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BCPST1 · Maths · semaine 33

Variable aléatoire sur un univers fini

Variable aléatoire réelle sur un univers fini, loi de probabilité, fonction de répartition et fonctions indicatrices. Indépendance de variables aléatoires, espérance, théorème de transfert, variance, formule de Koenig-Huygens et écart-type. Lois usuelles finies certaine, uniforme, de Bernoulli et binomiale.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Une variable aléatoire sur un univers fini est une application de Ω\Omega dans R\R. Sa loi donne les probabilités de chaque valeur, et les événements (X=x)(X=x) forment un système complet.
  2. La fonction de répartition est en escalier. La hauteur du saut en xx est la probabilité P(X=x)\P(X=x), ce qui permet de retrouver la loi.
  3. L'espérance est linéaire, sans aucune hypothèse d'indépendance. Le théorème de transfert donne l'espérance de u(X)u(X) à partir de la seule loi de XX.
  4. La variance vaut E(X2)−E(X)2\E(X^2)-\E(X)^2. Elle est multipliée par a2a^2 par la transformation aX+baX+b, et la variance d'une somme est la somme des variances sous hypothèse d'indépendance.
  5. La loi binomiale est la loi d'une somme de nn variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre pp. Son espérance vaut npnp et sa variance np(1−p)np(1-p).
Pourquoi ce chapitre

Dans la plupart des expériences aléatoires, ce qui intéresse le scientifique n'est pas le résultat brut, mais un nombre qu'on en tire.

ExempleÉchantillon

Le nombre d'individus porteurs d'un allèle dans un échantillon de 5050.

Une variable aléatoire est un nombre attaché au résultat de l'expérience. Le chapitre construit ensuite les résumés de ce nombre :

  • l'espérance, qui est la valeur moyenne théorique ;
  • la variance et l'écart-type, qui mesurent la dispersion autour de cette moyenne.

Le parallèle avec la statistique descriptive est complet, à ceci près que tout est ici calculé sur un modèle, et non sur des données observées.

Le chapitre se termine par les lois usuelles, en particulier la loi binomiale. La loi binomiale modélise la répétition indépendante d'une même épreuve à deux issues. C'est le modèle de référence de l'échantillonnage en biologie.

RemarqueCadre du chapitre

Le cadre reste fini. Tout ce qui concerne les variables aléatoires à valeurs en nombre infini est reporté en seconde année.

Plusieurs résultats sont explicitement admis par le programme :

  • le théorème de transfert ;
  • la linéarité de l'espérance ;
  • les propriétés de l'indépendance mutuelle.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour BCPST1.

Classiques et HP réservés

Prolongements et démonstrations de Maths.

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Encore 13 parties de cours et 10 corrigés.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Loi et fonction de répartition 3

Exercice 1 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

On lance trois fois une pièce équilibrée, et X est le nombre de piles. Déterminer la loi de X, sa fonction de répartition, son espérance et sa variance.

Voir l'indice

Technique loi par dénombrement, puis fonction de répartition en escalier.

Voir le corrigé offert
Résultat

P(X=0)=18P(X = 0) = \frac18, P(X=1)=38P(X = 1) = \frac38, P(X=2)=38P(X = 2) = \frac38, P(X=3)=18P(X = 3) = \frac18, FF en escalier de paliers 0,18,12,78,10, \frac18, \frac12, \frac78, 1, E(X)=32E(X) = \frac32, V(X)=34V(X) = \frac34.

  1. Les 88 résultats sont équiprobables, donc P(X=0)=18P(X = 0) = \frac18, P(X=1)=38P(X = 1) = \frac38, P(X=2)=38P(X = 2) = \frac38, P(X=3)=18P(X = 3) = \frac18, de somme 11 (propriété 1.8, contrôles d'une loi).
  2. F=0F = 0 sur ]−∞,0[\intoo{-\infty}{0}, 18\frac18 sur [0,1[\intfo{0}{1}, 12\frac12 sur [1,2[\intfo{1}{2}, 78\frac78 sur [2,3[\intfo{2}{3}, 11 sur [3,+∞[\intfo{3}{+\infty} (propriété 1.11, lecture de la fonction de répartition).
La fonction de répartition de X est en escalier : chaque palier est fermé à gauche (point plein) et ouvert à droite (rond vide), d'où F(1) = 1/2.
La fonction de répartition de X est en escalier : chaque palier est fermé à gauche (point plein) et ouvert à droite (rond vide), d'où F(1) = 1/2.
  1. E(X)=0+3+6+38=32‾\underline{E(X) = \frac{0 + 3 + 6 + 3}{8} = \frac32} et E(X2)=0+3+12+98=3E(X^2) = \frac{0 + 3 + 12 + 9}{8} = 3 (théorème 3.8, transfert), donc V(X)=3−94=34V(X) = 3 - \frac94 = \frac34 (théorème 4.5, formule de König-Huygens).
  2. Contrôle : X∼B(3,12)X \sim \mathcal B\left(3, \frac12\right), donc np=32np = \frac32 et np(1−p)=34np(1 - p) = \frac34 (propriété 5.9, espérance et variance).

piège : Écrire F(1)=18F(1) = \frac18. Le palier est fermé à gauche, et F(1)=P(X⩽1)=12F(1) = P(X \leqslant 1) = \frac12.

Exercice 3 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Soit n≥1n \geq 1. Une variable XX prend les valeurs 1,…,n1, \dots, n avec P(X=k)=ckP(X = k) = ck. Déterminer cc, puis E(X)E(X).

Voir le début du corrigé
  1. ∑k=1nck=c n(n+1)2=1\sum_{k=1}^{n} ck = c\,\frac{n(n + 1)}{2} = 1, donc c=2n(n+1)>0‾\underline{c = \frac{2}{n(n + 1)} > 0} (propriété 1.8, contrôles d'une loi).

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Exercice 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

On lance deux dés équilibrés indépendants, et M est le plus grand des deux résultats. Déterminer la loi de M et son espérance.

Voir le début du corrigé
  1. Pour 1⩽k⩽61 \leqslant k \leqslant 6, (M⩽k)=(X⩽k)∩(Y⩽k)(M \leqslant k) = (X \leqslant k) \cap (Y \leqslant k), donc P(M⩽k)=(k6)2‾\underline{P(M \leqslant k) = \left(\frac k6\right)^2} (indépendance, définition 2.1, indépendance de deux variables).

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Schéma binomial 3

Exercice 4 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Une particule part de 00 et fait nn pas indépendants, +1+1 avec la probabilité pp, −1-1 avec la probabilité 1−p1 - p. Soit SS sa position finale. Calculer E(S)E(S) et V(S)V(S), puis P(S=0)P(S = 0).

Voir le début du corrigé
  1. Soit XX le nombre de pas +1+1. Donc X∼B(n,p)X \sim \mathcal B(n, p) (nn épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre pp, théorème 5.8, somme de variables de Bernoulli).

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Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, plus délicat

Soit XX de loi B(n,p)\mathcal{B}(n, p) avec 0<p<10 < p < 1. Déterminer la ou les valeurs kk qui rendent P(X=k)P(X = k) maximale.

Voir le début du corrigé
  1. Pour 0⩽k⩽n−10 \leqslant k \leqslant n - 1 (probabilités non nulles), P(X=k+1)P(X=k)=(n−k)p(k+1)(1−p)‾\underline{\frac{P(X = k + 1)}{P(X = k)} = \frac{(n - k)p}{(k + 1)(1 - p)}} (définition 5.7, loi binomiale).

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Exercice 10 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, plus délicat

Soient X1,…,XnX_1, \dots, X_n des variables de Bernoulli mutuellement indépendantes, de paramètres p1,…,pnp_1, \dots, p_n, et SS leur somme. On pose p‾=p1+⋯+pnn\overline{p} = \dfrac{p_1 + \dots + p_n}{n}. Montrer que V(S)≤np‾(1−p‾)V(S) \leq n\overline{p}(1 - \overline{p}), et étudier le cas d'égalité.

Voir le début du corrigé
  1. V(S)=∑i=1npi(1−pi)=npˉ−∑i=1npi2V(S) = \sum_{i=1}^{n} p_i(1 - p_i) = n\bar p - \sum_{i=1}^{n} p_i^2 (propriété 4.10, généralisation, propriété 5.6, espérance et variance).

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Espérance par indicatrices 3

Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, type Agro-Véto

On dépiste n=mkn = mk individus, chacun infecté avec la probabilité pp, indépendamment des autres, avec un test supposé sans erreur. On forme mm groupes de kk personnes et on teste le mélange de chaque groupe. Si le test est négatif, le groupe a coûté un test. Sinon, on reteste les kk personnes une à une. Calculer l'espérance du nombre total TT de tests.

Voir le début du corrigé
  1. Soit BjB_j l'événement « au moins un infecté dans le groupe jj ». …

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Exercice 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit

Soit n≥2n \geq 2. On met au hasard nn lettres dans nn enveloppes adressées, toutes les répartitions étant équiprobables. Soit NN le nombre de lettres dans la bonne enveloppe. Calculer E(N)E(N) et V(N)V(N).

Voir le début du corrigé
  1. Soit AiA_i l'événement « la lettre ii est bien placée ». …

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Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, d'après un écrit G2E

Une urne contient bb boules blanches et rr rouges, avec N=b+rN = b + r. On tire nn boules sans remise (n≤Nn \leq N). Soit XX le nombre de blanches. Montrer que E(X)=nbNE(X) = \dfrac{nb}{N}.

Voir le début du corrigé
  1. Soit AiA_i l'événement « la ii-ème boule tirée est blanche ». …

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Couple de variables indépendantes 1

Exercice 8. Deux lois uniformes indépendantes ★

Application du cours · 15 min · Écrit

XX et YY sont indépendantes et uniformes sur {1,…,n}.\{1, \dots, n\}. Calculer P(X=Y)P(X = Y), P(X<Y)P(X < Y) et E(XY)E(XY).

Voir le début du corrigé
  1. P(X=i,Y=j)=1n2P(X = i, Y = j) = \frac{1}{n^2} pour tous ii et jj (définition 2.1, indépendance de deux variables).

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Fiche rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Probabilités 2 – Variable aléatoire sur un univers fini ». Elle couvre :

  • la définition d'une variable aléatoire, sa loi et sa fonction de répartition ;
  • les fonctions indicatrices et l'indépendance ;
  • l'espérance et le théorème de transfert ;
  • la variance et la formule de König-Huygens ;
  • les lois certaine, uniforme, de Bernoulli et binomiale.