :

  • les sous-ensembles du plan ;
  • les fonctions partielles ;
  • la surface représentative et les lignes de niveau ;
  • la continuité ;
  • les dérivées partielles et la classe C1\mathcal C^1 ;
  • le gradient ;
  • la dérivation le long d'un chemin ;
  • les points critiques ;
  • les dérivées partielles d'ordre deux.