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BCPST2 · Maths · semaine 11

Espaces vectoriels

Structure générale d'espace vectoriel sur R ou C, illustrée par Kn, les matrices, les fonctions et les polynômes. Sous-espaces vectoriels, intersection, sous-espace engendré par une famille finie et notation Vect. Familles génératrices, familles libres, bases, dimension finie et rang d'une famille de vecteurs.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Un espace vectoriel est un ensemble où l'on peut additionner et multiplier par un scalaire. Les exemples du programme sont :
    • Kn\K^n ;
    • les matrices ;
    • les fonctions ;
    • K[X]\K[X] ;
    • Kn[X]\K_n[X].
  2. Un sous-espace vectoriel est une partie contenant le vecteur nul et stable par combinaison linéaire. Une intersection de sous-espaces en est un, pas une réunion en général.
  3. Une base est une famille à la fois libre et génératrice, et c'est équivalent à l'unicité de l'écriture de chaque vecteur en coordonnées.
  4. En dimension nn :
    • une famille libre a au plus nn vecteurs ;
    • une famille génératrice a au moins nn vecteurs ;
    • une famille de nn vecteurs libre ou génératrice est une base.
  5. Le rang d'une famille est la dimension de l'espace qu'elle engendre. Il se calcule comme le rang de la matrice des coordonnées, dans n'importe quelle base.
Pourquoi ce chapitre

En première année, l'algèbre linéaire se pratique dans Kn\K^n, l'espace des nn-uplets. Ce chapitre reprend les mêmes concepts et les installe dans un cadre plus large, où les vecteurs peuvent être :

  • des matrices ;
  • des fonctions ;
  • des polynômes.

Les ensembles suivants sont tous des objets de même nature, avec une dimension qui compte les degrés de liberté du modèle :

  • l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène ;
  • l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène ;
  • l'ensemble des polynômes de degré au plus 22 utilisés pour un ajustement de données.

Le programme demande de faire cette adaptation avec brièveté, en gardant du temps pour les exemples.

AttentionLimites du programme

Deux points sont explicitement exclus :

  • la somme de sous-espaces vectoriels ;
  • l'étude des espaces de suites.

DéfinitionCorps des scalaires

Dans tout le cours, K\K désigne R\R ou C\C.

Les vecteurs peuvent être des matrices, des fonctions ou des polynômes.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Sous-espaces et bases 4

Exercice 1 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Parmi ces parties de R3\mathbb{R}^3, lesquelles sont des sous-espaces ? A={x+2y−z=0}A = \{x + 2y - z = 0\}, B={x=y2}B = \{x = y^2\}, C={xy=0}C = \{xy = 0\}, D={x=y=z}D = \{x = y = z\}. Donner une base de ceux qui en sont.

Voir l'indice

Technique vecteur nul, contre-exemple explicite, paramétrage.

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Résultat

AA et DD sont des sous-espaces, BB et CC non. Base de AA : ((1,0,1),(0,1,2))((1, 0, 1), (0, 1, 2)), dim⁡A=2\dim A = 2. Base de DD : ((1,1,1))((1, 1, 1)).

  1. AA : z=x+2yz = x + 2y, donc (x,y,z)=x(1,0,1)+y(0,1,2)‾\underline{(x, y, z) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 2)} et A=Vect⁡((1,0,1),(0,1,2))A = \operatorname{Vect}((1, 0, 1), (0, 1, 2)) (propriété 2.8, plus petit sous-espace contenant la famille). Deux vecteurs non colinéaires, donc base (propriété 3.4, familles liées), dim⁡A=2\dim A = 2.
  2. (1,1,0)∈B(1, 1, 0) \in B et 0∈B0 \in B, mais (2,2,0)∉B(2, 2, 0) \notin B car 2≠22=42 \neq 2^2 = 4. Donc BB n'est pas un sous-espace (non stable, définition 2.1, sous-espace vectoriel).
  3. (1,0,0)∈C(1, 0, 0) \in C et (0,1,0)∈C(0, 1, 0) \in C, mais (1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)∉C(1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0) \notin C. Donc CC n'est pas un sous-espace.
  4. D=Vect⁡((1,1,1))D = \operatorname{Vect}((1, 1, 1)), droite de base ((1,1,1))((1, 1, 1)).

piège : Conclure pour BB parce qu'il contient 00. Ce test élimine, il ne prouve rien.

Exercice 2 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Montrer que l'ensemble S2S_2 des matrices symétriques de M2(R)M_2(\mathbb{R}) est un sous-espace, en donner une base et la dimension.

Voir le début du corrigé
  1. Soit EijE_{ij} la matrice dont le seul coefficient non nul est un 11 en ligne ii, colonne jj. …

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Exercice 3 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Soit F={P∈R3[X]:P(1)=P(−1)=0}F = \{P \in \mathbb{R}_3[X] : P(1) = P(-1) = 0\}. Montrer que FF est un sous-espace et en donner une base.

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Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, type Agro-Véto

Soit AA de lignes (1,1)(1, 1) et (0,1)(0, 1), et C={M∈M2(R):AM=MA}C = \{M \in M_2(\mathbb{R}) : AM = MA\}. Montrer que CC est un sous-espace, en donner une base, puis montrer que C=Vect⁡(I,A)C = \operatorname{Vect}(I, A).

Voir le début du corrigé
  1. 0∈C0 \in C. Si M,M′∈CM, M' \in C, A(λM+μM′)=λMA+μM′A=(λM+μM′)AA(\lambda M + \mu M') = \lambda MA + \mu M'A = (\lambda M + \mu M')A (définition 2.1, sous-espace vectoriel).

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Liberté de familles 3

Exercice 4. Rang d'une famille de fonctions ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Sur R\R, déterminer le rang de (1,cos⁡,cos⁡2,g)(1, \cos, \cos^2, g), où g(x)=cos⁡(2x).g(x) = \cos(2x).

Voir le début du corrigé
  1. g=2cos⁡2−1g = 2\cos^2 - 1 (propriété 2.2, formules de duplication), donc la famille est liée (propriété 3.4, familles liées) et rg⁡(1,cos⁡,cos⁡2,g)⩽3\operatorname{rg}(1, \cos, \cos^2, g) \leqslant 3.

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Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit, type G2E

Soient a1<⋯<ana_1 < \dots < a_n réels et fk(x)=eakxf_k(x) = e^{a_k x}. Montrer que (f1,…,fn)(f_1, \dots, f_n) est libre. En déduire une base de l'espace SS des solutions sur R\mathbb{R} de y′′−3y′+2y=0y'' - 3y' + 2y = 0.

Voir le début du corrigé
  1. Supposons ∑k=1nλkfk=0\sum_{k=1}^{n} \lambda_k f_k = 0 avec des λk\lambda_k non tous nuls, et soit m=max⁡{k:λk≠0}m = \max\{k : \lambda_k \neq 0\}.

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Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Plus délicat, type oral Agro-Véto

Soit (x1,…,xk)(x_1, \dots, x_k) libre dans EE et y∉Vect⁡(x1,…,xk)y \notin \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_k). Montrer que (x1,…,xk,y)(x_1, \dots, x_k, y) est libre. Application : compléter u=(1,1,0)u = (1, 1, 0) et v=(0,1,1)v = (0, 1, 1) en une base de R3\mathbb{R}^3.

Voir le début du corrigé
  1. Supposons ∑i=1kλixi+μy=0E\sum_{i=1}^{k} \lambda_i x_i + \mu y = 0_E. …

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Bases de polynômes 3

Exercice 6. Base de dérivées successives ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, type Agro-Véto

Soit P∈Rn[X]P \in \R_n[X] de degré nn.

Montrer que (P,P′,…,P(n))(P, P', \dots, P^{(n)}) est une base de Rn[X]\R_n[X].

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  1. Soit a≠0a \neq 0 le coefficient dominant de PP. …

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Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, type Agro-Véto

Soient a,b,ca, b, c réels distincts, La=(X−b)(X−c)(a−b)(a−c)L_a = \dfrac{(X - b)(X - c)}{(a - b)(a - c)}, et LbL_b, LcL_c de même. Montrer que (La,Lb,Lc)(L_a, L_b, L_c) est une base de R2[X]\mathbb{R}_2[X] et que les coordonnées de PP y sont (P(a),P(b),P(c))(P(a), P(b), P(c)).

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  1. a,b,ca, b, c distincts, donc dénominateurs non nuls. …

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Exercice 10. Polynômes s'annulant en a ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Plus délicat, type écrit G2E

Soit aa réel, n≥1n \geq 1, et F={P∈Rn[X]:P(a)=0}.F = \{P \in \R_n[X] : P(a) = 0\}.

Montrer que dim⁡F=n\dim F = n sans factoriser.

Voir le début du corrigé
  1. FF est un sous-espace (l'évaluation en aa respecte les combinaisons linéaires).

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST deuxième année (2021), partie « Algèbre linéaire 1 – Espaces vectoriels ». Elle couvre la structure d'espace vectoriel, les sous-espaces, les familles génératrices, libres et les bases, la dimension finie et le rang d'une famille de vecteurs.