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BCPST1 · Maths · semaine 30

Applications linéaires et matrices

Applications linéaires de Kp dans Kn, addition, multiplication par un scalaire, composition et réciproque. Noyau et image, lien avec l'injectivité et la surjectivité, matrice d'une application linéaire dans des bases. Rang d'une application linéaire et théorème du rang.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Une application linéaire conserve les combinaisons linéaires. Elle envoie le vecteur nul sur le vecteur nul et elle est déterminée par les images des vecteurs d'une base.
  2. Le noyau est un sous-espace de l'espace de départ, l'image un sous-espace de l'espace d'arrivée. Le noyau réduit à zéro équivaut à l'injectivité.
  3. La matrice d'une application linéaire a les images des vecteurs de la base de départ en colonnes. Elle dépend des bases choisies, et le calcul d'image devient un produit matriciel.
  4. Somme, multiple et composée d'applications linéaires correspondent à somme, multiple et produit de matrices, la composition imposant l'ordre du produit.
  5. Le théorème du rang dit que la dimension du noyau plus le rang est égale à la dimension de l'espace de départ. En dimensions égales au départ et à l'arrivée, injectivité, surjectivité et bijectivité coïncident.
Pourquoi ce chapitre

DéfinitionApplication linéaire

Une application linéaire est une transformation qui respecte les combinaisons linéaires. C'est la notion de proportionnalité, généralisée à plusieurs variables.

Exemple

  • En géométrie, les rotations, les symétries et les projections vectorielles sont linéaires.
  • En analyse, la dérivation et l'intégration le sont aussi, puisque la dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
  • En probabilités, l'espérance est linéaire.
  • En biologie, le passage d'une génération à la suivante dans un modèle de population structurée en classes d'âge s'écrit comme une application linéaire, représentée par une matrice.

RemarqueDeux points de vue

Le chapitre relie deux points de vue :

  • le point de vue géométrique, avec le noyau et l'image, qui décrivent ce que l'application écrase et ce qu'elle atteint ;
  • le point de vue calculatoire, avec les matrices, qui transforment toute question en un système linéaire.

Le théorème du rang fait le pont entre les deux, en reliant la taille de ce qui est écrasé et la taille de ce qui est atteint.

AttentionLignes et colonnes

On ne confond pas matrices ou vecteurs lignes et matrices ou vecteurs colonnes.

RemarqueProgramme

La démonstration du théorème du rang n'est pas exigible.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Linéarité et détermination 2

Exercice 1 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Les applications suivantes sont-elles linéaires ? (a) f(x,y)=(2x−y,x+3y)f(x, y) = (2x - y, x + 3y). (b) g(x,y)=(xy,x)g(x, y) = (xy, x). (c) h(x,y)=(∣x∣,y)h(x, y) = (|x|, y). (d) k(x,y,z)=x+y+zk(x, y, z) = x + y + z.

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Technique vérification directe ou contre-exemple.

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Résultat

ff et kk sont linéaires, gg et hh ne le sont pas.

  1. (a) Chaque coordonnée de f(x,y)f(x, y) est combinaison linéaire de xx et yy, donc f(λu+μv)=λf(u)+μf(v)‾\underline{f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)}. Linéaire.
  2. (b) g(2,2)=(4,2)≠(2,2)=2g(1,1)g(2, 2) = (4, 2) \neq (2, 2) = 2g(1, 1). Non linéaire (contre-exemple).
  3. (c) h(−1,0)=(1,0)≠(−1,0)=−h(1,0)h(-1, 0) = (1, 0) \neq (-1, 0) = -h(1, 0). Non linéaire (contre-exemple).
  4. (d) kk est une forme linéaire (vérification immédiate).

piège : Conclure que gg est linéaire parce que g(0)=0g(0) = 0.

Exercice 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Existe-t-il ff linéaire de R2\mathbb{R}^2 dans R2\mathbb{R}^2 avec f(1,2)=(1,0)f(1, 2) = (1, 0) et f(2,4)=(1,1)f(2, 4) = (1, 1) ? Même question pour ff de R3\mathbb{R}^3 dans R2\mathbb{R}^2 avec f(1,0,0)=(1,1)f(1, 0, 0) = (1, 1), f(1,1,0)=(0,1)f(1, 1, 0) = (0, 1), f(1,1,1)=(2,0)f(1, 1, 1) = (2, 0). Si oui, donner f(x,y,z)f(x, y, z).

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  1. (2,4)=2(1,2)(2, 4) = 2(1, 2) impose f(2,4)=2f(1,2)=(2,0)‾≠(1,1)\underline{f(2, 4) = 2f(1, 2) = (2, 0)} \neq (1, 1). …

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Bijectivité et réciproque 2

Exercice 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Soit f(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z)f(x, y, z) = (x + y, y + z, x + z) de R3\mathbb{R}^3 dans R3\mathbb{R}^3. Montrer que ff est bijective, calculer f−1f^{-1} et comparer les matrices.

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  1. Soit (x,y,z)∈Ker⁡f(x, y, z) \in \operatorname{Ker} f : x=−yx = -y, z=−yz = -y et x+z=0x + z = 0, donc y=0y = 0 puis x=z=0x = z = 0. …

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Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Écrit Agro-Véto, modèle de population

Juvéniles JnJ_n et adultes AnA_n vérifient Jn+1=2AnJ_{n+1} = 2A_n et An+1=Jn/2+An/2A_{n+1} = J_n/2 + A_n/2. Écrire la matrice LL de passage, montrer que l'état de l'année nn se retrouve de façon unique à partir de celui de l'année n+1n + 1, et expliciter cette reconstruction.

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  1. (Jn+1An+1)=L(JnAn)\begin{pmatrix} J_{n+1} \\ A_{n+1} \end{pmatrix} = L \begin{pmatrix} J_n \\ A_n \end{pmatrix} avec L=(021212)L = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, passage linéaire de R2\R^2 dans R2\R^2.

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Rang et noyau 3

Exercice 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Soit f(x, y, z) = (x + y + 2z, x + 2y + 3z, 2x + 3y + 5z). Donner une base de Ker f, une base de Im f et une équation de Im f.

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  1. L2−L1L_2 - L_1 donne y=−zy = -z, puis x=−zx = -z. …

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Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit CCINP

Pour aa réel, faf_a est l'application de R3\mathbb{R}^3 dans R3\mathbb{R}^3 de matrice de lignes (1,1,a)(1, 1, a), (1,a,1)(1, a, 1), (a,1,1)(a, 1, 1). Rang et noyau selon aa.

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  1. L2←L2−L1L_2 \leftarrow L_2 - L_1 et L3←L3−aL1L_3 \leftarrow L_3 - aL_1 donnent (1,1,a)(1, 1, a), (0,a−1,1−a)(0, a - 1, 1 - a), (0,1−a,1−a2)(0, 1 - a, 1 - a^2).

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Exercice 10 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit Mines ou X, dans le programme

Soit ff linéaire de Kn\mathbb{K}^n dans Kn\mathbb{K}^n avec f∘f=0f \circ f = 0. Montrer que Im⁡f⊂Ker⁡f\operatorname{Im} f \subset \operatorname{Ker} f, puis rg⁡f≤n/2\operatorname{rg} f \leq n/2. Donner un exemple en dimension 2 avec rg⁡f=1\operatorname{rg} f = 1.

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  1. Si y=f(x)y = f(x), alors f(y)=f(f(x))=0f(y) = f(f(x)) = 0, donc y∈Ker⁡f‾\underline{y \in \operatorname{Ker} f}.

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Composition 2

Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle vers écrit

Soient f(x,y)=(x,x+y,y)f(x, y) = (x, x + y, y) de R2\mathbb{R}^2 dans R3\mathbb{R}^3 et g(a,b,c)=(a−b,b+c)g(a, b, c) = (a - b, b + c) de R3\mathbb{R}^3 dans R2\mathbb{R}^2. Écrire FF et GG, calculer GFGF et étudier la bijectivité de g∘fg \circ f et f∘gf \circ g.

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  1. FF a pour colonnes (1,1,0)(1, 1, 0) et (0,1,1)(0, 1, 1), GG a pour lignes (1,−1,0)(1, -1, 0) et (0,1,1)(0, 1, 1).

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Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Type oral Centrale

Soient ff et gg linéaires de Kn\mathbb{K}^n dans Kn\mathbb{K}^n. Montrer que Ker⁡f⊂Ker⁡(g∘f)\operatorname{Ker} f \subset \operatorname{Ker}(g \circ f) et Im⁡(g∘f)⊂Im⁡g\operatorname{Im}(g \circ f) \subset \operatorname{Im} g. En déduire que si g∘fg \circ f est bijective, ff et gg le sont.

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  1. Si f(x)=0f(x) = 0, alors g(f(x))=g(0)=0g(f(x)) = g(0) = 0, donc Ker⁡f⊂Ker⁡(g∘f)‾\underline{\operatorname{Ker} f \subset \operatorname{Ker}(g \circ f)}.

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Matrice dans une base 1

Exercice 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit CCINP ou Agro-Véto

Soit f(x,y)=(x+2y,2x+y)f(x, y) = (x + 2y, 2x + y). On pose u1=(1,1)u_1 = (1, 1), u2=(1,−1)u_2 = (1, -1). Montrer que B=(u1,u2)B = (u_1, u_2) est une base, écrire la matrice de ff dans BB et en déduire fk(x,y)f^k(x, y), où fkf^k est ff composée kk fois.

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  1. u1u_1 et u2u_2 non colinéaires, donc BB base de R2\R^2.

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Fiche rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Algèbre linéaire 4 – Applications linéaires et matrices ». Elle couvre :

  • la définition d'une application linéaire de Kp\K^p dans Kn\K^n ;
  • les opérations sur les applications linéaires ;
  • le noyau et l'image ;
  • la matrice d'une application linéaire dans des bases ;
  • le rang et le théorème du rang.