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BCPST1 · Maths · semaine 29

Espace vectoriel Kn et sous-espaces vectoriels

Structure vectorielle de Kn, combinaisons linéaires et règles de calcul rattachées au calcul vectoriel du plan et de l'espace. Sous-espaces vectoriels, familles génératrices, familles libres, bases et dimension. Rang d'une famille de vecteurs et lien avec les systèmes linéaires et les matrices.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Kn\K^n se manipule avec les règles de calcul des vecteurs du plan et de l'espace. Tout repose sur la notion de combinaison linéaire.
  2. Un sous-espace vectoriel contient le vecteur nul et est stable par combinaison linéaire. L'intersection de sous-espaces en est un, la réunion n'en est pas un en général.
  3. Une famille génératrice permet d'écrire tout vecteur, une famille libre garantit l'unicité de cette écriture. Une base fait les deux.
  4. Toutes les bases d'un sous-espace ont le même nombre d'éléments, c'est la dimension. En dimension pp connue, une famille de pp vecteurs libre ou génératrice est automatiquement une base.
  5. Le rang d'une famille est la dimension de l'espace qu'elle engendre. Il se calcule par la méthode du pivot et vaut le nombre de vecteurs si et seulement si la famille est libre.
Pourquoi ce chapitre

Un état d'un système se décrit souvent par plusieurs nombres :

  • les effectifs de trois classes d'âge d'une population ;
  • les concentrations de quatre espèces dans un réacteur ;
  • les coordonnées d'un point dans l'espace.

Chacun de ces états est un nn-uplet, c'est-à-dire un vecteur de Kn\K^n.

L'algèbre linéaire fournit le langage qui organise ces objets. Elle permet de dire combien de paramètres indépendants décrivent vraiment une situation, c'est-à-dire quelle est la dimension. Elle permet aussi de savoir si une donnée est redondante, c'est-à-dire si une famille est liée.

ExempleRéactions chimiques

En chimie, on sait ainsi combien de réactions indépendantes suffisent à décrire un système, en combinant linéairement les vecteurs stœchiométriques.

RemarqueCadre du programme

La notion générale et abstraite d'espace vectoriel est réservée à la seconde année. En première année, tout se passe dans Kn\K^n, et l'accent est mis sur :

  • le calcul ;
  • les systèmes linéaires ;
  • les matrices.

Les démonstrations des grands théorèmes de dimension ne sont pas exigibles, plusieurs résultats sont explicitement admis.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Sous-espaces vectoriels 2

Exercice 1 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Lesquels de ces ensembles sont des sous-espaces de R3\mathbb{R}^3 : A={x+y+z=1}A = \{x + y + z = 1\}, B={x+y=0 et z=2x}B = \{x + y = 0 \text{ et } z = 2x\}, C={xy=0}C = \{xy = 0\}, D={x≤y}D = \{x \leq y\} ?

Voir l'indice

Technique tester 00, puis chercher un contre-exemple ou reconnaître un système homogène.

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Résultat

seul BB est un sous-espace de R3\R^3, et B=Vect⁡((1,−1,2))B = \operatorname{Vect}\big((1, -1, 2)\big).

  1. AA ne contient pas (0,0,0)(0, 0, 0), puisque 0≠10 \neq 1. Non.
  2. BB est l'ensemble des solutions d'un système homogène : oui. Précisément, B=Vect⁡((1,−1,2))‾\underline{B = \operatorname{Vect}\big((1, -1, 2)\big)}.
  3. CC contient (1,0,0)(1, 0, 0) et (0,1,0)(0, 1, 0), pas leur somme (1,1,0)(1, 1, 0) (car 1×1≠01 \times 1 \neq 0). Non.
  4. DD contient (0,1,0)(0, 1, 0), pas son opposé (0,−1,0)(0, -1, 0), car 0⩽−10 \leqslant -1 est faux. Non.

piège : Conclure « sous-espace » dès que 00 appartient à l'ensemble. CC et DD contiennent 00.

Exercice 10 ★★★

Approfondissement · 25 min · Oral, plus délicat

Soient FF et GG deux sous-espaces de Kn\mathbb{K}^n. Montrer que F∪GF \cup G est un sous-espace si et seulement si F⊂GF \subset G ou G⊂FG \subset F.

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  1. Si F⊂GF \subset G, alors F∪G=GF \cup G = G est un sous-espace. …

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Base et dimension 4

Exercice 2 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Soit F={(x,y,z,t)∈R4:x+y+z+t=0 et x−y+z−t=0}F = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 : x + y + z + t = 0 \text{ et } x - y + z - t = 0\}. Donner une base et la dimension de FF.

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  1. En soustrayant les équations, y=−t‾\underline{y = -t}. …

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Exercice 4 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Montrer que B=((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1))\mathcal{B} = ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)) est une base de R3\mathbb{R}^3 et donner les coordonnées de (x,y,z)(x, y, z) dans B\mathcal{B}.

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  1. On cherche aa, bb, cc avec a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1)=(x,y,z)a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1) = (x, y, z).

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Exercice 5. Égalité de deux sous-espaces engendrés ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Montrer que Vect⁡((1,2,1),(1,0,−1))=Vect⁡((2,2,0),(0,2,2)).\begin{aligned} &\operatorname{Vect}\big((1, 2, 1), (1, 0, -1)\big) \\ &= \operatorname{Vect}\big((2, 2, 0), (0, 2, 2)\big). \end{aligned}

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  1. On note FF le premier Vect⁡\operatorname{Vect}, GG le second. …

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Exercice 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Écrit, type Agro-Véto

Dans R3\mathbb{R}^3 muni du produit scalaire usuel, u=(1,1,1)u = (1, 1, 1), v=(1,−1,0)v = (1, -1, 0), w=(1,1,−2)w = (1, 1, -2). Montrer que (u,v,w)(u, v, w) est une base et donner les coordonnées de (1,2,3)(1, 2, 3).

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  1. u⋅v=0u \cdot v = 0, u⋅w=1+1−2=0u \cdot w = 1 + 1 - 2 = 0, v⋅w=1−1+0=0v \cdot w = 1 - 1 + 0 = 0. …

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Liberté d'une famille 2

Exercice 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Pour aa réel, u=(1,1,a)u = (1, 1, a), v=(1,a,1)v = (1, a, 1), w=(a,1,1)w = (a, 1, 1). Pour quels aa la famille (u,v,w)(u, v, w) est-elle libre ?

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  1. λu+μv+νw=0\lambda u + \mu v + \nu w = 0 donne λ+μ+aν=0\lambda + \mu + a\nu = 0, λ+aμ+ν=0\lambda + a\mu + \nu = 0, aλ+μ+ν=0a\lambda + \mu + \nu = 0.

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Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, type G2E

Soient v1=(1,0,1)v_1 = (1, 0, 1), v2=(2,1,0)v_2 = (2, 1, 0), v3=(0,1,−2)v_3 = (0, 1, -2), v4=(1,1,1)v_4 = (1, 1, 1). Calculer le rang de la famille et en extraire une base de R3\mathbb{R}^3.

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  1. Quatre vecteurs dans R3\R^3 : famille liée d'avance.

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Espace propre 1

Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, type Agro-Véto

AA est la matrice de lignes (2,1)(2, 1) et (1,2)(1, 2). Pour λ\lambda réel, Eλ={X∈R2:AX=λX}E_\lambda = \{X \in \mathbb{R}^2 : AX = \lambda X\}. Montrer que EλE_\lambda est un sous-espace et trouver les λ\lambda tels que Eλ≠{0}E_\lambda \neq \{0\}. Montrer que u=(1,1)u = (1, 1) et v=(1,−1)v = (1, -1) forment une base de R2\mathbb{R}^2, puis, pour X=au+bvX = au + bv, exprimer AnXA^n X dans cette base pour tout entier n≥1n \geq 1.

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  1. AX=λXAX = \lambda X équivaut au système homogène (2−λ)x+y=0(2 - \lambda)x + y = 0, x+(2−λ)y=0x + (2 - \lambda)y = 0. …

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Intersection de sous-espaces 1

Exercice 9. Intersection d'un plan et d'un sous-espace ★

Application du cours · 10 min · Écrit

Soient P={x+y+z=0}P = \{x + y + z = 0\} et Q=Vect⁡((1,0,1),(0,1,1)).Q = \operatorname{Vect}\big((1, 0, 1), (0, 1, 1)\big). Déterminer P∩QP \cap Q.

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  1. Un vecteur de QQ s'écrit a(1,0,1)+b(0,1,1)=(a,b,a+b)‾\underline{a(1, 0, 1) + b(0, 1, 1) = (a, b, a + b)}.

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Fiche rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Algèbre linéaire 3 : Espace vectoriel Kn\K^n et sous-espaces vectoriels ». Elle couvre :

  • la structure vectorielle de Kn\K^n ;
  • les combinaisons linéaires ;
  • les sous-espaces vectoriels ;
  • les familles génératrices, libres et les bases ;
  • la dimension ;
  • le rang d'une famille de vecteurs.