Concepts de base des probabilités

Exercice 1 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Dans une population, 30 % des individus portent la mutation a, 20 % la mutation b et 10 % la mutation c. De plus, 5 % portent a et b, 4 % a et c, 3 % b et c, et 1 % portent les trois. On tire un individu au hasard. Quelle est la probabilité qu'il ne porte aucune mutation ?

Exercice 6. Fiabilité d'un montage ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Les composants 1 et 2 sont montés en série, et ce bloc est monté en parallèle avec un composant 3.

Chaque composant fonctionne avec probabilité $p$, et les fonctionnements sont mutuellement indépendants.

Calculer la probabilité que le système fonctionne.

Exercice 2 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Une urne contient 5 boules blanches et 3 noires. Calculer la probabilité d'obtenir deux blanches en tirant deux boules simultanément, puis en tirant deux boules successivement sans remise. Comparer.

Exercice 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

On réunit $n$ personnes, avec $n \leq 365$. On suppose l'année formée de $365$ jours et les dates de naissance uniformes et indépendantes. Calculer la probabilité qu'au moins deux personnes partagent un anniversaire.

Exercice 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle, génétique

Deux parents hétérozygotes Aa ont un enfant E de phénotype dominant. Chaque parent transmet chacun de ses deux allèles avec probabilité 1/2, indépendamment de l'autre parent. Quelle est la probabilité que E soit hétérozygote ? On croise ensuite E avec un individu aa. Quelle est la probabilité que leur descendant soit de phénotype récessif ?

Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit Agro-Véto

La prévalence d'une maladie est de $1\ \%$. Un test a une sensibilité de $0{,}95$ et une spécificité de $0{,}9$. Calculer $P_{T_1}(M)$. On fait ensuite passer un second test de même qualité. On suppose $T_1$ et $T_2$ indépendants pour $P_M$ et pour $P_{\overline{M}}$. Calculer la probabilité d'être malade sachant les deux tests positifs.

Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Agro-Véto

Une urne contient une boule blanche et une noire. On tire une boule, puis on la remet avec une boule supplémentaire de la même couleur. On recommence. Calculer $P(B_2)$, puis $P_{B_2}(B_1)$, puis $P(B_1 \cap B_2 \cap B_3)$. $B_1$ et $B_2$ sont-ils indépendants ?

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit G2E

On dispose de $n$ urnes. L'urne $k$ contient $k$ boules blanches et $n - k$ noires. On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule, qui est blanche. Quelle est la probabilité d'avoir choisi l'urne $k$ ?

Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Agro-Véto, plus long

On suit une lignée de plantes. Si la plante de la génération n est rouge, celle de la génération n + 1 l'est avec probabilité 0,8. Sinon, avec probabilité 0,3. On note pₙ la probabilité que la plante de la génération n soit rouge. Exprimer pₙ et étudier sa limite.

Exercice 10 ★★★

Approfondissement · 25 min · Type oral, délicat

On suppose que A est indépendant de B et de C, et que B et C sont incompatibles. Montrer que A est indépendant de B ∪ C. Montrer par un contre-exemple que la conclusion peut tomber si B et C ne sont pas incompatibles.

Exercice classique. Trois tirages, puis une borne valable pour tout effectif ★★★

Classique du chapitre

Soit $N\geq3$ un entier. On effectue des tirages indépendants uniformes dans $\{1,\ldots,N\}$. Pour chaque entier $k\geq2$, on note $p_{N,k}$ la probabilité qu’au moins deux des $k$ premiers tirages soient égaux.

1. Calculer exactement $p_{N,3}$ et déterminer la limite de $Np_{N,3}$ lorsque $N\to+\infty$.

2. Pour $1\leq i<j\leq k$, poser $E_{ij}=\{X_i=X_j\}$. Calculer $\mathbb P(E_{ij})$, puis démontrer $$p_{N,k}\leq\frac{k(k-1)}{2N}.$$ On pourra justifier la majoration de la probabilité d’une réunion par la somme des probabilités.

3. Pour $2\leq k\leq N$, démontrer également $$p_{N,k}\geq1-\exp\left(-\frac{k(k-1)}{2N}\right).$$

4. Soit $(k_N)$ une suite d’entiers telle que $k_N\geq2$ et $k_N/\sqrt N\to0$. Déduire des questions précédentes l’équivalent $$p_{N,k_N}\sim\frac{k_N(k_N-1)}{2N}.$$ Ici, $u_N\sim v_N$ signifie que $u_N/v_N\to1$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.