Le cours

Résumé en cinq points

Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. L'identification des coefficients est l'outil de base.
Le degré d'un produit est la somme des degrés, celui d'une somme est majoré par le maximum des degrés. Le polynôme nul est de degré $-\infty$ .
$\alpha$ est racine de $P$ si et seulement si $P = (X - \alpha)Q$ . Des racines distinctes donnent des facteurs distincts, donc un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines distinctes.
La multiplicité d'une racine est le plus grand exposant $m$ tel que $(X - \alpha)^m$ divise $P$ . On la détermine par factorisation, pas par dérivation.
Dans $\C$ , tout polynôme de degré $n \geqslant 1$ se factorise en produit de facteurs de degré 1, avec $n$ racines comptées avec multiplicité. Pour un polynôme réel, les racines non réelles vont par paires conjuguées.

Pourquoi ce chapitre

Les polynômes sont partout en sciences :

équation caractéristique d'une suite ou d'une équation différentielle ;
calcul d'un pH ou d'un taux de conversion, qui conduit à une équation du second ou du troisième degré ;
ajustement d'une série de mesures par une courbe.

Le chapitre a aussi un rôle interne aux mathématiques. L'ensemble des polynômes est l'exemple le plus commode d'espace vectoriel qui n'est pas un espace de colonnes, et il sert de terrain d'entraînement pour le bloc d'algèbre linéaire qui suit. La recherche de valeurs propres se ramène souvent, en petite dimension, à la recherche des racines d'un polynôme.

Le programme de BCPST reste resserré : ni division euclidienne, ni arithmétique des polynômes, ni factorisation dans $\R[X]$ .

1Règles de calcul

1.1La notation X

Définition 1.1Polynôme

On note $X$ l'application qui à $x$ associe $x$ . Un polynôme à coefficients réels s'écrit $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n,$ où les $a_k$ sont des réels et où $X^k$ désigne l'application $x \mapsto x^k$ . On définit de la même façon les polynômes à coefficients complexes.

Les règles de calcul avec $X$ prolongent celles de $\R$ ou de $\C$ : on développe, on factorise, on réduit comme d'habitude.

Dans tout ce qui suit, $\K$ désigne $\R$ ou $\C$ . En BCPST, on identifie un polynôme et la fonction polynomiale associée. Cette identification est légitime, on le verra avec la majoration du nombre de racines, parce que deux polynômes qui prennent les mêmes valeurs en une infinité de points sont égaux.

1.2Opérations

La somme de deux polynômes, le produit d'un polynôme par un scalaire, le produit de deux polynômes et la composée de deux polynômes sont encore des polynômes. Le produit se calcule en développant et en regroupant les termes de même degré.

1.3Unicité de l'écriture

Propriété 1.2Unicité de l'écriture

Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Par conséquent, deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coefficients.

C'est la technique d'identification des coefficients, constamment utilisée.

Exemple 1.3Décomposition de $\frac{1}{X(X+1)}$

On cherche $a$ et $b$ tels que $\dfrac{1}{X(X+1)} = \dfrac{a}{X} + \dfrac{b}{X+1}$ . On met au même dénominateur et on identifie : $a(X+1) + bX = 1.$ On obtient $a + b = 0$ et $a = 1$ , donc $a = 1$ et $b = -1$ . C'est l'identité qui sert dans les sommes télescopiques.

1.4Degré et coefficient dominant

Définition 1.4Degré, coefficient dominant

Si $P$ est non nul, son degré, noté $\deg P$ , est le plus grand entier $n$ tel que le coefficient $a_n$ soit non nul. Ce coefficient $a_n$ est le coefficient dominant. Un polynôme dont le coefficient dominant vaut 1 est unitaire.

On convient que le polynôme nul a pour degré $-\infty$ , convention qui rend les règles suivantes valables sans exception.

Propriété 1.5Degré d'une somme et d'un produit

Pour tous $P$ et $Q$ de $\K[X]$ :

$\deg(P + Q) \leqslant \max(\deg P, \deg Q)$ , avec égalité dès que $\deg P \neq \deg Q$ ;
$\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ .

Exemple 1.6Inégalité stricte

$P = X^2 + X$ et $Q = -X^2 + 1$ sont de degré 2, mais leur somme $X + 1$ est de degré 1 : les termes de plus haut degré se simplifient.

Démonstration

Si $P$ a pour coefficient dominant $a$ et pour degré $p$ , et $Q$ pour coefficient dominant $b$ et pour degré $q$ , le coefficient de $X^{p+q}$ dans $PQ$ vaut $ab$ . Il est non nul car $a$ et $b$ sont des réels ou des complexes non nuls.

Conséquence : un produit de deux polynômes non nuls est non nul.

1.5Notations

On note $\K[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\K$ , et $\K_n[X]$ l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ , polynôme nul compris. On utilisera donc $\R[X]$ , $\C[X]$ , $\R_n[X]$ et $\C_n[X]$ .

À retenir

$\K_n[X]$ contient le polynôme nul et tous les polynômes de degré au plus $n$ : il est stable par somme et par produit par un scalaire.

Attention

L'ensemble des polynômes de degré exactement $n$ n'est pas stable par somme.

2Racines et factorisation

2.1Définition

Définition 2.1Racine

Soit $P$ un polynôme de $\K[X]$ et $\alpha \in \K$ . On dit que $\alpha$ est une racine de $P$ si $P(\alpha) = 0$ .

2.2Factorisation par X − α

Théorème 2.2Factorisation par $X - \alpha$

Hypothèses

$P \in \K[X]$ ;
$\alpha \in \K$ .

Alors $\alpha$ est racine de $P$ si et seulement si il existe $Q \in \K[X]$ tel que $P = (X - \alpha)Q$ .

Démonstration

Sens indirect : si $P = (X - \alpha)Q$ , alors $P(\alpha) = 0 \times Q(\alpha) = 0$ .

Sens direct : on écrit $P = \sum a_k X^k$ et on utilise $P(X) - P(\alpha) = \sum a_k (X^k - \alpha^k).$ Pour tout $k \geqslant 1$ , on a l'identité $\begin{aligned} X^k - \alpha^k = (X - \alpha)\big(&X^{k-1} + \alpha X^{k-2}\\ &+ \dots + \alpha^{k-1}\big). \end{aligned}$ Chaque terme se factorise donc par $X - \alpha$ , et comme $P(\alpha) = 0$ on obtient $P = (X - \alpha)Q$ pour un certain polynôme $Q$ .

La division euclidienne étant hors programme, c'est cette identité qu'il faut savoir écrire.

Remarque

Si $P$ est non nul de degré $n$ , alors $Q$ est de degré $n - 1$ .

2.3Plusieurs racines distinctes

Propriété 2.3Plusieurs racines distinctes

Hypothèses

$\alpha_1, \dots, \alpha_r$ sont des racines de $P$ deux à deux distinctes.

Alors il existe un polynôme $Q$ tel que $P = (X - \alpha_1)\cdots(X - \alpha_r)\,Q.$

Démonstration

Récurrence sur $r$ . Au rang 1, c'est le théorème précédent. Supposons le résultat au rang $r - 1$ : $P = (X - \alpha_1)\cdots(X - \alpha_{r-1})R$ . On évalue en $\alpha_r$ , racine de $P$ différente des autres : chaque facteur $\alpha_r - \alpha_i$ est non nul, donc $R(\alpha_r) = 0$ . On factorise alors $R$ par $X - \alpha_r$ et on conclut.

2.4Majoration du nombre de racines

Théorème 2.4Nombre de racines

Un polynôme non nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines distinctes.

Démonstration

Si $P$ admettait $r$ racines distinctes avec $r > n$ , l'écriture précédente donnerait $\deg P = r + \deg Q \geqslant r > n$ , ce qui contredit $\deg P = n$ .

Corollaires :

Un polynôme qui admet une infinité de racines est le polynôme nul.
Si deux polynômes de degré au plus $n$ coïncident en $n + 1$ points distincts, ils sont égaux.

Le second justifie l'identification entre polynôme et fonction polynomiale. C'est aussi l'argument pour dire qu'un ajustement polynomial de degré donné est déterminé par un nombre fini de mesures.

Exemple 2.5

Le seul polynôme $P$ de degré au plus 2 vérifiant $P(0) = P(1) = P(2) = 0$ est le polynôme nul, car il aurait trois racines pour un degré au plus 2.

2.5Ordre de multiplicité

Définition 2.6Ordre de multiplicité

Soit $\alpha$ une racine de $P$ non nul. L'ordre de multiplicité de $\alpha$ est le plus grand entier $m \geqslant 1$ tel que $(X - \alpha)^m$ divise $P$ , c'est-à-dire tel que $P = (X - \alpha)^m Q$ .

Ce $m$ existe car les exposants possibles sont bornés par le degré de $P$ . On a alors $P = (X - \alpha)^m Q$ avec $Q(\alpha) \neq 0$ , et cette écriture caractérise $m$ .

On parle de racine simple quand $m = 1$ , double quand $m = 2$ , triple quand $m = 3$ .

Remarque

Le programme précise que la caractérisation de la multiplicité à l'aide des polynômes dérivés n'est pas un attendu. On détermine la multiplicité en factorisant, pas en dérivant.

Exemple 2.7

Pour $P = X^3 - 3X + 2$ , on remarque que 1 est racine. On factorise : $\begin{aligned} P &= (X - 1)(X^2 + X - 2)\\ &= (X - 1)^2(X + 2). \end{aligned}$ La racine 1 est double, la racine $-2$ est simple. La somme des multiplicités vaut 3, qui est le degré.

3Polynômes réels et polynômes complexes

3.1Racines conjuguées

Théorème 3.1Racines conjuguées

Hypothèses

$P$ est un polynôme à coefficients réels ;
$\alpha$ est un nombre complexe racine de $P$ .

Alors $\overline{\alpha}$ est aussi racine de $P$ .

Démonstration

Les coefficients $a_k$ étant réels, $\begin{aligned} P(\overline{\alpha}) &= \sum a_k \overline{\alpha}^k\\ &= \overline{\sum a_k \alpha^k}\\ &= \overline{P(\alpha)} = \overline{0} = 0. \end{aligned}$

Conséquence : les racines non réelles d'un polynôme réel vont par paires conjuguées, et elles ont la même multiplicité. En particulier, un polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle, puisque les racines non réelles s'apparient.

Exemple 3.2

$X^2 + 1$ n'a pas de racine réelle, mais il a $\ii$ et $-\ii$ comme racines dans $\C$ .

3.2Théorème de d'Alembert-Gauss

Théorème 3.3Théorème de d'Alembert-Gauss

Tout polynôme de $\C[X]$ de degré supérieur ou égal à 1 admet au moins une racine complexe.

Remarque

Résultat admis.

Propriété 3.4Factorisation dans $\C[X]$

Hypothèses

$P \in \C[X]$ de degré $n \geqslant 1$ ;
$a$ est son coefficient dominant ;
$z_1, \dots, z_r$ sont ses racines distinctes, de multiplicités $m_1, \dots, m_r$ .

Alors $P = a\,(X - z_1)^{m_1}\cdots(X - z_r)^{m_r},$ et $m_1 + \dots + m_r = n$ .

On obtient cette écriture en appliquant le théorème de façon répétée, chaque factorisation faisant baisser le degré de 1.

À retenir

Dans $\C$ , un polynôme de degré $n$ a exactement $n$ racines comptées avec leur multiplicité : $\C$ est algébriquement clos.

Le programme précise que la factorisation dans $\R[X]$ , en facteurs de degré 1 et de degré 2, est hors programme. On ne l'utilise donc pas comme résultat de cours.

Exemple 3.5

Dans $\C[X]$ , $X^4 - 1 = (X - 1)(X + 1)(X - \ii)(X + \ii)$ : quatre racines simples pour un degré 4.

3.3Racines de l'unité et second degré

Deux outils de première année restent utiles.

Les racines $n$ -ièmes de l'unité sont les $n$ nombres complexes $\e^{2\ii k\pi/n}$ pour $k \in \intent{0}{n-1}$ .
L'équation $aX^2 + bX + c = 0$ $a X^{2} + b X + c = 0$ avec $a \neq 0$ $a \neq = 0$ se résout par le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ :
- deux racines réelles distinctes si $\Delta > 0$ ;
- une racine double si $\Delta = 0$ ;
- deux racines complexes conjuguées si $\Delta < 0$ .

Méthodes

MéthodeMontrer qu'un polynôme est nul

Montrer que tous ses coefficients sont nuls, ou qu'il a plus de racines que son degré n'en autorise.

MéthodeIdentifier deux polynômes

Identifier les coefficients terme à terme.

MéthodeFactoriser un polynôme

Chercher une racine évidente parmi les petites valeurs entières : $0$ , $1$ , $-1$ , $2$ , $-2$ .
Factoriser par $X - \alpha$ : le quotient s'obtient en développant un produit à coefficients inconnus et en identifiant, puisque la division euclidienne est hors programme.
Recommencer sur le quotient.

MéthodePolynôme réel avec une racine complexe non réelle

Une racine complexe non réelle étant connue, sa conjuguée est une deuxième racine, gratuitement.

MéthodeÉquation entre polynômes

Comparer les degrés des deux membres : cela élimine souvent la plupart des cas.

MéthodeProuver qu'une famille de polynômes est libre

Le réflexe est le résultat du chapitre suivant sur les degrés deux à deux distincts.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Donner les règles de degré pour une somme et un produit, avec un exemple où l'inégalité sur la somme est stricte.
Démontrer que $\alpha$ est racine de $P$ si et seulement si $P$ se factorise par $X - \alpha$ , en utilisant l'identité sur $X^k - \alpha^k$ .
Démontrer qu'un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines distinctes.
En déduire qu'un polynôme ayant une infinité de racines est nul, et l'appliquer à une égalité de fonctions polynomiales.
Déterminer la multiplicité d'une racine par factorisation, sur un exemple de degré 3 ou 4.
Démontrer que les racines non réelles d'un polynôme réel sont conjuguées deux à deux.
Énoncer le théorème de d'Alembert-Gauss et écrire la factorisation complète d'un polynôme dans $\C[X]$ .
Justifier qu'un polynôme réel de degré impair a au moins une racine réelle.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Deux polynômes sont donc égaux si et seulement si ils ont les mêmes coefficients : exigible sans démonstration.
Combinaison linéaire, produit et composée de polynômes sont des polynômes : exigible.
deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q), avec égalité si deg P ≠ deg Q : exigible.
deg(PQ) = deg P + deg Q, avec la convention deg 0 = −∞ : exigible avec démonstration.
Si P est non nul, PQ = 0 impose Q = 0. Donc PQ = PR donne Q = R : corollaire exigible, à savoir justifier.
Pour Q non constant, deg(P ∘ Q) = deg P × deg Q : non listé au programme, à retrouver sur un exemple.
α est racine de P si et seulement si il existe Q avec P = (X − α)Q : exigible avec démonstration.
Si α₁, …, α_r sont des racines deux à deux distinctes de P, alors P = (X − α₁)…(X − α_r)Q : exigible, démonstration par récurrence.
Un polynôme non nul de degré n a au plus n racines distinctes : exigible avec démonstration.
Un polynôme ayant une infinité de racines est nul. Deux polynômes de K_n[X] qui coïncident en n + 1 points distincts sont égaux : corollaires exigibles.
Pour P non nul, α est racine d'ordre m si et seulement si P = (X − α)^m Q avec Q(α) ≠ 0 : exigible.
Si P est à coefficients réels et α est racine complexe, alors ᾱ est racine, avec la même multiplicité : exigible avec démonstration.
Théorème de d'Alembert-Gauss : admis. Factorisation complète dans C[X] : conséquence exigible.
Un polynôme réel de degré impair a au moins une racine réelle : conséquence exigible.
Hors programme : division euclidienne, PGCD et arithmétique, multiplicité par dérivées successives, factorisation dans R[X] comme théorème, formule de Taylor polynomiale, relations coefficients-racines en degré quelconque, interpolation de Lagrange comme théorème de cours.

Clés de démonstration

Degré d'un produit. On écrit P = aX^p + (termes de degré < p) et Q = bX^q + (termes de degré < q). Le seul terme de degré p + q du produit est abX^p+q, et ab ≠ 0 car a et b sont non nuls dans R ou C. L'astuce : isoler le terme dominant, et traiter à part le polynôme nul grâce à la convention −∞.

Factorisation par X − α. On écrit P − P(α) = Σ a_k (Xᵏ − αᵏ), le terme k = 0 étant nul. Or Xᵏ − αᵏ = (X − α)(X^k−1 + αX^k−2 + … + α^k−1), donc X − α se met en facteur. L'astuce : cette identité géométrique remplace la division euclidienne.

Plusieurs racines distinctes. Récurrence sur r. Si P = (X − α₁)…(X − α_r−1)R, on évalue en α_r : le produit des α_r − α_i est non nul, donc R(α_r) = 0 et on factorise R. L'astuce : l'hypothèse « deux à deux distinctes » rend chaque facteur non nul.

Au plus n racines. Avec r racines distinctes, P = (X − α₁)…(X − α_r)Q avec Q non nul puisque P est non nul. Donc deg P = r + deg Q ≥ r. L'astuce : argument de degré, sans oublier que Q ≠ 0.

Caractérisation de la multiplicité. Si P = (X − α)^m Q avec Q(α) ≠ 0 et aussi P = (X − α)^m+1R, alors (X − α)^m (Q − (X − α)R) = 0. Comme (X − α)^m est non nul, Q = (X − α)R, d'où Q(α) = 0, contradiction. L'astuce : simplifier par un facteur non nul.

Racines conjuguées. Les coefficients étant réels, P(ᾱ) est le conjugué de P(α), qui vaut 0. Pour la multiplicité, on conjugue tous les coefficients dans P = (X − α)^m Q avec Q(α) ≠ 0 : P est inchangé et on obtient P = (X − ᾱ)^m Q₁, où Q₁(ᾱ) est le conjugué de Q(α), donc non nul. L'astuce : la conjugaison respecte sommes et produits.

Degré impair. Dans C, P de degré n a n racines comptées avec multiplicité. Les racines non réelles vont par paires de même multiplicité, leur total est pair. Il reste un total impair, donc au moins 1, pour les racines réelles. Autre preuve : P tend vers +∞ et −∞ aux deux bouts, et on applique le théorème des valeurs intermédiaires.

Factorisation dans C[X]. Récurrence sur le degré. D'Alembert-Gauss fournit une racine z, donc P = (X − z)Q avec deg Q = n − 1, et on applique l'hypothèse à Q. L'astuce : le degré baisse de 1 à chaque étape et le coefficient dominant se conserve.

Exemples et contre-exemples à connaître

(X + 1)² − X² = 2X + 1 : deux polynômes de degré 2 dont la différence est de degré 1. L'égalité du degré d'une somme exige des degrés différents.
Xⁿ + 1 et −Xⁿ sont de degré n, leur somme vaut 1. L'ensemble des polynômes de degré exactement n n'est pas stable par somme, contrairement à K_n[X].
X − i admet i pour racine mais pas −i. Les racines conjuguées exigent des coefficients réels.
X(X − 1)…(X − n) est non nul, de degré n + 1, et s'annule en n + 1 points. La condition « n + 1 points pour un degré au plus n » est optimale.
X⁴ + 1 n'a aucune racine réelle. Un polynôme réel de degré pair peut n'en avoir aucune.
X² + X + 1 a pour racines j = e^2iπ/3 et j² = j̄. C'est la paire conjuguée type, et X³ − 1 = (X − 1)(X² + X + 1).
X³ n'a qu'une racine distincte, 0, triple. Le nombre de racines distinctes peut être inférieur au degré, même dans C.
Xⁿ − 1 a exactement n racines simples, les racines n-ièmes de l'unité. C'est la factorisation complète la plus demandée.
(X² + 1) ∘ X³ = X⁶ + 1 est de degré 6 = 2 × 3. En revanche P ∘ 5 est constant : la formule du degré d'une composée exige Q non constant.

Techniques du chapitre

Technique 1, identifier les coefficients pour obtenir un quotient. Mini-exercice : factoriser X³ − 2X² − 5X + 6, dont 1 est racine. On cherche (X − 1)(X² + bX + c) = X³ + (b − 1)X² + (c − b)X − c. On identifie : b = −1, c = −6, et −c = 6 est cohérent. Enfin X² − X − 6 = (X − 3)(X + 2).

Technique 2, tester 1 et −1. P(1) est la somme des coefficients, P(−1) leur somme alternée. Mini-exercice : factoriser X³ + X² − X − 1. On a P(1) = P(−1) = 0. Par regroupement, P = X²(X + 1) − (X + 1) = (X + 1)²(X − 1). Donc −1 est double et 1 simple.

Technique 3, comparer les degrés d'abord. Mini-exercice : trouver les P réels tels que P(X²) = XP(X). Si P est non nul de degré n, alors 2n = n + 1, donc n = 1. Avec P = aX + b, on obtient aX² + b = aX² + bX, donc b = 0. Les solutions sont les aX, a réel, polynôme nul compris.

Technique 4, produire une infinité de racines. Mini-exercice : trouver les P tels que P(X + 1) = P(X). Par récurrence, P(k) = P(0) pour tout entier naturel k, donc P − P(0) a une infinité de racines. Il est nul et P est constant. Réciproquement, les constantes conviennent.

Technique 5, factoriser pour lire une multiplicité. Mini-exercice : multiplicités des racines de X⁴ − 2X³ + 2X − 1. On a P(1) = P(−1) = 0, et l'on vérifie en développant que P = (X − 1)³(X + 1). Donc 1 est triple et −1 simple.

Technique 6, compléter par les conjuguées. Mini-exercice : trouver le polynôme réel unitaire de degré 3 ayant pour racines 2 et 1 + i. La conjuguée 1 − i est racine, et trois racines distinctes pour un degré 3 donnent P = (X − 2)(X² − 2X + 2) = X³ − 4X² + 6X − 4.

Technique 7, simplifier par un facteur non nul. Mini-exercice : trouver les P non nuls tels que P² = X²P. On écrit P(P − X²) = 0. Un produit de polynômes n'est nul que si l'un des facteurs l'est. Comme P ≠ 0, on a P = X².

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Factoriser complètement X⁴ + X³ + X + 1 dans C[X] et donner les multiplicités

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique regroupement de termes, puis second degré.

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On regroupe : P = X³(X + 1) + (X + 1) = (X + 1)(X³ + 1).
X³ + 1 s'annule en −1, et X³ + 1 = (X + 1)(X² − X + 1), à vérifier en développant.
Donc P = (X + 1)²(X² − X + 1). Le discriminant du dernier facteur vaut −3, ses racines sont (1 + i√3)/2 et (1 − i√3)/2.
Conclusion : −1 est double, les deux racines conjuguées sont simples. Total 4, le degré.

piège : S'arrêter à (X + 1)(X³ + 1) et déclarer −1 simple sans tester −1 sur le quotient.

Exercice 2

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Déterminer les racines complexes de X⁴ + 4, en déduire sa factorisation dans C[X], puis l'écrire comme produit de deux polynômes réels de degré 2.

Technique forme exponentielle, puis regroupement des paires conjuguées.

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Avec z = re^iθ et −4 = 4e^iπ, l'équation z⁴ = −4 donne r = √2 et 4θ = π + 2kπ.
Les racines sont 1 + i, −1 + i, −1 − i et 1 − i. Elles sont distinctes, le polynôme est unitaire de degré 4, donc X⁴ + 4 = (X − 1 − i)(X − 1 + i)(X + 1 − i)(X + 1 + i).
On regroupe les conjuguées : (X − 1 − i)(X − 1 + i) = X² − 2X + 2 et (X + 1 − i)(X + 1 + i) = X² + 2X + 2.
Vérification : (X² + 2)² − 4X² = X⁴ + 4.

piège : Invoquer « le théorème de factorisation dans R[X] », hors programme. On fait ici un calcul explicite.

Exercice 3

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Trouver les réels a et b tels que 1 soit racine au moins double de P = X⁴ + aX + b. Préciser la multiplicité exacte.

Technique factoriser par X − 1, puis imposer que 1 soit racine du quotient, sans dériver.

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P(1) = 0 équivaut à b = −1 − a. Alors P = (X⁴ − 1) + a(X − 1) = (X − 1)(X³ + X² + X + 1 + a).
1 est au moins double si et seulement si le quotient s'annule en 1, soit 4 + a = 0. Donc a = −4 et b = 3.
On identifie : X³ + X² + X − 3 = (X − 1)(X² + 2X + 3), d'où P = (X − 1)²(X² + 2X + 3).
Le dernier facteur vaut 6 en 1, donc 1 est exactement double.

piège : Conclure « double » sans vérifier que le quotient final ne s'annule pas en 1.

Exercice 4. Déterminer tous les P de R[X] tels que P(X²) = (X² + 1)P(X)

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique comparaison des degrés, puis identification.

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Le polynôme nul convient. Si P est non nul de degré n, on compare 2n et n + 2, donc n = 2.
On pose P = aX² + bX + c. Alors P(X²) = aX⁴ + bX² + c et (X² + 1)P = aX⁴ + bX³ + (a + c)X² + bX + c.
L'identification donne b = 0 et b = a + c, donc c = −a.
Réciproquement, a(X⁴ − 1) = (X² + 1)a(X² − 1). Les solutions sont les a(X² − 1), a réel.

piège : Oublier le polynôme nul, ou écrire deg P(X²) = deg P + 2 au lieu de 2 deg P.

Exercice 5

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type Agro-Véto

Soient a, b, c trois réels distincts et y₁, y₂, y₃ trois réels. Montrer qu'il existe un unique P de R₂[X] tel que P(a) = y₁, P(b) = y₂, P(c) = y₃. Application : trouver P de degré au plus 2 tel que P(0) = 1, P(1) = 3, P(2) = 7.

Technique existence par construction, unicité par comptage des racines.

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On pose L₁ = (X − b)(X − c)/((a − b)(a − c)), et L₂, L₃ de même en échangeant les rôles. Les dénominateurs sont non nuls car les réels sont distincts.
L₁ vaut 1 en a et 0 en b et c, de même pour les autres. Donc y₁L₁ + y₂L₂ + y₃L₃ est dans R₂[X] et convient.
Si P et R conviennent, P − R est de degré au plus 2 et s'annule en trois points distincts, donc P = R.
Application : P = αX² + βX + γ donne γ = 1, α + β = 2, 4α + 2β = 6. Donc α = β = 1 et P = X² + X + 1.

piège : Citer « le théorème de Lagrange » comme résultat de cours. En BCPST, on le démontre à la main.

Exercice 6

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type G2E

Soit n ≥ 2 et ω_k = e^2ikπ/n pour 0 ≤ k ≤ n − 1. Montrer que Xⁿ − 1 = Π_k=0ⁿ⁻¹ (X − ω_k). En déduire Σ ω_k, puis le produit des 1 − ω_k pour k de 1 à n − 1.

Technique n racines distinctes pour un degré n, puis simplification et évaluation.

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Les ω_k sont n racines distinctes de Xⁿ − 1, donc Xⁿ − 1 = Π(X − ω_k) × Q. Les degrés imposent Q constant, et les coefficients dominants Q = 1.
Le coefficient de Xⁿ⁻¹ vaut −Σ ω_k à droite et 0 à gauche, puisque n ≥ 2. Donc Σ ω_k = 0.
Par l'identité géométrique, Xⁿ − 1 = (X − 1)(1 + X + … + Xⁿ⁻¹). Comme ω₀ = 1, on a aussi Xⁿ − 1 = (X − 1)Π_k=1ⁿ⁻¹(X − ω_k).
D'où (X − 1)(1 + X + … + Xⁿ⁻¹ − Π_k≥1(X − ω_k)) = 0, avec X − 1 non nul. Les deux polynômes sont égaux, et en évaluant en 1, Π_k=1ⁿ⁻¹(1 − ω_k) = n.

piège : « diviser par X − 1 » puis évaluer en 1, ce qui n'a pas de sens pour des fonctions. On simplifie des polynômes, puis on évalue.

Exercice 7

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type G2E

Montrer que pour tout n ∈ N, il existe un unique polynôme T_n tel que T_n(cos θ) = cos(nθ) pour tout réel θ. Donner son degré, son coefficient dominant et ses racines.

Technique récurrence double pour l'existence, infinité de racines pour l'unicité.

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La formule cos((n + 1)θ) + cos((n − 1)θ) = 2cos θ cos(nθ) suggère T₀ = 1, T₁ = X et T_n+1 = 2XT_n − T_n−1. Par récurrence double, ces polynômes conviennent.
Unicité : si T et T' conviennent, T − T' s'annule sur [−1, 1], qui est infini. Donc T = T'.
Par récurrence, pour n ≥ 1, T_n est de degré n et de coefficient dominant 2ⁿ⁻¹. En effet deg(2XT_n) = n + 1 > deg T_n−1, donc le terme dominant de T_n+1 est celui de 2XT_n.
Pour 0 ≤ k ≤ n − 1, x_k = cos((2k + 1)π/(2n)) vérifie T_n(x_k) = cos((2k + 1)π/2) = 0. Les angles sont dans ]0, π[ où cos est injective, donc les x_k sont distincts. Avec n racines pour un degré n, T_n = 2ⁿ⁻¹Π(X − x_k), toutes simples.

piège : Faire une récurrence simple alors que T_n+1 dépend de T_n et T_n−1, ou oublier que le coefficient dominant de T₀ vaut 1 et non 2⁻¹.

Exercice 8

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Déterminer le polynôme P réel unitaire de degré 5 tel que i soit racine double et 0 soit racine.

Technique racines conjuguées de même multiplicité, puis total des multiplicités.

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P est réel, donc −i est aussi racine double.
Dans C[X], la somme des multiplicités vaut 5. Or i et −i comptent 2 chacune et 0 au moins 1. Le total atteint 5, donc 0 est simple et il n'y a pas d'autre racine.
P étant unitaire, P = X(X − i)²(X + i)² = X(X² + 1)² = X⁵ + 2X³ + X.

piège : Oublier que −i hérite de la multiplicité 2 et chercher une cinquième racine inconnue.

Exercice 9. Déterminer tous les P de C[X] tels que P(X²) = P(X)²

Classiques de khôlle et concours · Type oral, plus délicat

Technique comparer le coefficient dominant, puis le coefficient du « deuxième terme ».

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P = 0 convient. Soit P non nul de degré n. Les termes dominants donnent a_n = a_n², donc a_n = 1.
Si P ≠ Xⁿ, on note k < n le plus grand indice tel que a_k ≠ 0. Dans P², le coefficient de X^n+k est Σ_i+j=n+k a_i a_j. Un a_i n'est non nul que si i = n ou i ≤ k. Si i ≤ k, alors j ≥ n, donc j = n et i = k. Ce coefficient vaut 2a_k ≠ 0.
P(X²) ne contient que des degrés pairs 2j, de coefficient a_j. Le coefficient de X^n+k vaut 0 si n + k est impair, et a_(n+k)/2 sinon. Comme k < (n + k)/2 < n, il est nul. Contradiction.
Donc P = Xⁿ, et réciproquement X²ⁿ = (Xⁿ)². Les solutions sont 0 et les Xⁿ, n ∈ N.

piège : Ne comparer que les termes dominants, ce qui laisse croire que tout polynôme unitaire convient.

Erreurs fréquentes

Écrire deg(P + Q) = max(deg P, deg Q) sans vérifier que les degrés diffèrent ou que les coefficients dominants ne se compensent pas.
Simplifier PQ = PR en Q = R sans dire que P est non nul, ou oublier le polynôme nul parmi les solutions d'une équation polynomiale.
Appliquer les racines conjuguées à un polynôme à coefficients complexes, ou oublier qu'elles ont même multiplicité.
Déclarer une racine double ou triple sans vérifier que le quotient ne s'annule plus en α. On factorise jusqu'au bout. La dérivation n'est pas un attendu, et si on l'utilise il faut justifier le résultat invoqué.
Confondre « au plus n racines distinctes » avec « exactement n racines ». Dans R, rien n'est garanti. Dans C, on a n racines comptées avec multiplicité, pas n racines distinctes.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST deuxième année (2021), partie « Algèbre – Polynômes ». Elle couvre les règles de calcul, le degré, les racines, la factorisation par $X - \alpha$ , la multiplicité, le cas des polynômes réels et le théorème de d'Alembert-Gauss.